BANCO DE PREGUNTAS - GEOMETRIA - MAYO - 2010 - Webnode

GEOMETRIA PLANA O EUCLIDEA
Un postulado es una proposición de "verdad evidente" que no requiere demostración, pues se justifica a sí
misma, y sobre la cual se construye el resto de conocimientos por medio de la deducción.
POSTULADOS GEOMETRICOS
• Por dos puntos dados puede hacerse pasar una recta y solo una, por lo tanto dos rectas no pueden
cortarse en mas de un punto. Y dos puntos definen una recta
• Toda recta puede prolongarse en ambos sentidos.
• El camino más corto entre dos puntos es la recta que los une.
• Una circunferencia queda determinada si se conoce su centro y su radio.
• Toda figura puede cambiarse de posición sin alterar su forma ni dimensiones.
PROPIEDADES DE PUNTO, RECTA Y PLANO
Existen infinitos, puntos, rectas y planos.
A un plano pertenecen infinitos puntos y existen también infinitos puntos que no pertenecen a ella.
A una recta pertenecen infinitos puntos y existen también infinitos puntos que no pertenecen a ella.
1

Por un punto pasan infinitas rectas que llamamos haz de rectas
Tres puntos no colineales determinan un plano, o una recta y un punto fuera de ella determinan un plano de
modo que el punto pertenece al mismo y la recta está incluida en él.
Toda recta está incluida en infinitos planos.
2

Tres o más puntos son colineales si pertenecen a una misma recta
Si varios puntos están en un mismo plano, decimos que dichos puntos son coplanarios.
Se llama espacio al conjunto de todos los puntos
Se llama figura geométrica a todo subconjunto (no vacío) del espacio
Bisector, bisectriz: es el punto, línea o plano que divide a una figura geométrica en dos partes iguales.
ANGULOS
Definición: Angulo: abertura entre dos rectas que se cortan o encuentran, las rectas que se cortan se
llaman lados, el punto de encuentro o corte se llama vértice.
Magnitud: El tamaño del ángulo depende únicamente de la magnitud de rotación necesaria para llevar uno
de sus lados a la posición del otro, manteniendo el vértice fijo.
Modo de nombrar un ángulo:
Un ángulo se designa en cualquiera de las siguientes formas:
Con la sola letra del vértice si hay únicamente un ángulo que tenga tal vértice. Por ejemplo < B
Con una letra minúscula o un número que se coloca interior del ángulo en las cercanías del vértice; por
ejemplo, a
< o < 1
Por medio de 3 letras mayúsculas, de las cuales la del vértice se halla en el centro y se nombra entre las
otras dos, que se colocan sobre lados del ángulo.
B C
Vértice
A
B
a 1
B es donde esta el ángulo y
siempre va al centro
El ángulo de nombra asi:
< A B C
Conguencia o igualdad: Dos ángulos son iguales cuando el uno puede colocarse sobre el otro de manera
que coincidan los vértices y los lados tomen la misma dirección.
Angulos adyacentes son los que tiene el vértice y uno de sus lados comunes y además el uno es externo al
otro.
3

Perígono : ángulo que se obtiene al realizar una rotación completa de una recta alrededor de un punto fijo.
Grado: unidad de medida de ángulos de magnitud igual a la 360ª parte de un perígono.
Recta bisectriz: divide al ángulo en dos partes iguales.
Perpendiculares; dos rectas son perpendiculares entre si se cortan formando ángulos adyacentes iguales,
es decir ángulos rectos.
En un plano por un punto externo a una recta se puede trazar a esta una sola perpendicular.
Mediatriz :Si una recta biseca (corta en dos partes iguales) a un segmento, y además, es perpendicular a él
se llama mediatriz. Mediatriz es, la perpendicular a un segmento en su punto medio.
E
90º
90º
M
A
90º
G
H
90º
F
2

Clases de ángulos
Ángulo agudo: es menor de 90º
Ángulo recto: tiene 90º
Ángulo obtuso: es mayor que 90º pero menor de 180º.
Ángulo llano o plano: mide 180º.
Ángulo cóncavo o entrante: es mayor que 180º pero menor que 360º.
Relación entre ángulos:
Ángulos complementarios: son los que sumados dan 90º.
Ejemplo
60º + 30º = 90º
Ángulos suplementarios son los ángulos que sumados dan 180º.
Ejemplo:
140º
140º + 40º = 180º
Agulos conjugados: se dice de dos ángulos que sumados forman un perígono.
210º
B
90º
60
150º
30º
40º
180º
150º+ 210º = 360º
La suma de dos ángulos adyacentes que forman dos rectas al cortarse es igual a dos rectos.
5

Angulos opuestos por el vértice:
del otro.
Todos los ángulos opuestos por el vértice son iguales.
Paralelas: : si dos rectas de un plano no se cortan por mas que se prolonguen se llaman paralelas.
Propiedades de las paralelas:
Por un punto externo a una recta se puede trazar a esta una solo paralela.
Si una recta es paralela a una segunda y esta paralela a una tercera, la primera es paralela a la tercera.
Dos rectas ubicadas en un mismo plano y perpendiculares simultáneamente a una tercera son paralelas
entre sí.
Igualdad de ángulos entre paralelas:
Ángulos formados por rectas paralelas cortadas por una transversal.
1
L
2
L
Tipos de ángulos formados

TRIANGULO
Definición: Triángulo; espacio limitado por tres segmentos de recta que se encuentran
encuentran.
Los puntos de concurrencia se llaman vértices, y los segmentos lados.
Propiedades de los triángulos
- En los triángulos contenidos en un plano, la suma de todos los ángulos internos, es igual a 180°.
- A mayor lado se opone mayor ángulo.
- La suma de las longitudes de dos de sus lados es siempr siempre e mayor que la longitud del tercer lado y su
diferencia menor.
Clasificación de los triángulos:
Según sus lados:
Escaleno: : sus lados y sus ángulos no son congruentes.
Isósceles: : es un tipo de triángulo que tiene dos lados iguales. Los ángulos opuestos a estos lados iguales
serán iguales.
Equilátero: : es un triángulo que tiene sus tres lados iguales y sus ángulos también son iguales.
7

