2 - McGraw-Hill

Recordes què és…?
Magnitud
És tot allò que podem mesurar.
Tota magnitud té la seva pròpia
unitat de mesura. Són magnituds
el temps, la distància, la temperatura…
El conjunt de nombres
enters
El conjunt dels nombres enters està
format pels nombres naturals i els
seus oposats. Es representen i ordenen
de la forma següent:
Z = {…, –5, –4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, …}
Representació en la recta dels
nombres enters:
–5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5
A l’esquerra, els
nombres enters
negatius
A la dreta, els
nombres enters
positius

GRÀFIQUES. FUNCIONS I
ESTADÍSTICA
Si llegeixes un diari, sigui esportiu o d’informació
general, veuràs que moltes notícies
van acompanyades de gràfi cs. En ells es
representen dades relacionades amb el tema
que apareix en la notícia. Els gràfi cs permeten
resumir una informació de manera
senzilla i en faciliten la comprensió.
Per exemple, recorda les gràfi ques que ens
informen sobre el recorregut d’una etapa del
Tour de França, les variacions de la classifi -
cació dels equips al llarg de la temporada de
futbol, els gràfi cs que representen el nombre
de vots que tenen els diferents partits polítics
en època d’eleccions, els resultats obtinguts
en una enquesta realitzada sobre els
programes de televisió més vists, etc.
Hi ha molts de casos semblants de gràfi cs
que veim i interpretam, però no sabem quin
tractament han tengut prèviament aquestes
dades abans de quedar refl ectides en aquell
tipus de representació.
Els objectius d’aquesta Unitat són:
• Aprendre a fer i interpretar gràfi ques a
partir d’una taula de dades.
• Conèixer els conceptes bàsics d’estadística,
els seus paràmetres principals i el
tractament de dades.
13

230
@
13 EIXOS
Exercicis
1
Y
4
3
2
1
(0, 0)
(2, 2)
–4 –3 –2 –1
–1
1 2 3 4 X
(–2, –2)
–2
–3
–4
2n quadrant:
valor x: negatiu
valor y: positiu
3r quadrant:
valor x: negatiu
valor y: negatiu
CD WEB
Y
1r quadrant:
valor x: positiu
valor y: positiu
X
4t quadrant:
valor x: positiu
valor y: negatiu
http://descartes.cnice.mecd.
es/3_eso/Coordenadas_
cartesianas/Coordenadas_
cartesianas.htm
Tracta de les coordenades
cartesianes i, a la pàgina
següent, de la representació de
punts en el pla.
1 Representa els punts següents en els eixos
de coordenades:
A (–3,2), B (6,2), C (4,–3), D (–2,1) i E (7,3)
DE COORDENADES I REPRESEN-
TACIÓ CARTESIANA DE PUNTS
Segur que més d’una vegada has vist o fi ns i tot has arribat a jugar a enfonsar
vaixells del jugador contrari encertant la seva posició, que s’indica amb dues
coordenades.
Fins ara hem representat sempre punts sobre una recta i quedaven ordenats
tant els nombres enters com els decimals.
–5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5
Per estudiar molts fenòmens necessitam representar punts sobre un pla, no
sobre una recta. I per a això s’utilitzen els eixos de coordenades o eixos
cartesians.
S’utilitzen dos eixos col·locats perpendicularment: un horitzontal i l’altre
vertical:
• A l’eix horitzontal se’l denomina «eix X» o eix d’abscisses.
• A l’eix vertical se’l denomina «eix Y» o eix d’ordenades.
Aquests dos eixos perpendiculars divideixen el pla en quatre parts iguals que
anomenam quadrants i en ells es representen els punts.
Tots els punts que es representen vénen
donats mitjançant un valor d’x i un altre
d’y. Fixa’t bé en l’exemple següent:
Per defi nir la posició de qualsevol punt
en qualsevol quadrant, s’ha de definir
la «coordenada a x» o abscissa i la «coordenada
a y» o ordenada. S’expressen
entre parèntesi separades per una coma.
Primer s’escriu l’abscissa i després l’ordenada.
El punt que defi neixen s’anomena
amb una lletra majúscula. Per exemple
A(1, 2), B(–3, 1), C( –2, –4), D( 2, –2).
2 Indica les coordenadescartesianes
dels punts
següents:
C
E
A(–3, 1)
F
4
3
2
1
–4 –3 –2 –1
–1
–2
–3
C(–2, –4)
–4
Y
Y
B(1, 2)
1 2 3
A
B
D(2, –2)
En els eixos de coordenades es representen punts del pla. Els punts s’anomenen
amb una lletra majúscula i són defi nits per dos nombres escrits
entre parèntesi i separats per una coma. El primer nombre representa la
coordenada a x i el segon la coordenada a y.
D
4 X
X

