CALCULO DE MOMENTOS DE INERCIA

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Calcular el centro de masas de medio paraboloide (y ≥ 0) de revolución alrededor del eje X,
cuyo radio en la base es R, la altura es H, y su vértice se encuentra en el origen de
coordenadas. Calcular sus momentos de inercia I x, I y e I z. Si Y’ es un eje paralelo al eje Y pero
que pasa por la base del paraboloide, calcular I y’.
Solución: I.T.I. 04, I.T.T. 01, 04
z
z
y
H
R
x = k r 2
H = k R 2
⎫⎫
⎪⎪
⎬⎬
⎪⎪
⎭⎭
El volumen de cada uno de los semidiscos será:
dV = 1
2 π r2dx = 1 R2
π
2 H x
⎛⎛ ⎞⎞
⎜⎜ ⎟⎟ dx
⎝⎝ ⎠⎠
El volumen total del semiparaboloide será:
V = ∫ dV =
H
x
1 R2
π
2 H x
⌠ ⎛⎛ ⎞⎞
⎮⎮ ⎜⎜ ⎟⎟ dx
⌡ ⎝⎝ ⎠⎠
La coordenada x del C.M. será:
∫
y
x
a
0
1 ⎛⎛ R2 ⎞⎞
x dV = π
2 ⎝⎝
⎜⎜
H ⎠⎠
⎟⎟ x 2 ⌠
⎮⎮ dx
⌡
0
⇒ x C .M . =
r
x dV
∫ dV
∫
=
x
Sea el semiparaboloide de la figura orientado a lo
largo del eje X, de altura H y radio R. Dado que el
plano XY es un plano de simetría que divide al
semiparaboloide en dos mitades simétricas, el
C.M. se encontrará en dicho plano, con lo cual la
coordenada z del C.M. será nula:
zC.M . = 0
Para el cálculo de la coordenada x del C.M.
dividimos al semiparaboloide en rodajas en forma
de semidiscos de radio r y espesor dx. La
ecuación del paraboloide nos da la relación entre
la coordenada x y el radio r de los semidiscos:
H
⇒ k =
R 2 ⇒ r = R2
H x
⎛⎛ ⎞⎞
⎜⎜ ⎟⎟
⎝⎝ ⎠⎠
= 1
4 π R2 H
= 1
6 π R2 H 2
2
3 H
Física Tema Página 8
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