-Por sus ángulos:
Acutángulo: : un triángulo acutángulo tiene sus tres ángulos agudos.
Obtusángulo: este tipo o de triángulo tiene un ángulo obtuso y dos agudos. El lado opuesto al ángulo obtuso
será de mayor longitud.
Rectángulo: : es aquel triángulo que tiene un ángulo recto y dos agudos. El lado opuesto al ángulo recto se
llama hipotenusa y los otros dos lados se llaman catetos. Para calcular cuánto mide ide la hipotenusa se aplica el
Teorema de Pitágoras que consiste en que la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los otros
dos lados (catetos).
Fórmula: a 2 + b 2 = c 2
Líneas fundamentales de los triángulos
Mediana.- Es el segmento que tiene por extremos un vértice del triángulo y el punto medio del lado opuesto.
Cualquier ualquier triángulo tendrá 3 medianas: AP, BQ y CR, ó ma, mb, mc, respectivamente.
8

Las 3 medianas de un triángulo se intersecan en un único punto G llamado BARICENTRO que es el punto de
cruce de las medianas y es el centro de gravedad del triángulo.
Bisectriz Interna.- Es la línea que partiendo del vértice divide a un ángulo en 2 iguales.
Existen 3 bisectrices internas: AD, BE y CF, ó Va, Vb, Vc, respectivamente.
El Incentro (G), es el punto de cruce de las bisectrices y además es el centro del círculo inscrito.
El punto * esta ubicado siempre en la parte interior de cualquier triángulo.
Altura.- Es la perpendicular trazada desde un vértice hacia el lado opuesto o a su prolongación.
Cualquier triángulo tiene alturas: AL, BM, CN respectivamente.
Las alturas se intersecan en un único punto H llamado Ortocentro, punto que está ubicado al interior del
triángulo si este es acutángulo y en el exterior del mismo si este es obtusángulo, es este caso el ortocentro
se determina prolongando las alturas.
Mediatriz.- Es la recta perpendicular levantada en el punto medio de un lado cualquiera del triángulo, por lo
tanto tiene 3 mediatrices: PO, QO y RO
9

Las 3 mediatrices se intersecan en un único punto O llamado Circuncentro, que se encontrará dentro del
triángulo si es acutángulo y fuera de él si es obtusángulo. Además el circuncentro equidista de los vértices y
es el centro del círculo circunscrito.
Angulo externo de un triángulo es el formando por uno de sus lados y la prolongación de otro.
El ángulo externo de un triángulo es igual a la suma de sus dos internos opuestos.
Area de un triángulo= base * atura / 2 (b*h/2)
Base.- Es cualquier lado de un triángulo, por lo tanto todo triángulo tiene 3 bases. En el caso del triángulo
isósceles se acostumbra llamar base al lado no congruente, si lo tiene.
CUADRILATERO
Cuadrilátero: porción de plano limitado por cuatro rectas llamadas lados.
Cuadriláteros especiales:
Trapecio: el que tiene dos lados paralelos y dos no paralelos.
Trapecio isósceles el que tiene los lados no paralelos iguales.
Paralelogramo: el que tiene los lados opuestos paralelos.
Rectángulo: paralelogramo con sus cuatro ángulos rectos.
10

Rombo: paralelogramo que tiene sus cuatro lados iguales.
Cuadrado : paralelogramo que es rectángulo y rombo a la vez.
Base del cuadrilátero: lado en el que se supone descansa la figura.
Altura de paralelogramo o trapecio es la longitud de la perpendicular trazada desde la base a su lado
opuesto.
Diagonal: recta que une dos vértices no consecutivos.
Número de diagonales de un polígono
Si n es el número de lados de un polígono:
Número de diagonales = n · (n − 3) : 2
Ejemplo para un hexágono
Nº de diagonales = 4 · (6 − 3) : 2 = 112
11

AREAS:
Paralelogramo: Base * altura
Trapecio: (base mayor + base menor) * altura /2
POLIGONO
Definición: porción de plano limitado por segmentos de recta.
Los polígonos según la magnitud de sus ángulos se divide en cóncavos y convexos, se dice convexo si los
ángulos interiores son menores de 180º. Si uno o más de los ángulos interiores es mayor de 180, el polígono
es no convexo, o cóncavo
12

Cóncavo convexo
Según egún su número de lados se dividen en triángulos, tres lados, cuadriláteros: cuatro lados, pentágonos: cinco
lados, etc.
Polígono equilátero: si todos sus lados son iguales.
Polígono equiángulo si todos sus ángulos son iguales.
Polígonos regulares: : aquellos que son simultáneamente equiángulos y equiláteros. Ejem.
Angulo interno de un polígono se dice el formando por los lados consecutivos ver gráfico anterior.
La suma de los ángulos internos de un polígono es igual a 2 rectos rectos*( n-2) 2) donde n es el número de lados lados.
Angulo central de un polígono regular es el formado ppor
dos semirrectas que unen el centro con dos
vértices consecutivos.
Apotema. La apotema de un polígono regular es la distancia del centro al punto medio de un lado
Ángulo externo se define como el formado por uno de sus lados y la prolongación de otro otro.
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Área de un polígono regular
CIRCULO
Definición: : superficie plana limitada por una curva que tiene todos sus puntos equidistantes de un punto fijo, a
la curva se le llama circunferencia, el punto fijo centro, la distancia igual se llama radio.
Elementos de la circunferencia:
A =
perimetro * apotema
2
• centro, punto interior equidistante de todos los puntos de la circunferencia;
• radio, , el segmento que une el centro con un punto de la circunferencia;
• diámetro, el mayor segmento to que une dos puntos de la circunferencia y, lógicamente, pasa por el
centro;
• cuerda, , el segmento que une dos puntos de la circunferencia; las cuerdas de longitud máxima son
los diámetros;
• recta secante, , la que corta a la circunferencia en dos puntos;
• recta tangente, , la que toca a la circunferencia en un sólo punto;
• punto de tangencia, el de contacto de la tangente con la circunferencia;
• arco, , segmento curvilíneo de puntos perten pertenecientes a la circunferencia;
• semicircunferencia, cada uno de los dos arcos delimitados por los extremos de un diámetro.
14

Área de círculo= π * r²
Perímetro de circunferencia = 2 * π * r
Área de sector circular = π * r² * nº /360º
Donde : r = radio
nº = ángulo central en grados
CUERPO GEOMETRICOS
Poliedro: es un sólido limitado por planos planos.
Prisma: poliedro en el cual dos de sus caras son polígonos iguales situados en planos paralelos y cuyas ot otras
caras son paralelogramos.
Base de prisma: uno cualesquiera de los lados paralelos iguales.
Pirámide: poliedro en que una de sus caras es un polígono cualquiera y las otras son triángu triángulos, llamadas
caras laterales, estas tienen un vértice común, denominado vértice de la pirámide.
Altura de la pirámide: perpendicular bajada desde su vértice a la base.
Prisma recto: cuando los ángulos formados por las caras y las bases son rectos.
15