2
TAULA DE VALORS I GRÀFIQUES
Els punts que es representen en els eixos de coordenades poden correspondre
a dades d’una determinada situació que hom vol estudiar. Aquestes dades es
recullen primer en una taula que anomenam taula de valors.
Exemple 1
Per celebrar una festa, decideixes comprar caramels. A la botiga
més propera els venen per quilos i llegeixes el cartell següent:
«2 € el quilo de caramels».
Automàticament penses que la quantitat a pagar dependrà dels
quilos que compris: si compr 1 quilo pagaré 2 €, si compr 2 quilos
pagaré 4 €, si compr 3 quilos pagaré 6 €. En aquest exemple
es relaciona la quantitat de quilos amb la quantitat d’euros que
has de pagar.
Així es crea una taula de valors:
Quantitat de quilos 1 2 3 4 5
Euros a pagar 2 4 6 8 10
Amb la taula s’obtenen parelles de nombres que podem usar com a coordenades
de punts del pla i amb ells es representarà la situació mitjançant una
gràfi ca.
Es tracen els eixos de coordenades i se situen
Y
C(3, 6)
els punts.
B(2, 4)
Així, la gràfi ca associada a aquesta situació és
una línia, perquè a cada quantitat de caramels
li correspon un preu.
Per fer la gràfi ca se segueixen les passes següents:
1. S’ordenen en una taula les dades a representar.
2. Es tracen els eixos de coordenades i es dibuixen els punts.
Exercicis
3 Indica si les magnituds següents es podran
relacionar o no mitjançant una gràfi ca:
a) Quilos de pomes que compr i diners que pagaré.
b) Assistents a una festa i diners que es recapten.
c) A una velocitat constant, metres que es recorreran
en un interval de temps.
d) Hores al dia que mir la televisió i la quantitat de
dies de pluja.
A(1, 2)
X
Advertència
Com a coordenada en x
se situen els quilos i com a
coordenada en y se situen els
euros.
A(1, 2)
B(2, 4)
C(3, 6)
4 Fes la taula de valors que relacioni l’altitud
en què es troba un alpinista en funció del temps,
si puja a una velocitat de 300 metres per hora i ha
partit d’una altitud de 1 400 metres.
5 Un ciclista du una velocitat de 2 metres per
segon. Fes una taula i una gràfi ca en què es relacionin
el temps transcorregut i els metres recorreguts.
WEB CD @
http://descartes.cnice.mec.
es/1y2_eso/Interpretacion_de_
grafi cas/Grafi cas.htm
En aquesta pàgina s’estudien
les gràfi ques de les funcions;
primer es calcula una taula de
valors i després es comprova
si està bé a la representació
gràfi ca.
231

232
@
13
CD WEB
http://descartes.cnice.mec.
es/1y2_eso/Interpretacion_de_
graficas/Graficas.htm
Es construeixen gràfiques a
partir d’una taula de valors i
de l’enunciat d’un problema,
però también s’interpreten,
mitjançant preguntes, altres
gràfiques ja elaborades.
Exercicis
3
6 Relaciona cada situació amb una de les gràfiques:
a) Frenada d’un cotxe.
b) Cost d’una telefonada per segons.
c) Un recorregut amb tres aturades d’avituallament.
d) Canvis de temperatura d’un líquid al llarg del
temps fins que es gela totalment.
A B C D
LECTURA I INTERPRETACIÓ DE
GRÀFIQUES
Les gràfiques són representacions que relacionen entre si dues magnituds
amb l’objectiu d’aportar informació sobre com varia una magnitud en funció
d’una altra. Per això, quan s’examina o interpreta una gràfica, el primer que ha
de fer-se és observar quines són les magnituds que es relacionen.
Fixa’t en la gràfica següent:
distància (m)
40
30
20
10
0
0
A(1, 10)
C(3, 30)
B(2, 20)
D(4, 30)
E(5, 20)
G(7, 40)
F(6, 30)
H(8, 40)
1 2 3 4 5 6 7 8 temps (min)
La gràfica relaciona el temps transcorregut d’un cos en moviment i la distància
que el separa del punt de partida. Com veus, temps i distancia són les magnituds
representades en els eixos de coordenades. La primera ve donada en
minuts i la segona en metres.
a) En els tres primers minuts, s’allunya 30 m.
b) En el minut següent (entre el minut 3 i el 4) està aturat, ja que el temps
avança però no hi ha increment de distància.
c) En el minut següent retrocedeix els 10 m, i torna a estar a la mateixa distància
del punt de partida que en el minut 2.
d) En els dos minuts següents (el sisè i el setè) avança 20 m: de la posició 20
m a la posició 40 m.
e) Durant el vuitè minut ha quedat aturat.
Per interpretar gràfiques, hem de saber primer quina magnitud està representada
en cada eix per comprendre com varia una magnitud en funció
d’una altra.
7 La gràfica següent representa el moviment
d’un cos. Interpreta-la i respon les preguntes següents:
a) Quant de temps ha estat caminant?
b) Quant ha recorregut?
c) Ha fet alguna aturada?
d) Què més observes?
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0
0
distància (m)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 temps (min)

