CALCULO DE MOMENTOS DE INERCIA

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Para el cilindro podemos calcular su momento de inercia de forma similar a como hicimos en el apartado anterior. Utilizando la fórmula anterior y haciendo la sustitución b = R y a = 0, tenemos que: Icilindro = 1 2 M cilindroR 2 = 1 2 ρπ R2 ( L)R 2 = 1 2 ρπ R4L . Para el cálculo del momento de inercia de las dos piezas esféricas dividámoslas en rodajas de espesor dz y radio r como se muestra en la figura. La relación entre r y z es: r 2 + z 2 = ( 2R) 2 ⇒ r 2 = 4R 2 − z 2 La cantidad de masa contenida en una de las rodajas será: dm = ρπ r 2 dz Y la contribución de cada rodaja, considerada como un disco, al momento de inercia respecto del eje de simetría será: dIz,rodaja = 1 2 dmr2 = 1 2 ρπ r4 dz = 1 2 ρπ 4R2 − z 2 ( ) 2 dz El momento de inercia de la pieza esférica será: Iz = ∫ dI z,rodaja = z máx . 1 2 ρπ 4R2 − z 2 ( ) 2 ⌠ ⎮⎮ dz = ⌡ z mín. = 1 2 ρπ 16R4z − 8 3 R2z 3 + 1 ⎛⎛ ⎝⎝ 5 z5 ⎞⎞ ⎤⎤ ⎠⎠ ⎦⎦ La masa de esta pieza esférica será: z máx . 2R ⎥⎥ − 3R 1 2 ρπ 16R4 − 8R 2 z 2 + z 4 ⌠ ⎮⎮ ( )dz = ⌡ Física Tema Página 4 2R − 3R = 1 2 ( ) dz M esfera = ∫ dmrodaja = ρπ 4R 2 − z 2 ∫ z mín. = ρπ 4R 2 z − 1 ⎛⎛ ⎝⎝ 3 z3 ⎞⎞ ⎤⎤ ⎠⎠ ⎦⎦ 2R ⎥⎥ − 3R El momento de inercia de todo el objeto será: Iz = Iz,cilindro + 2I z,esfera = ρπ R 4 ⎧⎧ L ⎛⎛ 256 ⎨⎨ + ⎩⎩ 2 ⎝⎝ 15 ⎛⎛ 256 ρπ R5 ⎝⎝ 15 = + 49 5 = ρπ R 3⎛⎛ 16 ⎞⎞ + 3 3 ⎝⎝ 3 ⎠⎠ + 49 5 ⎞⎞ 3 ⎠⎠ R ⎫⎫ ⎬⎬ ⎭⎭ ⎞⎞ 3 ⎠⎠ 2R Z z R r
Que se puede escribir en función de la masa del objeto sustituyendo la densidad en función de ésta: M = M cilindro + 2M esfera = ρπ R 2 L + 32 ⎛⎛ ⎞⎞ + 6 3 ⎝⎝ 3 ⎠⎠ R ⎧⎧ ⎫⎫ ⎨⎨ ⎬⎬ ⎩⎩ ⎭⎭ M ⇒ ρ = π R 2 L + 32 ⎛⎛ ⎞⎞ + 6 3 ⎝⎝ 3 ⎠⎠ R ⎧⎧ ⎫⎫ ⎨⎨ ⎬⎬ ⎩⎩ ⎭⎭ Física Tema Página 5 ⇒ Si hubiésemos considerado desde el principio esferas completas el resultado no hubiese diferido mucho del anterior (como se puede comprobar dando valores para L y R) y vendría dado por: ⎧⎧ ⎪⎪ Iz = ⎨⎨ ⎪⎪ ⎩⎩ L 512 + 2 15 R L + 64 3 R ⎫⎫ ⎪⎪ ⎬⎬ ⎪⎪ ⎭⎭ MR2 Calcular el momento de inercia de una esfera hueca respecto a un eje que pasa por su centro. Solución: I.T.I. 01, 04, I.T.I. 04 Coloquemos nuestro origen de coordenadas en el centro de la esfera. Todos los puntos de la esfera se encuentran a la misma distancia de dicho centro, por lo tanto si calculamos su momento de inercia polar respecto de dicho punto nos dará: I O = MR 2 . Por simetría el momento de inercia respecto de los tres ejes coordenados X, Y y Z tiene el mismo valor I x = I y = I z, y además se verifica que: I x + I y + I z = 2I O ⇒ I x = I y = I z = Determínese el momento de inercia de un cono circular recto respecto a: a) su eje longitudinal, b) un eje que pasa por el vértice del cono y es perpendicular a su eje longitudinal, c) un eje que pasa por el centro de gravedad del cono y es perpendicular a su eje longitudinal. Solución: I.T.I. 01, 04, I.T.T. 04 2 3 MR2 Orientemos el eje X de forma que sea el eje longitudinal del cono, como se muestra en la figura. Dividamos al cono en rodajas circulares de espesor dx y radio r. La relación entre r y x es: L ⎛⎛ 256 49 ⎞⎞ + + 3 2 ⎝⎝ 15 5 ⎠⎠ Iz = R L + 32 ⎛⎛ ⎞⎞ + 6 3 ⎝⎝ 3 ⎠⎠ R ⎧⎧ ⎫⎫ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎨⎨ ⎬⎬ MR ⎪⎪ ⎪⎪ ⎩⎩ ⎪⎪ ⎭⎭ ⎪⎪ 2 z y x H R x
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Page 3: Calcular los momentos de inercia re
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Page 9 and 10: Para la coordenada y del C.M. vamos
Page 11: Ix = ∫ dIx = h 1 2 ρπ a 4 ⌠

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