Pirámide recta cuando la altura de la pirámide pasa por el centro de la base.
Pirámide regular cuando la base es un polígono regular.
Cuerpos redondos: Están limitados únicamente por superficies curvas o por superficies planas y curvas.
Cilindro recto: cuerpo con bases circulares de igual radio.
Cono recto: cuerpo que tiene como base una circun circunferencia.
Esfera: El conjunto de todos los puntos del especio que se encuentran a igual distancia r de un punto O es
una superficie esférica.
VOLUMEN:
Es el número no negativo que indica la porción de especio que ocupa el cuerpo, con respecto a una uni unidad
de medida.
Volúmenes de algunos cuerpos geométricos:
Ortoedro: V= producto de las tres aristas
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Cubo: V= arista al cubo
Prisma recto: V= base * altura
Pirámide: V= base * altura / 3.
Cilindro:
Cono :
Esfera:
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PROPORCIONES
Definiciones.-
Razón: llámese al cociente de dos cantidades. (cantidad es el número que expresa la medida)
Serie de razones: tres o más razones iguales.
Propiedades de una serie de razones:
La razón entre la suma de los antecedentes y la suma de los consecuentes es igual cualquiera de las
razones de la serie dada.
Proporción.- Definición: igualdad de dos razones.
Simbólicamente:
a c
=
b d
Se lee a es a b como c es a d
Cada cantidad que interviene en una proporción se denomina término, a los términos a y d se nombran
extremos y a los términos b y c medios. También a los términos a y c se los nombra antecedentes a los b y
d consecuentes.
Se dice que una proporción es continua si tiene los medios iguales.
Propiedades de las proporciones:
- En toda proporción el producto de los extremos es igual al producto de los medios.
- En toda proporción la suma o resta de los antecedentes con sus respectivos consecuentes da como
resultado otra proporción.
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PROBLEMAS
ROBLEMAS
ROBLEMAS GEOMETRIA GEOMETRIA PLANA: PLANA:
1. Señalar la proposición verdadera:
a) Dos rectas siempre son coplanarias
b) Dos rectas coincidentes son coplanarias.
c) Por dos puntos pueden pasar infinidad de rectas.
d) Tres puntos colineales determinan un plano.
e) Ninguna de las anteriores.
2. Considérense cuatro puntos en el espacio, no coplanarios, ¿cuantos planos se pueden
determinar?
a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) Ninguno de los anteriores.
3. Señalar la proposición falsa:
a) Existen infinitos puntos pertenecientes a una recta.
b) Por un punto pasan infinitas rectas.
c) Dos puntos distintos determinan una recta.
d) Si una recta y un plano tienen un punto en común, entonces la recta está necesariamente contenida
en el plano.
e) Si una recta y un plano tienen un punto en común, entonces la recta puede estar contenida en el plano.
4. Señalar la afirmación verdadera; un plano esta determinado por:
a) Tres puntos no colineales.
b) Una recta y un punto externo.
c) Dos rectas que se intersecan.
d) Dos rectas paralelas.
e) Ninguna de las anteriores
5. ¿La proposición falsa es?
a) Dos ángulos opuestos por el vértice son congruentes.
b) Dos ángulos congruentes son siempre opuestos por el vértice.
c) Todo ángulo posee una sola bisectriz.
d) Un triángulo isósceles puede ser equilátero.
e) Si un triángulo es equilátero, entonces se puede afirmar que es isósceles.
6. Un triángulo obtusángulo es aquel que ...
a) tiene todos sus ángulos obtusos
b) tiene un ángulo obtuso y los otros dos agudos
c) tiene un ángulo obtuso y los otros dos pueden ser obtusos, rectos o agudos
d) las respuestas a y c son ciertas
7. Un triángulo isósceles se caracteriza por ...
a) tener todos sus lados iguales
b) tener todos sus lados distintos
c) tener iguales los dos lados mayores
d) tener dos lados iguales y uno desigual
e) tener dos ángulos iguales
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8. El baricentro o centro de gravedad de un triángulo es el punto en el que se cortan las
a) Mediatrices
b) Bisectrices
c) Medianas
d) Alturas.
9. ¿La proposición verdadera es?
a) Todo triángulo isósceles es acutángulo.
b) Un triángulo rectángulo puede ser obtusángulo.
c) Un triángulo rectángulo puede ser acutángulo.
d) Un triángulo rectángulo nunca puede ser escaleno
e) Un triángulo rectángulo nunca puede se equilátero.
10. ¿La proposición verdadera es?
a) El baricentro de un triángulo es siempre interno a él.
b) El ortocentro de un triángulo es siempre interno a él.
c) En un triángulo isósceles, el baricentro coincide con el incentro.
d) El circuncentro de un triángulo se determina por el cruce de los bisectrices.
e) El punto que en concurren las alturas determinan el incentro de un triángulo.
11. El centro del círculo inscrito en un triángulo (incentro) es el punto de corte de:
a) Las 3 medianas del triángulo
b) Las 3 bisectrices del triángulo
c) Las 3 alturas del triángulo
d) Las 3 mediatrices del triángulo
e) Ninguna de las anteriores
12. El incentro de un triángulo
a) es siempre interior al triángulo
b) dista los mismo de un lado que de su vértice opuesto
c) dista lo mismo de todos los vértices
d) es siempre perpendicular a los lados
e) ninguno de los anteriores.
13. El centro del círculo circunscrito en un triángulo (circuncentro) es el punto de corte de:
a) Las 3 medianas del triángulo
b) Las 3 bisectrices del triángulo
c) Las 3 medianas del triángulo
d) Las 3 mediatrices del triángulo
e) Ninguna de las anteriores
14. El ortocentro de un triángulo es el punto de corte de:
a) Las 3 medianas del triángulo
b) Las 3 bisectrices del triángulo
c) Las 3 alturas del triángulo
d) Las 3 mediatrices del triángulo
e) Ninguna de las anteriores
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15. El ortocentro es el punto donde se cortan las alturas del triángulo. Si el ortocento conincide con
un vértice ...
a) el área del triángulo es un medio de su perímetro
b) el triángulo es obtusángulo
c) dos alturas coinciden con los lados adyacentes a ese vértice
d) una altura coincide con el lado opuesto a ese vértice
16. ¿La proposición falsa es?
a) En el cuadrado las diagonales son perpendiculares.
b) En el cuadrado las diagonales son congruentes.
c) En el cuadrado las diagonales son bisectrices.
d) Todo cuadrado es un trapecio.
e) Se conoce como romboide al paralelogramo en general.
17. Señalar la afirmación correcta:
a) Todo triángulo rectángulo es isósceles.
b) Todo triángulo acutángulo es isósceles.
c) Todo triángulo obtusángulo es isósceles.
d) Un triángulo rectángulo puede ser isósceles.
e) Ninguna de las anteriores.
18. Por 3 puntos colineales pueden pasar:
a) 2 rectas
b) Infinito número de planos
c) Solo un plano
d) 2 planos
e) Ninguna de las anteriores
19. ¿Cuántos planos contienen a una recta y un punto que no está sobre la recta?
a) Dos planos
b) Infinitos planos
c) Un plano
d) 3 planos
e) Ninguna de las anteriores
20. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?
a) Dos rectas en un mismo plano siempre son paralelas
b) Si 2 rectas no están en un mismo plano pueden ser paralelas
c) Una recta no determina dos semiplanos en un mismo plano
d) 2 puntos sobre una recta determina 3 segmentos de recta
e) Ninguna de las anteriores
21. Tres familias tienen situadas sus casas en los vértices de un triángulo. Se quiere construir un
pozo que se sitúe a la misma distancia de las tres viviendas. ¿Cuál será el lugar apropiado?
a) El corte de las 3 medianas del triángulo
b) El corte de las 3 bisectrices del triángulo
c) El corte de las 3 alturas del triángulo
d) El corte de las 3 mediatrices del triángulo
e) Ninguna de las anteriores
21