4
CONCEPTE DE FUNCIÓ
Com hem vist, les gràfiques relacionen dues magnituds que depenen una de
l’altra. Si una varia, l’altra també varia en funció d’aquella.
Per a la festa de l’institut et demanes quants doblers has de dur. La resposta
és clara: «en funció del que vagis a consumir». L’anunci de la festa deia el
següent:
Llavors, s’ha de calcular i fer una taula:
Quantitat de consumicions Quantitat d’euros
1 2
2 4
3 6
… …
Fixa’t que la quantitat d’euros varia en funció dels entrepans i els refrescs que
compris. En aquest cas es relacionen consumicions i euros. S’observa que si la
primera augmenta, la segona també, és a dir, estan relacionades. Sempre que
es relacionen dues magnituds, una és independent perquè anem donant-li els
valors que vulguem, i l’altra és dependent perquè varia en funció dels valors
que donem a la primera.
Així, la primera s’anomenarà variable independent i es representa sobre l’eix X
i la segona s’anomena variable dependent i es representa sobre l’eix Y.
Funció es una relació entre dues variables, de manera que a cada valor de
la variable independent li correspon, com a màxim, un valor de la variable
dependent.
Perquè una relació entre dues magnituds sigui una funció, s’ha de complir
que a cada valor de la variable independent s’associï, com a molt, un de la
variable dependent.
Quan es relacionen dues magnituds, una serà la variable independent,
que varia sense dependre de res, i l’altra serà la variable dependent, que
varia en funció de la variable independent.
— Variable independent: es representa a l’eix X.
— Variable dependent: es representa a l’eix Y
Exercicis
8 En els casos següents, indica quina serà la
variable independent i quina la dependent:
a) Temps que un vehicle va a velocitat constant i
recorregut que realitza.
b) Temps d’escalfament d’un litre d’aigua i graus
centígrads a què arriba.
c) Consum d’energia elèctrica d’una llar i la quantitat
a pagar.
d) Quantitat de quilos que compres i euros a pagar.
FESTA DE L’INSTITUT
DIVENDRES
A LES 19:00
ENTRADA LLIURE
PANETS: 2€
REFRESCS: 2€
9 Vols convidar els teus amics al cine, però no
saps quants hi aniran. Si saps que cada entrada
costa 4 €, fes la taula i la gràfica en funció del nombre
d’amics que hi vagin.
10 Completa:
Dues magnituds estan relacionades quan una
___________ i l’altra també varia en ________ de
l’anterior. La que varia sense dependre de res
s’anomena _____________________ i la que varia
depenent de l’anterior s’anomena ___________ .
233

234
13 ESTUDIS
Població (%)
50%
40%
30%
20%
10%
0%
Has de tenir en compte
Exercicis
10%
25%
5
La mostra triada per a un estudi
estadístic ha de ser signifi cativa.
Per exemple, si s’estudia a què
dediquen el seu temps d’oci
els alumnes d’ESO, no s’han
d’escollir només alumnes de 1r
d’ESO sinó de tots els nivells, i a
parts iguals, al·lots i al·lotes.
I ELEMENTS ESTADÍSTICS:
POBLACIÓ, MOSTRA I INDIVIDU
L’Institut Nacional d’Estadística ha fet un estudi sobre el nombre d’hores al
dia que veim la televisió. Els resultats fi nals queden refl ectits en la gràfi ca del
marge.
No veuen la TV
Veuen la TV menys d’1 hora al dia
Veuen la TV entre 1 i 3 hores al dia
Veuen la TV més de 3 hores al dia
35%
30%
És una gràfi ca estadística i ens dóna informació
sobre una població.
Les dades recollides a la gràfi ca es donen en
percentatges i fan referència als membres
d’una població, però, creus realment que per
aconseguir la informació necessària s’han entrevistat
o han enquestat totes i cadascuna de
les persones d’una població? Òbviament, no.
Les dades es recullen d’una sèrie d’enquestes
que només fa un grup reduït i representatiu,
ja que demanar-ho a tothom seria massa car
i duria molt de temps. Aquest grup reduït i
signifi catiu de la població s’anomena mostra.
La població es compon d’individus. Si l’estudi estadístic que volem realitzar
tracta d’obtenir dades sobre el nombre de televisors que hi ha a cada llar
d’Espanya, la població serien les llars espanyoles. Si volem estudiar l’índex de
natalitat dels animals en captivitat, la població estaria formada pels animals
que estan en captivitat en els zoològics.
Posteriorment, la informació que es dedueix de les dades obtingudes de la
mostra s’extrapola a tota la població, és a dir, es generalitza per al total d’individus
de la població.
Població: grup d’elements sobre els quals es fa una investigació.
Mostra: part seleccionada d’una població d’on es recullen dades signifi -
catives.
Individu: tots i cada un dels components d’una població.
Per fer un estudi estadístic sobre una població se’n tria una mostra, composta
per una selecció d’individus representatius per a l’estudi.
11 En aquests estudis estadístics, indica quina seria la població i quina mostra triaries en
cada cas perquè sigui representativa:
a) Les afi cions dels joves entre 15 i 20 anys.
b) Consum en famílies d’un nou producte de neteja.
c) Atur social entre homes i dones de 25 a 35 anys.
d) Nota mitjana de tots els alumnes de 1r d’ESO d’un institut

