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x<br />
= R<br />
H<br />
⎛⎛ R ⎞⎞<br />
⇒ r =<br />
⎝⎝ H⎠⎠<br />
x<br />
La cantidad de masa contenida en una de las rodajas será:<br />
dm = ρπ r 2 dx = ρπ R ⎛⎛ ⎞⎞<br />
⎝⎝ H⎠⎠<br />
2<br />
x 2 dx<br />
a) El momento de inercia del cono será igual a la suma de los momentos de inercia de<br />
todas las rodajas:<br />
1<br />
Ix = ∫ dIx =<br />
2 dmr2<br />
⌠<br />
⎮⎮ =<br />
⌡<br />
H<br />
⌠ 1 ⎛⎛ R ⎞⎞<br />
⎮⎮ ρπ<br />
⌡ 2 ⎝⎝ H⎠⎠<br />
0<br />
Física Tema Página 6<br />
4<br />
x 4 dx<br />
Para escribir el resultado en función de la masa del cono:<br />
M = ∫ dm = ρπ R ⌠ ⎛⎛ ⎞⎞<br />
⎮⎮<br />
⌡ ⎝⎝ H⎠⎠<br />
H<br />
0<br />
2<br />
x 2 dx<br />
= 1<br />
10 ρπ R4 H<br />
= 1<br />
3 ρπ R2 H ⇒ ρ = 3M<br />
πR 2 H<br />
Sustituyendo en la expresión del momento de inercia:<br />
I x = 3<br />
10 MR2<br />
b) Calculemos ahora el momento de inercia respecto del eje Y. Consideremos<br />
primeramente unos ejes Y ʹ′ y Z ʹ′ contenidos en el plano de cada rodaja y paralelos<br />
respectivamente a los ejes Y y Z. Para cada rodaja tendremos:<br />
por simetría: dIy ʹ′ = dIz ʹ′<br />
teorema de los ejes perp.: dI x = dI ʹ′<br />
y + dIz ʹ′<br />
⎫⎫<br />
⎪⎪<br />
⎬⎬<br />
⎪⎪<br />
⎭⎭<br />
⇒ dI ʹ′<br />
y = dIz ʹ′ = 1<br />
2 dI x = 1<br />
4<br />
dmr 2<br />
Utilizando el teorema de Steiner podemos calcular el momento de inercia de cada<br />
rodaja respecto del eje Y:<br />
dIy = dI y ʹ′ + dmx 2 = 1<br />
4<br />
⎛⎛ R ⎞⎞<br />
ρπ<br />
4 ⎝⎝ H⎠⎠<br />
x 4 dx + ρπ R<br />
2<br />
⎛⎛ ⎞⎞<br />
⎝⎝ H⎠⎠<br />
x 4 dx = ρπ R<br />
2<br />
⎛⎛ ⎞⎞ ⎡⎡ 1 ⎛⎛ R ⎞⎞<br />
⎝⎝ H ⎠⎠<br />
⎢⎢<br />
⎣⎣ ⎢⎢ 4 ⎝⎝ H⎠⎠<br />
El momento de inercia del cono respecto del eje Y será:<br />
2<br />
⎤⎤<br />
+1⎥⎥<br />
⎦⎦ ⎥⎥ x 4 dx