22. Indicar cuál de los siguientes enunciados es falso:
a) Si dos ángulos son congruentes entonces tienen igual medida
b) Si 2 ángulos tienen el mismo complemento entonces son congruentes
c) Un ángulo obtuso tiene por suplemento un ángulo agudo
d) 2 ángulos adyacentes son suplementarios
e) Ninguna de las anteriores
23. ¿Cuál de las siguientes proposiciones es falsa?
a) Dos lados de un ángulo recto son perpendiculares.
b) Un ángulo obtuso tiene mayor medida que su suplemento.
c) La diferencia entre las medidas del suplemento y el complemento de un ángulo es igual a 90º.
d) Dos ángulos complementarios para el mismo ángulo son rectos.
e) Las bisectrices de un par de ángulos opuestos por el vértice forman un ángulo extendido.
24. L1, L2 y L3 son rectas tales que: L1 ⊥ L2 , x =?
a) 30º
b) 40º
c) 45º
d) 60º
e) 70º
25. En la figura L1 // L2 , α + β=?
a) 50º
b) 60º
c) 70º
d) 80º
e) 90º
26. OD perpendicular a OA y OC es bisectriz del ∠BOD. ∠AOB : ∠BOC = 2 : 1, ∠BOD =?
a) 55º
b) 60º
c) 65º
d) 72º
e) 80º
27. Se tiene a + 40º = 180º y b + 140º = 180º, entonces: a + b = ?
a) 120º b) 140º c) 150º d) 180º e) 360º
22

28. En la figura, L1 // L2 // L3 y L4 // L5 // L6. Si β = 2α, ¿cuál de las siguientes relaciones es
falsa?
a) γ = 2α
b) β = γ
c) α = 60º
d) β = 120º
e) β + γ = 180º
29. Sean α y β dos ángulos complementarios que están en la razón 2 : 3. ¿Cuál es la medida de α?
a) 18 b)25 c)32 d)36 e)54
30. En la figura, L1 // L2 y M1 // M2. ¿Cuánto mide c?
a) 55º
b) 70º
c) 80º
d) 90º
e) 110º
31. Si un ángulo varía entre 35º y 60º, entonces su complemento varía entre:
a) 0º y 55º b)35º y 60º c)40º y 45º d)40º y 55º e)120º y 135º
32. α y β son dos ángulos suplementarios. Si α : β= 1 : 4, ¿cuál es la medida de α?
a) 30º b)36º c)45º d)54º e)60º
33. L1, L2 y L3 son rectas, L1 // L2 , ∠x =?
a) 70º
b) 60º
c) 45º
d) 40º
e) 30º
34. En la figura, OP perpendicular a OM, ∠QOP = ∠MON, ON es bisectriz del ∠MOP. ¿Cuál(es) de las
siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?
I) OP es bisectriz del ∠QON.
II) ∠QOP y ∠MON son complementarios.
III) ∠QOP y ∠ PON son complementarios.
23

a) Sólo III
b) I y II
c) I y III
d) II y III
e) I, II y III
4
35. L, T y M son rectas. Si la recta M es perpendicular a la recta L y α = γ , entonces: β + γ =?
9
a) 140º
b) 135º
c) 130º
d) 100º
e) 80º
36. α y β son dos ángulos complementarios. Si el doble de α excede en 12º a β. ¿Cuánto mide β?
a) 26º b)34º c)56º d)64º e)72º
37. En la figura, OD ⊥ AB y OE ⊥ OC; ∠BOC = 2∠AOE, ∠COD =?
a) 15º
b) 30º
c) 40º
d) 45º
e) 60º
38. En la figura, OC es bisectriz del ∠BOD y OD es bisectriz del ∠EOC. ∠AOE = 150º, ∠AOB = 15º,
∠BOD =?
a) 45º
b) 60º
c) 75º
d) 85º
24

e) 90º
39. α es el 75% de β. Si α = 72º, entonces la mitad de β mide:
a) 108º b)96º c)72º d)48º e)36º
40. L1 ⊥ L2 y M1 ⊥ M2. β = 2α. ¿Cuál(es) de las siguientes proposiciones es (son) verdadera(s)?
I) β = γ
II) α : γ = 1 : 2
III) β + γ = 90º
a) Sólo I
b) I y II
c) I y III
d) II y III
e) I, II y III
41. En la figura, ON ⊥ PQ, ∠MOQ = 2∠NOM, el valor de ∠x =?
a) 120º
b) 130º
c) 135º
d) 150º
e) N.A.
42. δ y γ son dos ángulos suplementarios. Si
a) 15º b)30º c)36º d)45º e)90º
γ
δ = , entonces δ mide:
5
43. El ángulo α está con su complemento en la razón 1 : 3. ¿Cuál es la medida del ángulo α?
a) 67,5º b)60º c)45º d)30º e)22,5º
44. En la figura, L1 ⊥ L3 y L2 ⊥ L4, entonces es falso que:
a) β = γ
b) α + β = 90º
c) α = β + γ
25

