CALCULO DE MOMENTOS DE INERCIA

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x = R H ⎛⎛ R ⎞⎞ ⇒ r = ⎝⎝ H⎠⎠ x La cantidad de masa contenida en una de las rodajas será: dm = ρπ r 2 dx = ρπ R ⎛⎛ ⎞⎞ ⎝⎝ H⎠⎠ 2 x 2 dx a) El momento de inercia del cono será igual a la suma de los momentos de inercia de todas las rodajas: 1 Ix = ∫ dIx = 2 dmr2 ⌠ ⎮⎮ = ⌡ H ⌠ 1 ⎛⎛ R ⎞⎞ ⎮⎮ ρπ ⌡ 2 ⎝⎝ H⎠⎠ 0 Física Tema Página 6 4 x 4 dx Para escribir el resultado en función de la masa del cono: M = ∫ dm = ρπ R ⌠ ⎛⎛ ⎞⎞ ⎮⎮ ⌡ ⎝⎝ H⎠⎠ H 0 2 x 2 dx = 1 10 ρπ R4 H = 1 3 ρπ R2 H ⇒ ρ = 3M πR 2 H Sustituyendo en la expresión del momento de inercia: I x = 3 10 MR2 b) Calculemos ahora el momento de inercia respecto del eje Y. Consideremos primeramente unos ejes Y ʹ′ y Z ʹ′ contenidos en el plano de cada rodaja y paralelos respectivamente a los ejes Y y Z. Para cada rodaja tendremos: por simetría: dIy ʹ′ = dIz ʹ′ teorema de los ejes perp.: dI x = dI ʹ′ y + dIz ʹ′ ⎫⎫ ⎪⎪ ⎬⎬ ⎪⎪ ⎭⎭ ⇒ dI ʹ′ y = dIz ʹ′ = 1 2 dI x = 1 4 dmr 2 Utilizando el teorema de Steiner podemos calcular el momento de inercia de cada rodaja respecto del eje Y: dIy = dI y ʹ′ + dmx 2 = 1 4 ⎛⎛ R ⎞⎞ ρπ 4 ⎝⎝ H⎠⎠ x 4 dx + ρπ R 2 ⎛⎛ ⎞⎞ ⎝⎝ H⎠⎠ x 4 dx = ρπ R 2 ⎛⎛ ⎞⎞ ⎡⎡ 1 ⎛⎛ R ⎞⎞ ⎝⎝ H ⎠⎠ ⎢⎢ ⎣⎣ ⎢⎢ 4 ⎝⎝ H⎠⎠ El momento de inercia del cono respecto del eje Y será: 2 ⎤⎤ +1⎥⎥ ⎦⎦ ⎥⎥ x 4 dx
H Iy = ∫ dIy = ρπ R 2 ⌠ ⎛⎛ ⎞⎞ ⎡⎡ 1 ⎛⎛ R ⎞⎞ ⎮⎮ ⎝⎝ H⎠⎠ ⎢⎢ ⌡ ⎣⎣ ⎢⎢ 4 ⎝⎝ H⎠⎠ 0 = 1 1 ρπ R2 5 4 R2 + H 2 ⎡⎡ ⎤⎤ ⎣⎣ ⎢⎢ ⎦⎦ ⎥⎥ H = Física Tema Página 7 2 ⎤⎤ +1⎥⎥ ⎦⎦ ⎥⎥ x4 dx = c) Consideremos un eje Y C.M. paralelo al eje Y y que pase por el C.M. del cono. Sabiendo que el C.M. del cono se encuentra a una distancia de su vértice de tres cuartos de su altura y aplicando el teorema de Steiner: I y = I yC . M . 3 + M 4 H ⎛⎛ ⎞⎞ ⎝⎝ ⎠⎠ 2 ⇒ Dada la semiesfera x 2 + y 2 + z 2 = R 2 , z ≥ 0. Calcular sus momentos de inercia I x, I y e I z Solución: I.T.I. 01, 04, I.T.T. 04 Para una esfera completa tenemos que el momento de inercia respecto de cualquier eje que pase por su centro es: I x,esfera = I y,esfera = I z,esfera = 2 5 M esfera R2 Cada semiesfera contribuye de igual forma al momento de inercia de la esfera completa, por lo tanto: Ix,semiesfera = I y,semiesfera = I z,semiesfera = 1 2 2 5 M esferaR2 ⎛⎛ ⎞⎞ 2 1 ⎝⎝ ⎠⎠ = 5 2 M ⎛⎛ ⎞⎞ ⎝⎝ esfera⎠⎠ R2 = 3 5 1 M 4 R2 + H 2 ⎡⎡ ⎤⎤ ⎣⎣ ⎢⎢ ⎦⎦ ⎥⎥ I = yC . M . 3 20 M R2 + 1 2 H 4 ⎡⎡ ⎤⎤ ⎣⎣ ⎢⎢ ⎦⎦ ⎥⎥ Es decir la expresión matemática resulta ser la misma, dos quintos de la masa por el radio al cuadrado, pero teniendo en cuenta que ahora la masa de nuestra pieza es la de una semiesfera, no la de la esfera completa. x z R y 2 5 M semiesfera R2
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