6
TAULES ESTADÍSTIQUES
Com has vist fins ara, en les gràfiques estadístiques les dades s’indiquen normalment
en percentatges. Per a això es fa primer una taula estadística.
Es vol fer un estudi sobre les notes obtingudes en un examen de Matemàtiques
i es disposa d’una llista d’alumnes i la seva qualificació. Per crear la taula
estadística s’observa que els valors que pren la variable són: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,
8, 9 i 10. Es tria una mostra (N) de 33 individus. Comptam ara quants alumnes
han tret cada qualificació i aquest valor s’anomena freqüència absoluta, que
es representa per fi. En la columna següent relacionam la freqüència absoluta amb el nombre total
d’individus de la mostra. La dada obtinguda s’anomena freqüència relativa i
es representa per Fi. Fixa’t en aquesta taula i treu-ne conclusions:
Nota Freqüència absoluta f i Freqüència relativa F i = f i / N % F i · 100
0 2 2 / 33 = 0,06 6%
1 1 1 / 33 = 0,03 3%
2 0 0 / 33 = 0 0%
3 3 3 / 33 = 0,09 9%
4 5 5 / 33 = 0,15 15%
5 7 7 / 33 = 0,21 21%
6 4 4 / 33 = 0,12 12%
7 5 5 / 33 = 0,15 15%
8 3 3 / 33 = 0,09 9%
9 1 1 / 33 = 0,03 3%
10 2 2 / 33 = 0,06 6%
N = 33 TOTAL = 1 TOTAL = 100%
Qualsevol taula estadística recollirà per columnes les dades següents:
• Columna de la variable a estudiar: Es col·loquen els diferents valors que
pot tenir la variable. En aquest cas les notes de 0 a 10.
• Freqüència absoluta (fi ): En aquesta columna s’indiquen les vegades que es
repeteix aqueixa dada de la variable o la freqüència d’aparició de cada un
dels valors de la variable. Si sumam totes les freqüències absolutes obtenim
la grandària de la mostra (N). En aquest exemple són 33 alumnes.
• Freqüència relativa (Fi ): És el quocient entre la freqüència absoluta i el nombre
total d’individus de la mostra (N). La suma de totes les freqüències
relatives és 1.
• Columna de %: Es calculen els percentatges d’aparició de cada valor de la
variable multiplicant la freqüència relativa per 100. Sumant tots els percentatges
s’obté el 100%.
Exercicis
12 Defineix i explica amb les teves pròpies paraules
de quines columnes es componen les taules
estadístiques.
Vocabulari
fi i Fi són notacions per a les
freqüències absolutes i relatives,
respectivament.
La «i» que apareix en cada
expressió s’anomena subíndex
i indica el següent en el nostre
exemple:
f1 és la freqüència de la
qualificació 0.
f2 és la freqüència de la
qualificació 1.
…
f9 és la freqüència de la
qualificació 8
13 Es van visitar diferents famílies i es va anotar
el nombre de fills en cada una d’elles. Fes una
taula estadística si saps que el resultat de l’anàlisi
va ser el següent:
2, 1, 0, 3, 4, 2, 2, 1, 2, 4, 5, 2, 3, 0, 3, 1, 5
WEB CD @
http://descartes.cnice.
mec.es/m_Estadistica_y_
probabilidad/12_Hijos/hijos.htm
Es fa un recompte i després es
dibuixa el diagrama de barres.
WEB CD @
http://descartes.cnice.mec.es/
m_Estadistica_y_probabilidad/
color_preferido/index.htm
En aquest cas también es
construeix un diagrama de
sectors.
235

236
@
13 GRÀFICS
Belles Arts
Filosofia
Dret
Biologia
Psicologia
Economia
CD WEB
Exercicis
30%
ESTADÍSTICS.
REPRESENTACIÓ
DE LA INFORMACIÓ
Una taula estadística ens aporta informació, però cal representar-la mitjançant
gràfics estadístics perquè es pugui interpretar. A continuació veuràs dos tipus
de gràfiques molt emprades en Estadística per represen-
10% 10% tar la informació:
10%
http://www.juntadeandalucia.
es/averroes/recursos_
informaticos/proyectos2003/
matematicas_red/index.html
Situa al lloc que s’indica els
valors i les freqüències, i
dibuixa el diagrama de barres.
7
35%
30%
25%
20%
15%
10%
5%
0%
14 En una classe, les notes obtingudes en un
examen de Matemàtiques són les següents:
10, 4, 3, 2, 7, 7, 8, 9, 9, 3, 4, 6, 5, 5, 9
Amb aquestes dades, fes la taula estadística i la
seva representació gràfica.
15%
25%
Gràfics de sectors. Fixa’t en l’exemple següent sobre les
opcions de carreres d’una classe de 2n de Batxillerat.
En un cercle es representa cada valor del percentatge
en un sector proporcional del mateix sabent que 360°
es correspon al 100%.
Diagrama de barres. El mateix exemple es pot representar
mitjançant un diagrama de barres.
30%
Belles Arts
25%
Filosofia
Dret
15%
Biologia
Psicologia
10% 10% 10%
Economia
En aquest exemple, a l’eix Y es col·loquen els valors numèrics i a l’eix X les
distintes opcions de la variable.
Tota la informació recollida en una taula estadística es representa mitjançant
un gràfic estadístic.
— Gràfic de sectors: s’assigna a cada freqüència absoluta un sector circular
proporcional a aquest valor. El 100% total es correspon amb 360°.
— Diagrama de barres: es representa mitjançant barres el percentatge o
la freqüència absoluta de cada una.
15 Els litres d’aigua recollits per metre quadrat a
una ciutat a causa de les pluges en l’any 2005 es reparteixen
entre els 12 mesos de la manera següent:
Gener: 15% Febrer: 12% Març: 20%
Abril: 22% Maig: 3% Juny: 1%
Juliol: 1% Agost: 1% Setembre: 2%
Octubre: 5% Novembre: 7% Desembre: 11%
Representa les dades mitjançant un diagrama de
barres.

