CALCULO DE MOMENTOS DE INERCIA

Para la coordenada y del C.M. vamos a utilizar los mismos diferenciales de volumen del
cálculo anterior, a pesar de que todos sus puntos no tengan la misma coordenada y.
4r
Sabiendo que el C.M. de un semicírculo de radio r se encuentra a una distancia
3π del
diámetro, vamos a tomar esta posición como la representativa de cada una de las rodajas
utilizadas en el apartado anterior.
∫
⎛⎛ 4r ⎞⎞
ysemidisco dV =
⎝⎝ 3π ⎠⎠ dV
⌠ ⌠ ⎛⎛ 4r ⎞⎞
⎮⎮ = ⎮⎮
⌡ ⌡ ⎝⎝ 3π ⎠⎠
H
2
=
3 r3 ⌠ 2 R
⎮⎮ dx =
⌡ 3
2
H x
⌠ ⎛⎛ ⎞⎞
⎮⎮
⎮⎮
⎜⎜ ⎟⎟
⌡
⎝⎝ ⎠⎠
0
⇒ y C.M . = y semidisco dV
∫
H
0
H
0
∫
dV
1
2 πr2 dx
su momento de inercia respecto del eje X será la suma de los momentos de inercia de
todas las rodajas:
€
Física Tema Página 9
3
2
dx
=
=
= 4
15 R3 H
Vamos a calcular ahora los momentos de inercia del semiparaboloide. Para simplificar
los cálculos vamos a realizarlos para el paraboloide completo y después dividiremos por
dos. Si dividimos el paraboloide en rodajas de espesor dx (igual que hacíamos en los
cálculos anteriores pero ahora las rodajas son círculos completos) la cantidad de masa
contenida en una de las rodajas será:
dm = ρπ r 2 dx = ρπ R2
H x
⎛⎛ ⎞⎞
⎜⎜ ⎟⎟ dx
⎝⎝ ⎠⎠
∫ =
I x, parab . = dI x
H
1 2
dmr
2 ⌠ 1 R4
⎮⎮ = ρπ
⌡ 2 H 2
⎛⎛ ⎞⎞
⎜⎜ ⎟⎟ x
⎝⎝ ⎠⎠
2 ⌠
⎮⎮
dx
⌡
0
= 1
6 ρπ R4 H
Para escribir el resultado en función de la masa del paraboloide:
M parab. = ∫ dm = ρπ R2
H x
⌠ ⎛⎛ ⎞⎞
⎮⎮ ⎜⎜ ⎟⎟ dx
⌡ ⎝⎝ ⎠⎠
H
0
16R
15π
= 1
2 ρπ R2 H ⇒ ρ = 2M
πR 2 H
Sustituyendo en la expresión del momento de inercia: I x = 1
3 M parab. R2
Para el cálculo de I y , I z tenemos que por simetría I y = I z. Calculemos ahora el momento
de inercia respecto del eje Y. Consideremos primeramente unos ejes Y * y Z *