d) α = 90º − γ
e) γ = 90º + α
45. Si α : β = 1 : 2, entonces, ¿cuál es le suplemento del ∠(α + β)?
a) 180º − 2α b)180º − 3α c)180º −2β d)180º − 3β e)N.A.
46. Si el triple de 2δ es 120º, entonces el doble de 3δ es igual a:
a) 270º b)240º c)135º d)120º e)80º
47. La suma del complemento y del suplemento del ángulo x es igual a 200º, ¿cuánto mide x?
a) 35º b)40º c)45º d)50º e)55º
48. En la figura, L1 ⊥ L2 y α = β, x =?
a) 90º
b) 125º
c) 135º
d) 145º150º
49. δ γ son ángulos suplementarios. Si δ mide 25º, ¿cuánto vale el 20% de γ?
a) 13º b)18º c)23º d)31º e)36º
50. L1, L2, L3 y L4 son rectas. L1 // L2 y β = γ, ¿cuál(es) de las siguientes proposiciones es (son)
siempre verdadera(s)?
I) β − α = 90º
II) γ + α = 180º
III) β + γ = 180º
a) Sólo I
b) Sólo II
c) Sólo III
d) I y II
e) I, II y III
51. Si un ángulo varía entre 40° y 140° entonces s u suplemento varía entre:
a) 40° y 140° b)30° y 150° c)50° y 140° d)40° y 150 ° e)N.A.
26

52. En la figura, β = 100º. Si β disminuye en un 20%, ¿en qué porcentaje aumenta α?
a) 20%
b) 25%
c) 30%
d) 40%
e) 80%
53. En la circunferencia de centro O, si α = 60º, se forman 6 ángulos. Si 40º < α < 120º, entonces el
número de ángulos varía entre:
a) 3 y 12
b) 4 y 12
c) 8 y 10
d) 4 y 8
e) 3 y 9
54. La diferencia entre el 60% y el 45% de la medida de un ángulo es 13,5º. ¿Cuánto mide el ángulo?
a) 0,9º b)9º c)90º d)34,6º e)N.A.
55. En la figura, OD ⊥ AB y OE ⊥ OC, entonces siempre se cumple que:
I) ∠EOD = ∠BOC
II) ∠AOE = 2∠BOC
III) ∠COD = 2∠DOE
a) Sólo I
b) I y II
c) II y III
d) I, II y III
e) Ninguna.
56. En la figura, ∠AOD = 130º, ∠AOB :∠BOC = 3 : 4 y ∠AOB : ∠COD = 1 : 2, ¿cuánto mide el ∠BOC?
a) 20º
b) 30º
c) 40º
d) 60º
e) 80º
57. Si α = β + 30º y el suplemento de α mide 80º entonces β mide:
27

a) 40º b)70º c)80º d)100º e)110º
58. OB ⊥ OA; ∠BOC = ∠AOC y ∠COD:∠AOD=1:2 ∠COD =?
a) 30º
b) 22,5º
c) 17,5º
d) 15º
e) 12,5º
59. El 50% de la mitad de la medida de un ángulo es igual a 40º. ¿Cuánto mide el ángulo?
a) 10º b)20º c)40º d)80º e)160º
60. En la figura, OC ⊥ AE y OB ⊥ OD y ∠AOB ≠ ∠BOC. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es
(son) verdadera(s)?
I) ∠COD es agudo.
II) ∠DOE y ∠COD son congruentes.
III) ∠AOB y ∠EOD son complementarios.
a) Sólo I
b) I y II
c) I y III
d) II y III
e) I, II y III
⎛ α ⎞
61. ¿A cuánto es igual: α − ⎜5%
de ⎟ , si α = 100º?
⎝ 2 ⎠
a) 47,5º b)75º c)95º d)97,5º e)99,5º
62. Si α + β = 200º y α : β = 2 : 3, entonces los valores de α y β son, respectivamente:
a) 120º y 80º b)140º y 60º c)80º y 120º d)60º y 140º e)40º y 160º
63. L // L’. ¿Cuál de las siguientes relaciones es siempre verdadera?
28

a) δ + ε − γ = 180º
b) δ + ε + γ = 180º
c) δ − ( ε + γ ) = 90º
d) δ + ε − γ = 90º
e) ninguna
64. En la figura L1 ⊥ L 2. ¿Cuánto mide α?
a) 15º
b) 30º
c) 45º
d) 60º
e) 75º
65. Si α es menor que β en 20º, β es menor que γ en 30º y β = 50º, entonces α + β + γ =?
a) 230º b)160º c)140º d)100º e)N.A.
66. ¿A cuánto es igual la suma del complemento y del suplemento del ángulo α, si α = 55º?
a) 145º b)150º c)160º d)170º e)180º
67. En la circunferencia de centro O, se han dibujado dos diámetros. Si α + β = 70º, entonces γ =?
a) 70º
b) 110º
c) 135º
d) 140º
e) 145º
68. 30,3 grados es equivalente a:
a) 30 grados y 3 minutos.
b) 30 grados y 18 minutos.
c) 33 grados
d) 303 grados.
e) 1803 grados.
69. Si dos ángulos tienen sus dos lados respectivamente paralelos y uno de ellos es recto, el otro
siempre será:
a) Recto.
b) Agudo.
c) Obtuso.
d) Extendido.
29

e) Convexo.
70. En la figura, β = 45º y α + β + γ = 135º. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) siempre
verdadera(s)?
I) α y β son complementarios.
II) α y γ son complementarios.
III) β y γ son complementarios.
a) Sólo I
b) Sólo II
c) Sólo III
d) I y III
e) I, II y III
71. α y β son ángulos complementarios, β y γ son ángulos suplementarios. Si β = 60º, ¿en qué razón
están α, β y γ?
a) 1 : 2 : 3
b) 1 : 2 : 4
c) 1 : 3 : 4
d) 1 : 2 : 6
e) 1 : 2 : 8
72. ¿Cuál(es) de las siguientes proposiciones es (son) verdadera(s)?
I) Dos ángulos que tienen sus lados respectivamente paralelos y dirigidos en el mismo
sentidos son congruentes.
II) Dos ángulos que tienen sus lados respectivamente paralelos y dirigidos en sentido
contrario son congruentes.
III) Dos ángulos agudos y obtusos cuyos lados son respectivamente perpendiculares son
congruentes.
a) Sólo I
b) I y II
c) I y III
d) II y III
e) I, II y III
73. En la figura, L2 // L 3 , L1 ⊥ L2 si:
a) γ = δ
b) α = γ
c) α = β
d) β = ε
e) N.A.
74. A, B y C son puntos colineales. EB ⊥ BD, entonces es correcto que:
30