8
PARÀMETRES ESTADÍSTICS.
MITJANA ARITMÈTICA I MODA
Exemple 2
Al llarg del curs, les teves notes dels exàmens de Llengua Catalana han estat les següents:
5 7,5 8,5 7 7 7
Si la nota final és la mitjana de les teves qualificacions de tot el curs, quina nota et posaran?
Per calcular la nota mitjana del curs, sempre que tots els exàmens tenguin el mateix valor sobre
la nota final, se sumen totes les notes obtingudes i es divideix entre el nombre total d’exàmens
que has tengut.
5 + 7,5 + 8,5 + 7 + 7 + 7
= 7 Nota mitjana.
6
Exemple 3
Cada dia, quan vas a l’institut empres un temps, però no tots els dies tardes el mateix. Vols saber
quina és la mitjana dels temps emprats en els darrers quatre dies. Per a això et cronometres
durant 4 dies i les dades obtingudes les apuntes perquè no se t’oblidin:
Exercicis
1r dia: 4 minuts
2n dia: 3 minuts
3r dia: 4 minuts
4t dia: 5 minuts
16 Un nedador que vol superar el seu rècord fa
els temps següents en els 100 metres (les dades
estan expressades en minuts):
1,5 2 1,5 1,85 1,15 1,35
Quina és la mitjana i quina és la moda?
Per calcular el temps que empres com a terme mitjà, se
sumen tots els minuts i el resultat es divideix entre 4 (nombre
de dies que cronometres):
4 + 3 + 4 + 5
4
= 16
4
= 4 Temps mitjà.
En ambdós casos hem calculat la mitjana d’una sèrie de valors. La mitjana és
un paràmetre estadístic.
Un altre paràmetre estadístic és la moda. La moda és el valor de la variable
que més es repeteix, és a dir, el valor que té major freqüència absoluta.
Tornant als exemples anteriors:
• Exemple A: la moda, és a dir, la nota que més es repeteix és el 7.
• Exemple B: La moda, és a dir, el temps que més es repeteix és 4 minuts.
Els paràmetres estadístics més importants són:
— Mitjana: és el paràmetre estadístic que indica el valor mitjà de varis
valors.
— Moda: és el paràmetre estadístic que indica quin valor té major freqüència
absoluta.
17 S’han entrevistat 15 famílies sobre el nombre
de televisors que hi ha a ca seva i s’han obtingut
aquestes dades:
• 1 televisor: 3 famílies
• 2 televisors: 10 famílies
• 3 televisors: 2 famílies
Basant-te en aquestes dades, quina és la moda?
237

238
13EXERCICIS NOMBRE SECCIÓN RESOLTS
1 Anàlisi gràfi ca del moviment d’un cotxe.
Anem a fer una anàlisi sobre la velocitat d’un cotxe. Per a això farem una taula
que relacioni dues magnituds: el temps i l’espai recorregut.
Variable independent (x): temps
Variable dependent (y): espai
Passes:
a) Dades recollides:
1r minut: 200 metres
2n minut: 400 metres
3r minut: 600 metres
b) Les dades es duen a una taula:
A velocitat constant com més temps estem
conduint, més espai es recorrerà.
Temps (min) x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Espai (m) y 200 400 600 800 1 000 1 200 1 400 1 600 1 800 2 000
c) Es troben els punts:
(1, 200) (2, 400) (3, 600) (4, 800) (5, 1 000)
(6, 1 200) (7, 1 400) (8, 1 600) (9, 1 800) (10, 2 000)
d) Es representen els punts en els eixos de coordenades.
Els punts s’uneixen entre si, perquè es podia haver calculat l’espai recorregut
en 1,5 minuts, en 2,3 minuts…, i s’obtenen altres punts de la funció.
y = y espai = espacio (metres) (metros)
2000
1800
1600
1400
1200
1000
800
600
400
200
0
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
1800
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
x x = = temps tiempo (minuts)
(minutos)
2000

2 S’ha fet un estudi sobre la quantitat d’hores que veuen la televisió
al dia els joves de 15 anys, i després d’entrevistar una petita mostra, les
dades obtingudes han estat les següents:
2, 4, 3, 2, 2, 1, 0, 2, 5, 4, 3, 2
Representa les dades en un diagrama de barres i calcula la taula estadística,
la moda i la mitjana.
Amb les dades obtingudes, elaboram la TAULA ESTADÍSTICA:
Hores que es veu la TV al dia f i F i = f i / N % (F i · 100)
0 1 0,08 8%
1 1 0,08 8%
2 5 0,416 41,6%
3 2 0,16 16%
4 2 0,16 16%
5 1 0,08 8%
N = 12. Nombre total d’individus de la mostra
Moda: 2 hores de TV (41,6% de la població)
2 + 4 + 3 + 2 + 2 + 1 + 0 + 2 + 5 + 4 + 3 + 2
Mitjana =
12
= 30
= 2,5 hores/dia
12
3 Diagrama de sectors: Anem a representar mitjançant diagrama de
sectors les opcions de carrera de 60 alumnes. S’han recollit les dades
següents: 10 alumnes Belles Arts, 5 Dret, 7 Medicina, 20 Periodisme,
10 Farmàcia, 8 Turisme. Primer hem de calcular sobre la mostra de 60
alumnes quin percentatge del total correspon a cada opció. Confi guram
la taula estadística:
Opcions f i F i = f i / N % (F i · 100)
Belles Artes 10 0,16 16%
Dret 5 0,08 8%
Medicina 7 0,11 11%
Periodisme 20 0,33 33%
Farmàcia 10 0,16 16%
Turisme 8 0,13 13%
En el diagrama hem d’assignar de 360°, que és el 100%, diferents sectors proporcionals
a cada un dels percentatges. En aquest cas el nostre total són 360°,
per la qual cosa els valors obtinguts en fer fi /N els hem de multiplicar per 360,
de manera que obtenim el valor (en angle o en graus) que es correspon amb
cada opció i que serà el que representi la porció del sector corresponent:
Belles Arts: 16% 0,16 × 360° = 57,6°; Dret: 8% 0,08 × 360° = 28,8°;
Medicina: 11% 0,11 × 360° = 39,6°; Periodisme: 33% 0,33 × 360° = 120°;
Farmàcia: 16% 0,16 × 360° = 57,6°; Turisme: 13% 0,13 × 360° = 46,8°
45%
40%
35%
30%
25%
20%
15%
10%
5%
0%
8% 8%
Belles Arts
Dret
Medicina
Periodisme
Farmàcia
Turisme
41,6%
16% 16%
8%
239

