Sobre el máximo decaimiento en infinito de soluciones de ...

Sobre el máximo decaimiento en infinito de
soluciones de ecuaciones del tipo KdV
Pedro Isaza
Escuela de Matemáticas, Universidad Nacional de Colombia, Apartado Aéreo 3840,
Medellín, Colombia.
[pisaza@unal.edu.co]
Resumen: Para la ecuación de Ostrovsky con dispersión negativa y la ecuación
de tipo Korteweg-de Vries (KdV) de orden 5 se demuestra que si la diferencia de
dos soluciones presenta cierto decaimiento exponencial para x > 0 en el instante
t = 0, entonces dicho decaimiento no se puede presentar en ningún otro instante
t > 0.
Introducción: Consideremos la ecuación de Ostrovsky con dispersión negativa
y la ecuación de tipo KdV de orden 5
∂tu + ∂ 3 xu − ∂ −1
x u + u∂xu = 0 (1)
∂tu + ∂ 5 xu + u∂xu = 0 . (2)
En ambas ecuaciones u = u(x, t), x ∈ R y t ∈ [0, 1]. En (1), ∂ −1
x u es cierta
antiderivada espacial de u, definida mediante el multiplicador 1/(iξ) a través de
la transformada de Fourier. Estas ecuaciones son modelos para la propagación de
ondas no lineales en medios dispersivos y son una generalización de la ecuación
KdV:
∂tu + ∂ 3 xu + u∂xu = 0 . (3)
Para cada una de estas ecuaciones obtenemos un principio de continuación única
aplicando el método utilizado por Escauriaza, Kenig, Ponce y Vega en [1]. Dicho
método se apoya principalmente en la obtención de un estimativo de tipo Carleman
y un estimativo de tipo inferior para el operador lineal asociado a la ecuación bajo
estudio.
Resultados: Para la ecuación (1) probamos el siguiente teorema, que mejora un
resultado previo obtenido en [3]:
Teorema 1. Sean
u1, u2 ∈ C([0, 1]; H 4 (R)) ∩ C 1 ([0, 1]; H 1 (R)) ∩ L ∞ ([0, 1]; L 2 (x 2α
+ dx))
(para un α > 2) dos soluciones de la ecuación (1). Aquí x+ := 1
2 (x + |x|). Supongamos
que
u1(0) − u2(0) ∈ L 2 (e ax8/5
+ dx) y u1(1) − u2(1) ∈ L 2 (e ax8/5
+ dx)
para todo a > 0. Entonces u1 = u2.
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El siguiente resultado para la ecuación (2) ha sido obtenido por Dawson en [2].
Para dicho resultado aportamos una prueba que simplifica notablemente los procedimientos
llevados a cabo en [2], principalmente en la obtención de los estimativos
de tipo Carleman. Nuestra prueba de estos estimativos se efectúa en espacios muy
simples de tipo L p xL q
t y L p
t L q x, no utiliza efectos regularizantes de tipo Strichartz
ni descomposiciones de Littlewood-Paley y se basa en el uso de descomposiciones
en fracciones parciales.
Teorema 2. Sean
u1, u2 ∈ C([0, 1]; H 6 (R)) ∩ C 1 ([0, 1]; H 1 (R)) ∩ L ∞ ([0, 1]; L 2 (x 2α
+ dx))
(para un α > 2) dos soluciones de la ecuación (2) tales que
u1(0) − u2(0) ∈ L 2 (e ax5/4
+ dx) y u1(1) − u2(1) ∈ L 2 (e ax5/4
+ dx)
para todo a > 0. Entonces u1 = u2.
Conclusiones: En esta conferencia se mejora el resultado de [3] y se simplifica un
teorema probado en [2]. Los métodos que hemos utilizado para la demostración
del teorema 2 pueden ser generalizados para estudiar los principios de continuación
única de las ecuaciones de tipo KdV de orden mayor que 5.
Referencias
[1] Escauriaza, L., Kenig, C., Ponce, G., Vega, L., On uniqueness properties of solutions
of the k-generalized KdV equations, J. Funct. Anal. 244 (2007), 504-535.
[2] Dawson, L., Uniqueness properties of higher order dispersive equations J. Diff. Eqns.
236(2007), 199-236.
[3] Isaza, P., Mejía, J., On the support of solutions to the Ostrovsky equation with negative
dispersion, J. Diff. Eqns. 247(2009), 1851-1865.
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