a) α = 180º − β
b) β = 180º − α
c) α = 90º − β
d) β = 90º − α
e) α + β = 90º
75. En la circunferencia se han dibujado 3 diámetros. Si α = 60º, ¿cuál(es) de las siguientes
relaciones es (son) siempre verdadera(s)?
I) β = γ
II) β + γ = 120º
III) α + β = 120º
a) Sólo II
b) I y II
c) I y III
d) II y III
e) I, II y III
76. ¿Son complementarios los ángulos x e y?
(1) x : y = 1 : 2
(2) y = 60º
a) (1) por sí sola.
b) (2) por sí sola.
c) Ambas juntas, (1) y (2)
d) Cada una por sí sola, (1) ó (2).
e) Se requiere información adicional.
77. Determina el valor de x si los ángulos interiores de un triángulo son x, 2x y 3x.
a) 25º b)32º c)30º d)50º e)60º
78. En un triángulo isósceles, el ángulo exterior del vértice mide 70º. Cuánto miden los ángulos
interiores de la base?
a) 30º b)38º c)35º d)32º e)26º
79. El ángulo CAB de un triángulo ABC cualquiera mide 52º; si el ángulo ABC es tres veces mayor
que el ángulo ACB. ¿Cuánto mide el ángulo ACB?
a) 65º b)60º c)64º d)70º e)32º
80. En un triángulo rectángulo los ángulos agudos están en la razón de 5:4. ¿Cuánto miden estos
ángulos?
a) 40º y 60º
b) 40º y 50º
c) 30º y 60º
d) 45º y 50º
e) 50º y 40º
31

81. En un triángulo isósceles, un ángulo de la base tiene 18,3º más que el ángulo del vértice. Calcula
los ángulos interiores del triángulo.
a) 65.2º 65.2º 49.6º
b) 65 º 65º 50º
c) 66.1º 47.8º 66.1º
d) 60.2º 60.2º 48.3
e) 60º 60º 50
82. Los ángulos interiores de un triángulo están en la razón 3:4:5. ¿Cuánto miden estos ángulos?
a) 35º 70º 75º
b) 50º 85º 45º
c) 45º 60º 75º
d) 30º 90º 60º
e) 30º 40º 50º
83. En un triángulo ABC cualquiera, el ángulo CAB tiene 15º más que el ángulo CBA y éste 12º más
que el ángulo ACB. Determina el valor de los ángulos exteriores de este triángulo.
a) 60º 73º 47º
b) 120º 107º 133º
c) 121º 106º 133º
d) 105º 122º 133º
e) 130º 125º 105º
84. En un triángulo isósceles, la suma de uno de los ángulos exteriores de la base con el ángulo
exterior del vértice es 243ª. Calcula la medida del ángulo interior del vértice.
a) 64º b)54º c)117º d)126º e)45º
85. Si un cateto de un triángulo rectángulo mide 2a y el otro mide (a 2 -1), entonces la hipotenusa
mide:
a) (a2+4), a >1.
b) (a2+1), a >1.
c) (a4+1), a >1.
d) (a2-1), a >1.
e) (a2+2), a >1.
86. En un triángulo ABC, AB=6, BC=12, AC=x. Cuál de los siguientes valores no puede ser AC.
a) 6 b)7 c)8 d)9 e)10
87. La suma de los perímetros de dos triángulos equiláteros es 21 cm. Si el lado de unos de los
triángulos mide 1 cm más que el doble de lo que mide el lado del otro triángulo, ¿Cuál es la
diferencia entre los perímetros de los triángulos?
a) 3 cm b)4 cm c)5 cm d)6 cm e)9 cm
88. En la figura, AD = DC, AB = AC, el ángulo ABC
mide 75º y el ángulo ADC mide 50º. ¿Cuánto
mide el ángulo BAD?
a) 64º
32

) 100º
c) 95º
d) 89º
e) 90º
89. En la figura, α : β = 2 : 5 ¿qué tipo de triángulo es?
a) Escaleno
b) Isósceles
c) Rectángulo
d) Obtusángulo
e) No se puede determinar
90. En el triángulo isósceles ABC el ángulo A mide 50. ¿Cuál es la medida del ángulo x?
a) 110º
b) 100º
c) 115º
d) 95º
e) No se puede determinar
91. Calcula el perímetro del pentágono ABCDE. El triángulo ACE es equilátero y su perímetro es igual
a 18 cm. Los triángulos ABC y CDE son isósceles congruentes de 14 cm de perímetro. AB = BC y
CD = DE
a) 20 cm
b) 22 cm
c) 32 cm
d) 24 cm
e) 19 cm
92. Si AB = BD; AC = BC;

a) 30 º
b) 27º
c) 35º
d) 65º
e) 40º
94. Si en el gráfico DE // GF; AC = AB; AB;el angulo BAC vale:
a) 70 º
b) 68º
c) 35º
d) 65º
e) 40º
95. Si α α : : β β = = 2 2 : : 3; 3; β β : : γ γ = = 6 6 6 : : 8; 8; entonces cuanto vale el ángulo β β β = = = ?
?
a) 50º
b) 72º
c) 35º
d) 60º
e) 40º
96. Encuentra la altura de un triángulo equilátero que mide 12 cm por lado
a) 10.5 b)√180 c) √108 d)12 e)18
97. ¿Cuál de los siguientes puede ser un valor de x, para el ángulo obtuso del diagrama?
a) 10
b) 20
c) 40
d) 50
e) Cualquiera de los de arriba
98. En la figura el valor de x es:
34

a) (a + b) b) (a + b + c) c) (a + c)
b) (b + c) e) Ninguna de las anteriores.
99. Clasifique el triángulo de la figura siguiente según los lados.
a) Escaleno
b) Isósceles
c) Equilátero
d) Acutángulo
e) Ninguna de las anteriores
100. ¿cuál de los siguientes grupos de longitudes no pueden ser los lados de un triángulo
rectángulo?
a) 3,4,5
b) 5,12,13
c) 8,15,17
d) 12,15,18
e) 9,12,15
101. Un campo triangular está rodeado por tres campos cuadrados, cada uno de los cuales tiene
un lado común con el triángulo. Las superficies de estos tres campos son iguales a 64, 225 y 289
hectáreas. . ¿Cuál es la superficie del campo triangular?.
a) 60 b) 80 c) 90 d)65 c100)
102. Calcular el perímetro de la figura siguiente: ED = AC = 15 cm; BC = 9cm , AE= 6cm.
a) 69
b) 54
c) 72
d) 81
e) 79
103. De las siguientes afirmaciones la verdadera es:
a) Si dos triángulos tienen igual área, tienen igual perímetro
b) Si dos triángulos tienen igual perímetro entonces tienen igual área
c) Si dos triángulos tienen sus bases iguales, entonces tienen la misma área
d) Si dos triángulos tienen la igual altura, entonces tienen las misma área
e) Si dos triángulos tienen igual altura y sus áreas son iguales, entonces sus bases son iguales
104. En la figura, L1 y L2 son rectas paralelas, además AB=BD, ¿Cuál es la relación entre las áreas
de los triángulos ABC y BDE?
35