240
13 NOMBRE SECCIÓN
EXERCICIS
PROPOSATS
Eixos i representació
1 Defi neix eixos de coordenades i punt cartesià.
2 Dibuixa els punts següents en uns eixos cartesians:
A(1, 3) B(–2, 4) C(7, 2) D(–10, 1) E(2, –9)
3 Identifi ca els
punts següents i indica
les coordenades
de cada un d’ells:
4 Representa en els eixos de coordenades les situacions
següents:
a) Un punt en el primer quadrant.
b) Dos punts que siguin simètrics entre el segon i el tercer
quadrant.
c) Un punt en el tercer quadrant on la coordenada d’x
dupliqui en valor absolut la coordenada d’y.
Taules de valors i gràfi ques
5 Sabent que un cotxe es mou a velocitat
constant, completa la taula i fes la gràfi ca associada:
Temps (hores) 1 2 3 4 5 6 7
Espai recorregut (km) 150 600
6 Completa la taula i fes la gràfi ca corresponent
a aquesta taula de valors.
Quilograms que compr 0 1 2 3 4 5 6 7 8
Euros a pagar 0 1,5 3
Quant costa mig quilo?
Quant costa un quilo?
Quant costaran 10 quilos?
I
G
E
B
D
y
A
H
F
C
x
7 En un contenidor que té 100 litres d’aigua han
deixat l’aixeta oberta i es perden 10 litres d’aigua per
minut. Fes la taula en què es refl ectesgui aquesta pèrdua
d’aigua per minut i després representa-la gràfi cament.
Què observes?
8 Vols comprar barres de pa que costen 0,75 €. Fes
una taula que indiqui quant hauràs de pagar en funció
de quantes barres compris.
9 Penses convidar els teus amics al cine. Sabent
que sou un total de 15 amics i que el cine costa 4,5 €,
fes la taula i la gràfi ca en funció de la possible quantitat
d’amics que hi vagin.
Lectura de gràfi ques
10 Què signifi ca interpretar una gràfi ca?
11 Interpreta el gràfi c següent de l’escalfament
d’aigua des de l’estat sòlid fi ns l’estat gasós.
100
95
90
85
80
75
70
65
60
55
50
45
40
35
30
25
20
15
10
5
0
–5
–10
–15
–20
y = temperatura (°C)
x = temps (minuts)
x = tiempo (minutos)
12 Fixa’t en el gràfi c següent, que representa el
moviment d’un cotxe. Interpreta’l i respon les preguntes
següents.
70
60
50
40
30
20
10
y = velocitat velocidad (m/s)
0
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
x = tiempo x = temps (minutos) (minuts)
a) En quins intervals la velocitat és constant.
b) En quins intervals hi ha acceleració.
c) En quins intervals està frenant.
d) Té en algun moment velocitat zero?

13 Relaciona una gràfi ca amb l’enunciat més apropiat:
a) Nombre d’assistents a un concert i doblers que es recapten.
b) Frenada d’un cotxe fi ns a aconseguir velocitat zero.
c) Un vianant que va a velocitat constant.
I II III
14 Quina d’aquestes dues taules representa major
velocitat, la corresponent a la taula A o a la taula B? Raona
la resposta.
Tabla A
Temps (hores) 1 2 3 4 5 6 7 8
Espai (km) 75 150 225 300 375 450 525 600
Tabla B
Temps (hores) 1 2 3 4 5 6 7 8
Espai (km) 25 50 75 100 125 150 175 200
Concepte de funció
15 Assenyala quines són les magnituds que es relacionen
i digues quina és la variable independent i quina
és la variable dependent:
a) Temps de consum d’aigua d’un bidó i volum que queda.
b) Temps que s’escalfa un metall i temperatura que aconsegueix.
16 Defi neix amb les teves paraules i posa un exemple:
a) Magnitud.
b) Eix d’ordenades
c) Variable dependent.
d) Variable independent.
e) Funció.
17 He anat a una festa on hi havia un cartell que
posava:
Fes una taula del que pots gastar, que estarà en funció de
les consumicions que compris. Recorda que consumesquis
el que consumesquis, sempre pagaràs l’entrada.
(Recorda: Zero consumicions: pagaràs només 3 €. Una consumició:
pagaràs 5 €.)
18 Assenyala quines són les magnituds que es
relacionen i digues quina és la variable x i quina és la
variable y.
a) Temps que està encesa una bombeta i mesura del
comptador.
b) Altura a què vola un avió i temperatura exterior.
19 Dels supòsits següents, digues en quins casos
les variables es relacionen i en quins no:
a) Temperatura exterior i quantitat d’estrelles visibles.
b) Utilització d’un bolígraf i tinta restant.
c) Temps de cicle d’una rentadora i aigua consumida.
d) Temps d’exercici físic realitzat i calories consumides.
e) Velocitat d’un cotxe i temperatura interior del
cotxe.
20 En un supermercat, compris el que compris,
sempre et cobren per la bossa 0,5 €. Fes la taula del
que pagaràs en funció dels quilograms de pomes que
compris, sabent que avui estan d’oferta a 1,5 €/kg.
Població, mostra
21 Què és un estudi estadístic? Posa un exemple i
defi neix què és una taula estadística.
22 Quina diferència hi ha entre població, mostra i
individu?
23 Vols estudiar l’estatura mitjana dels joves entre
14 i 16 anys del teu poble. Quina mostra et sembla més
adequada? Raona la resposta.
a) Una mostra de 15 al·lotes pertanyents a un club de
bàsquet.
b) Dues classes de 4t d’ESO del teu centre.
c) Agafar a l’atzar 50 persones d’una sala de jocs.
d) Els 30 al·lots d’un equip de natació del teu poble.
241

