Ruteo con Entrega Garantizada en Redes Geométricas y Sin Cables.

En órden de uso de los resultados previos, somos capaces de extraer una subred plana
de alguna UW(Pn). Dos requerimientos deben ser satisfechos por el método que usemos
para extraer el subgrafo plano para asegurar su completa funcionalidad para aplicaciones
de la vida real.
Si una red de comunicación celular es conexa, el subgrafo plano resultante debe ser
conexo.
Debemos tener un protocolo local tal que cada nodo de la red pueda decidir de
manera consistente cuales conexiones a sus vecinos debe mantener, y asegurarse de
eso colectivamente sin la necesidad de comunicarse; el conjunto de aristas se escogen
individualmente por los nodos de la red formando un grafo plano.
La necesidad para la segunda condición se sigue de nuestro deseo de tener protocolos
distribuidos completos que eviten el uso de algún tipo de protocolo centralizado.
El problema de extraer o incluso decidir si un grafo contiene una subgráfica conexa
plana es un bien conocido problema NP −Completo. Afortunadamente las redes UW(Pn)
siempre tienen tales subgráficas, y en efecto, encontrarlas es relativamente sencillo.
La clave de nuestro resultado se presenta del uso de las gráficas de Gabriel. Dados
dos puntos p y q en el plano, sea C(p, q) el círculo que pasa a través de ellos tal que el
segmento de línea que une a p con q es un diámetro de C(p, q). Dado un conjunto de
n puntos Pn = {p1, . . .,pn} en el plano, la gráfica de Gabriel para Pn es el grafo cuyo
conjunto de vértices es Pn en el cual dos puntos u y v de Pn son adyacentes si y solo si
C(p, q) no contiene otros puntos de Pn.
Sea G ′ (Pn) el grafo con vértices en Pn tal que dos vértices p y q son adyacentes en
G ′ (Pn) si y solo si C(p, q) no contiene otros puntos de Pn y además p y q son adyacentes
en la red inalámbrica W(Pn), eso es que G ′ (Pn) es la intersección de la gráfica de Gabriel
de Pn con la red inalámbrica W(Pn). Tenemos el siguiente:
Teorema 2 Si UW(Pn) es conexa entonces G ′ (Pn) también es conexa.
La prueba más fácil de este resultado procede como sigue. Sean p y q vértices adyacentes
en UW(Pn), y que no hay ruta que los conecte en G ′ (Pn). Supongamos además
que su distancia es la más pequeña posible entre todos los pares de puntos en Pn. Ya que
p y q no estan conectados en G ′ (Pn), entonces el círculo C(p, q) contiene al menos un
tercer punto r ∈ Pn. Observe que las distancias de r a p y r a q son más pequeñas que la
distancia de p a q, y así hay una ruta P ′ en G ′ (Pn) conectando a r con p y una ruta P ′′
en G ′ (Pn) conectando a r con q. La concatenación de estas rutas produce una ruta de p
a q en G ′ (Pn).
Es obvio que cada nodo p en UW(Pn) puede decidir localmente cuales de sus vecinos
en UW(Pn) serán también vecinos en G ′ (Pn). Simplemente recoge las localizaciones de
todos sus vecinos i.e. los elementos de Pn con distancá a lo más 1 de p, y probar para cada
q de ellos si el círculo C(p, q) es vacio. Esto se puede lograr usando algoritmos estandar
en geometría computacional con ○(k log k) donde k es el número de vecinos de p en
UW(Pn).
Tenemos en general, herramientas para obtener un algoritmo local de ruteo en línea
en una red unidad de comunicación inalámbrica. Primero encontramos G ′ (Pn), y entonces
usamos el algoritmo de ruteo referido en el teorema 1 para enviar mensajes. El cálculo de
G ′ (Pn) puede ser hecho una sola vez, o periodicamente en casos donde fallas en los nodos
pueden ocurrir.
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