a) Area1 > área2
b) Area1 < área2
c) Area1=área2
d) No se puede saber
e) Otra relación
105. Sea ABCD un cuadrado en el cual tenemos inscrito otro cuadrado EFGH cuyos vértices se
encuentran ubicados en los puntos medios de los lados del cuadrado ABCD. A su vez tenemos un
círculo de área a inscrito en el cuadrado ABCD. Encuentre el área del cuadrado ABCD en función
de a.
a) 8 a π
b) 2 a π
c) 5/4 a π
d) 4 a/π
e) aπ
106. Los lados AB, BC, CD y DA, de un cuadrilátero convexo ABCD tienen longitudes 3, 4, 12 y 13
respectivamente y el ángulo CBA es recto, entonces el área del cuadrilátero es:
a) 32
b) 36
c) 39
d) 40
e) 30
107. En la figura adjunta CDE es un triángulo equilátero y ABCD y DEFG son cuadrados, encuentre
el ángulo GDA.
a) 90º
b) 105º
c) 150º
d) 125º
e) 75º
36

108. Cual es el área de un trapecio cuya base mayor supera en 13 cm a la base menor que mide 43
cm, siendo la altura el doble de la base menor.
a) 4257cm 2 b) 4128cm 2 c) 4028cm 2 d) 4000cm 2 e) 2428cm 2
109. La base de un triángulo isósceles es 14 cm, el perímetro es de 64 cm. Encuentre el área del
triángulo.
a) 170cm 2 b) 128cm 2 c) 84cm 2 d) 160cm 2 e) 158cm 2
110. Calcula área y perímetro de los siguientes polígonos: ABCD es un cuadrado. Δ ADE es
rectángulo en E
a) 190
b) 189
c) 199
d) 196
e) 179
111. Cual es el área del paralelogramo ABCD, si: DC = 12 cm., AD = 5 cm., AE = 3 cm.
a) 50cm 2 b) 36cm 2 c) 48cm 2
d) 48cm 2
e) 58cm 2
112. En un cuadrado ABCD, de 5 dm de lado, se toman los segmentos AM=10 cm CN=15 cm Se une
M con N y por A se traza la paralela AP al segmento MN. Determina el área de cada una de las tres
partes en que queda dividido el cuadrado.
a) 200cm2 625cm2 1575cm2
b) 400cm2 725cm2 1375cm2
c) 500cm2 625cm2 1375cm2
d) 800cm2 625cm2 1075cm2
e) 500cm2 525cm2 1475cm2
37

113. A un cuadrado, cuyos lados miden 1024 m, se le inscribe un cuadrado, situando los vértices
de éste en los puntos medios de los lados del primero. A este segundo cuadrado, por el mismo
procedimiento, se le inscribe un tercer cuadrado. ¿Qué longitud tiene el lado del cuadrado más
pequeño?
a) 12 b) 8 c) 16 d) 20 e) 256
TRIGONOMETRIA
Definición de funciones trigonométricas para ángulos agudos:
38

Seno = cateto opuesto / hipotenusa
Coseno= cateto adyacente / hipotenusa
Tangente = cateto opuesto / cateto adyacente
Cosecante = hipotenusa / cateto opuesto
Secante = hipotenusa / cateto adyacente
Cotangente = cateto adyacente / cateto opuesto
Aplicando las definiciones a los ángulos agudos del gráfico tenemos:
Fun. Trig. de α Fun. Trig. de β
sen α = a/c sen β = a/c
cos α = b/c cos β = b/c
tan α = a/b tan β = a/b
csc α = c/a csc β = c/a
sec α = c/b sec β = c/b
cot α = b/a cot β = b/a
Al analizar los valores de las funciones trigonométricas de los ángulos α y β del cuadro anterior podemos
enunciar el siguiente teorema:
Una función trigonométrica de un ángulo agudo es igual a la cofunción de su ángulo
complementario.
Funciones trigonométricas de 30º, 45º ,60º.
Para obtener las funciones de una ángulo de 45º, consideremos un triángulo rectángulo isósceles como el
indicado en la gráfica a continuación en el cual se asignara a la longitud de cada cateto la unidad, luego
obtenemos la magnitud de hipotenusa 2 aplicando Pitágoras.
Para las funciones de 30º y 60º consideramos un triángulo equilátero con sus lados de longitud 2 unidades
cada uno, trazamos PS perpendicular a QR, esta recta divide al triángulo PQR en dos triángulos rectángulos
iguales, cada uno con sus ángulos agudos de 30º y 60º. Con los valores de hipotenusa (QP) 2, y los catetos
(QS) y (PS) 1 y 3
39

En el cuadro siguiente se presentan los valores respectivos.
Ángulo Sen Cos Tg Csc Sec Ctg
30 º
45º
60º
1 2 3 2 3 3
2 2
3 2
Generación de ángulos:
2
2 3 3
2
2 1
2 2
1
2
3 2 3
3 2
Un ángulo puede considerarse como engendrado por una recta que coincide primero con uno de los lados
del ángulo, gira después entorno del vértice y finalmente coincide con el otro lado.
Si la generatriz se mueve en sentido contrario al de las manecillas del reloj, los ángulos son positivos.
Si la generatriz se mueve en sentido de las manecillas del reloj, los ángulos son negativos.
Ángulos de cualquier Magnitud
Aún cuando 2 ángulos tengan los mismos lados inicial y final y hayan sido engendrados por una rotación en
el mismo sentido, pueden ser diferentes en magnitud.
1
3
3 3
40