242
13 NOMBRE SECCIÓN
EXERCICIS
PROPOSATS
24 Indica quina serà la població, la mostra i els individus
per als estudis estadístics següents:
a) Índex de mortalitat a Balears.
b) Mitjana de calories consumides per dia en nins d’entre
8 i 10 anys.
c) Consum mitjà d’aigua per família, en famílies nombroses
de Palma.
Taules estadístiques
25 Per triar el delegat d’una classe, s’ha votat entre
els voluntaris per ser-ho, i el resultat és el següent:
Aina: 3 Laura: 8
Joan: 4 Rosa: 0
Pere: 5 Isabel: 6
Maria: 7 Saïd: 4
Fes-ne la taula estadística i el diagrama de barres.
26 En una enquesta sobre el nombre d’idiomes
que parla una persona, el resultat va ser el següent:
1, 1, 1, 4, 2, 2, 2, 2, 3, 2, 3, 4, 1, 1, 1
a) Fes-ne la taula estadística.
b) Fes-ne la representació gràfi ca.
c) Quina és la moda i quina és la mitjana?
27 En una classe, les notes d’un examen de Ciències
Naturals són les següents:
7, 8, 9, 2, 9, 3, 5, 5, 3, 10, 10, 4, 9, 5, 2, 5, 5, 4, 9, 7
Fes-ne la taula estadística, el diagrama de barres i indica
quina és la moda i quina és la mitjana.
28 S’ha enquestat un grup de treballadors sobre les
hores de treball a la setmana i s’han obtingut els resultats
següents:
30, 35, 40, 45, 40, 32, 35, 40, 35, 40
Fes-ne la taula estadística, el diagrama de barres i indica
quina és la moda i quina és la mitjana.
29 En una enquesta sobre el nombre de cafès que
prenia una persona al dia, el resultat va ser el següent:
2, 4, 3, 2, 5, 3, 4, 1, 4, 3, 1, 3
a) Fes-ne la taula estadística.
b) Fes-ne la representació gràfi ca.
c) Quina és la moda i quina és la mitjana?
30 A la sortida d’un institut s’ha consultat el nombre
d’hores dedicades a les tasques domèstiques:
1, 2, 0, 1, 3, 2, 1, 1, 2, 3, 0, 1
a) Fes-ne la taula estadística.
b) Fes-ne la representació gràfi ca.
c) Quina és la moda i quina és la mitjana?
Gràfi cs estadístics
31 Interpreta el gràfi c estadístic següent i explica
com s’obté:
Preferències alimentàries dels joves de Balears
25%
10%
5%
30%
30%
arròs
pasta
ciurons
pizza
espinacs
32 Per quina mostra optaries per a l’estudi següent?
Quines passes duries a terme en l’estudi total?
«Els alumnes de 17 anys, escolten o no música mentre
estudien? En cas afi rmatiu, preferències musicals a l’hora
d’estudiar».
33 Interpreta la representació gràfi ca següent:
25%
20%
15%
10%
5%
0%
% de dies plujosos a una ciutat A
20% 20%
15% 15%
1% 1% 1% 1%
Com creus que s’ha fet l’estudi?
Gen
Feb
Mar
Abr
Mai
Jun
5%
Jul
Ago
Set
Oct
Nov
Des
7% 7% 7%

Paràmetres
34 Defi neix els paràmetres estadístics moda i mitjana
i posa’n un exemple de cada.
35 Associa la moda corresponent a cada un dels
casos:
2, 4, 2, 3, 4, 3, 2, 2, 3, 2 20
20, 25, 22, 22, 21, 20, 20 2
5, 7, 2, 5, 5, 7, 9 5
36 En aquesta seqüència de dades, quina és la mitjana
i quina és la moda?
15, 15, 20, 25, 10, 15, 20, 10, 15, 15
37 En un grup de 10 persones hem mesurat l’altura
de cada una d’elles i el resultat ha estat el següent:
1,80; 1,74; 1,82; 1,60; 1,50; 1,72; 1,50; 1,75; 1,65; 1,50
Calcula l’altura mitjana en aquest grup.
38 Quina és la moda entre els esports preferits dels
pares?
20%
Esports preferits dels pares
5% 15%
60%
Natació
Futbol
Bàsquet
Tennis
39 En la seqüència de dades següent, quina és la
mitjana i quina és la moda?
2,5; 3; 3; 1; 2,5; 4; 3; 1; 4; 4,5; 4,5
40 En una tenda d’electrodomèstics, han consultat
els clients sobre el nombre d’avaries que han patit els
seus electrodomèstics en un any i aquests han estat els
resultats obtinguts:
7, 4, 1, 0, 5, 6, 3, 2, 4, 3, 2, 1, 3
a) Quina és la moda i quina és la mitjana?
b) Després de fer la taula estadística, representa el diagrama
de barres.
41 Representa les dades de l’enquesta de l’exercici
anterior mitjançant un diagrama de sectors.
42 Imagina un estudi estadístic i representa’l mitjançant
un diagrama de barres.
43 Hem consultat als
encarregats d’un menjador
infantil la freqüència al mes
dels aliments següents:
Llenties
Ciurons
Macarrons
Espagueti
4
3
3
2
Nota: El mes es considera de
22 dies lectius.
Beines
Col-i-fl or
3
2
a) Quina és la moda?
Sopes 5
b) Després de fer-ne la taula estadística, representa el
diagrama de barres.
44 A cent enquestats en un concessionari, se’ls ha
consultat sobre les preferències que exigeixen de sèrie
en un cotxe:
Aire condicionat 28
Alçavidres elèctric 15
Ràdio MP3 17
Llantes d’aliatge 12
Pintura metal·litzada 3
Coixins de seguretat 18
Tapisseria de cuiro 2
Telèfon 5
a) Quina és la moda?
b) Després de fer-ne la taula estadística, representa el
diagrama de barres.
45 Després del mes
d’agost, en una agència de
turisme han confeccionat la
taula següent sobre les destinacions
més sol·licitades dels
clients
a) Quina és la moda?
Platja 37%
Muntanya 23%
Balnearis 11%
Cultural 18%
Neu 2%
Variat 7%
b) Fes el diagrama de barres i el diagrama de sectors.
243

244
13 PER REPASSAR
EN GRUP
Elabora amb el teu grup de treball un esquema amb els conceptes de la Unitat
següents i posa un exemple de cada un d’ells.
CONCEPTE DEFINICIÓ
Eixos
de coordenades
Són dos eixos, un horitzontal (eix X o abscisses) i un altre vertical (eix
Y o d’ordenades) col·locats perpendicularment, i s’anomena origen
de coordenades el punt de tall.
Punts del pla Vénen donats per dues coordenades expressades entre parèntesi: (x, y).
Taula de valors
Funció
Estadística
Població, mostra
i individu
Taules
estadístiques
Mitjana
Taula on queda expressada la relació dels valors de la primera magnitud,
anomenada x, i els de la segona magnitud, anomenada y.
Quan es relacionen 2 magnituds, una serà la variable independent,
que varia sense dependre de res, i l’altra serà la variable dependent,
que varia en funció de la variable independent.
- Variable independent: es representa en l’eix X.
- Variable dependent: es representa en l’eix Y.
Una funció és una relació entre dues variables de manera que a cada
valor de la variable independent li correspon, com a màxim, un valor
de la variable dependent.
Branca de les Matemàtiques mitjançant la qual s’obtenen dades sobre
una població per analitzar-les i interpretar-les.
Població: Grup d’elements sobre els quals es realitza una investigació.
Mostra: Part seleccionada d’una població d’on es recullen dades
signifi catives.
Individu: Tots i cadascun dels components de la població.
Freqüència absoluta (f i ): Recull les vegades que apareix cada un
dels valors que pot tenir la variable estudiada. La suma de totes les
freqüències absolutes es representa per N, que signifi ca a la vegada el
nombre total d’individus de la mostra o grandària de la mostra.
Freqüència relativa (F i ): És la divisió entre la freqüència absoluta i N.
Percentatge (%): Es troba multiplicant la freqüència relativa per 100.
És la suma de tots els valors de la variable comptats tantes vegades
com es repeteixen, dividida entre la grandària de la mostra.
Moda És el valor més repetit de la variable estudiada.
Representacions
estadístiques
gràfi ques
Diagrama de barres:
Diagrama de sectors:
Població (%)
50%
40%
30%
20%
10%
0%
10%
Belles Arts
Filosofi a
Dret
Biologia
Psicologia
Economia
No veuen la TV
Veuen la TV menys d’1 hora al dia
Veuen la TV entre 1 i 3 hores al dia
Veuen la TV més de 3 hores al dia
35%
30%
25%
30%
10% 10%
10%
15%
25%

CURIOSITATS, JOCS
I REPTES
ENFONSAMENT
DEL VAIXELL PIRATA
Per dur a terme aquest joc es necessita un
mínim de dos jugadors. Cada jugador fa una
plantilla com la del marge en la qual en cinc
dels quadres col·loca un vaixell.
Recorda que el teu contrincant no pot veure
on col·loques la fl ota!
Una vegada feta la quadrícula i col·locats els
vaixells, comença la batalla! Surt qualsevol
dels dos, dient una coordenada, per exemple:
(A, 3).
Si resulta que el contrari ha col·locat un vaixell en aquesta posició: enfonsat!
Tendràs una altra oportunitat, però si no ha col·locat cap vaixell en aquesta
posició: aigua! Llavors serà el torn de l’altre jugador. El guanyador serà el que
enfonsi primer els vaixells del contrari. Ànim i a guanyar!
LES MATEMÀTIQUES SÓN…
Quin és el mot clau…? Posa en aquest eix de coordenades els punts de la taula
i assigna’ls la lletra que els correspon. Després llegeix d’esquerra a dreta.
I (–4, 6); V (–3, 0); R (0, 0); S (10, –10); E (6, 3); U (–6, 3);
L (3, –7); S (1, 3); N (–5, 3); E (–2, 2); A (2, 4)
DESAFIAMENT MATEMÀTIC
Anem a simular que som periodistes!
Feu a classe grups de quatre persones i organitzau un petit estudi sobre les
hores que dediquen cada dia a la lectura els joves d’entre 15 i 18 anys. A més
a més, us heu proposat analitzar si estadísticament hi ha relació entre que els
pares siguin lectors i que ho siguin els joves.
Aquí proposam unes pautes a seguir:
• Tenir clar quina és la població.
• Escollir una mostra de la població (recorda que ha de ser una mostra representativa).
• Hauràs de fer una enquesta per informar-te si cada individu llegeix o no.
En cas afi rmatiu, demana quantes hores llegeix al dia i, independentment
de la resposta inicial, pregunta per la inclinació dels pares i mares envers
la lectura.
• Ordenar les dades obtingudes en una taula estadística.
• Trobar els paràmetres estadístics.
• Per acabar, feu un petit informe sobre les conclusions obtingudes.
Ànim, periodistes!
A
B
C
D
E
F
G
1 2 3 4 5 6 7
245