Funciones trigonométricas de ángulo de cualquier magnitud
Las funciones trigonométricas son valores sin unidades que dependen de la magnitud de un ángulo. Se dice
que un ángulo situado en un plano de coordenadas rectangulares está en su posición normal si su vértice
coincide con el origen y su lado inicial coincide con la part parte positiva del eje x.
En la figura siguiente, , el punto P está situado en una línea recta que pasa por el origen y que forma un
ángulo α con la parte positiva del eje x. Las coordenadas x e y de un punto situado sobre el lado terminal del
ángulo pueden ser positivas o negativas según el cuadrante (I, II, III, IV) en que se encuentre el punto P; x
será cero si el punto P está en el eje y o y será cero si P está en el eje x. La distancia r entre el punto y el
origen es siempre positiva e igual a
2 2
x + y , aplicando el teorema de Pitágoras.
Las seis funciones trigonométricas más utilizadas se definen de la siguiente manera:
• Seno sen α = ordenada / radio = y / r
• Coseno cos α = abscisa / radio = x / r
• Tangente tg α = seno / coseno = ordenada / abscisa = y / x
• Cotangente cotg α = coseno / seno = abscisa / ordenada = x / y
• Secante sec α = 1 / coseno = 1 / (x / r) = r / x
• Cosecante cosec α = 1 / seno = 1 / (y / r) = r / y
Estas definiciones aplicadas al ángulo XOB del primer cuadrante concuerda concuerda, necesariamente con las
definiciones dadas anteriormente para ángulos agudos agudos.
41

1.- El valor de cada una de las razones es independiente de la posición de P
2.- Los valores de las funciones depende únicamente de la posición del lado final del ángulo.
* Todos los ángulos que tengan los lados terminales coincidentes tendrán igual valor de función
trigonométrica
Signo de las funciones En cada cuadrante, dependiendo del signo de las abscisas y ordenadas, las
razones presentan los siguientes signos:
Las funciones trigonométricas de las funciones cosecante, secante y cotangente será el mismo que de su
respectiva inversa.
Expresar cinco de las Funciones Trigonométricas en términos de una
Ejemplo: Como expresar todas las funciones en términos de la función seno
Tomamos un triángulo rectángulo al cual se asigna el valor de sus lados de cuerdo a la definición de la
función trigonométrica igonométrica en la cual quedaran definidas las otras cinco.
cos A = ± 1−
sen
tan A = ±
2
senA
1−
sen
A
2
A
senA
senA =
= 1
Entonces
r = 1
y=senA
De donde obtenemos las siguientes expresiones
expresiones:
1
cocA =
sen A = sen A
senA
sec A = ±
ctg = ±
y
r
por lo tanto aplicando Pitágoras:
2
x = ± r −
x = ± −
1
1−
sen
y
2
2
2
1 senA
2
2
1− sen A
senA
A
42

RELACIONES FUNDAMENTALES
1) sen A csc A = 1
2) cos A sec A = 1
3) tg A ctg A = 1
4) tg A = senA / cosA
Una de las aplicaciones de estas relaciones es el obtener una de las funciones trigonométricas en términos
de las otras cinco.
Funciones trigonométricas en función de las otras cinco.
Función sin cos
sin
cos
tan
csc
sec
cot
Funciones trigonométricas de 0º, 90º, 180º, 270º 270º: en el gráfico consideramos los puntos P1,P2,P3 yP4
correspondientes a los lados terminales de los ángulos de 0º,90º,180º y 270º respectivamente, asignando a
cada uno las coordenadas presentadas a continuación, y aplicando la definición de las funciones
trigonométricas gonométricas obtenemos el valor de estas presentadas en el siguiente cuadro.
0º: para P1 tenemos: x =1, y = 0
90º: para P2 tenemos : x = 0, y= 1
180º: para P3 tenemos: x = -1, 1, y = 0
270º : para P4 tenemos: x= 0 , y = -11
Angu
lo
Se
n
co
s
tg ct
0º 0 1 0
g
Se
c
cs
c
∞
1 ∞
90º 1 0
∞
0 ∞ 1
180º 0 -1 0 ∞
cs
c
∞
1
-1 ∞
5) ctg A = cosA/senA
6) sen²A + cos²A = 1
7) sec²A = 1 + tg²A
8) csc²A= 1 + ctg²A
tan csc sec
cot
43

270º -1 0
∞
0 ∞ -11
* Se debe tomar en cuenta que la división para cero no tiene valor definido, lo que se expresa colocando ∞
Sistema circular : El sistema de medición de ángulos que solemos utilizar es el sexagesimal, divide a la
circunferencia en seis partes de 60º cada una, obteniendo un giro completo de 360º. Cuando se quiso utilizar
este sistema en física, para poder calcular el camino desarr desarrollado ollado por alguna partícula en trayectoria circular,
se encontraron que el sistema sexagecimal no los ayudaba pues, matemáticamente, no está relacionado con
el arco que describe el cuerpo al moverse.
De esa manera se "inventó" otro sistema angular, el si sistema stema circular, donde la medida del ángulo se obtiene
al dividir el arco y el radio de la circunferencia. En n este sistema se utiliza como unidad de medida de los
ángulos, el "radián".
Radián: : un radián se define como la medida de un ángulo central que subtiende un arco con la misma
longitud del radio de la circunferencia. En la figura, la longitud del radio r es igual a la del arco AB; el ángulo
A0B mide 1 radianes.
Equivalencia de un ángulo en el sistema sexagesimal al circular y viceversa.
Para medir los ángulos, los sistemas más utilizados son el sexagesimal y el circular. Es conveniente saber
convertir un ángulo dado de un sistema a otro.
La longitud P de una circunferencia está dada por
P = 2πr, r radio
Como un radián es igual al radio, , en una circunferencia hay 2π radianes
También el ángulo de gira es de 360º, por lo tanto:
2π rad = 360º
π rad = 180º
1/2π rad = 90º
Relación entre arco, radio y ángulo
En una circunferencia de radio “ r ”, la longitud “s” de un arco que subtiende un
ángulo central de α radianes es:
s = r . α ó α = r/s
Regla general para reducir las funciones ángulos de cualquier magnitud en términos de funciones de
ángulos agudos.
44

I.- Cuando el ángulo sea de 180º ± A, o de 360º ± A, sus funciones son numéricamente iguales, es decir en
valor absoluto, a las funciones del mismo nombre de A.
II.- Cuando el ángulo sea de 90º
cofunciones del mismo nombre de A.
III.- En todos los casos el signo del resultado es el que corresponde a la función buscada, en el cuadrante en
que se encuentra el ángulo original.
En caso de que el ángulo sea mayor de 360º se debe primero reducir a un ángulo menor a 360º mediante la
substracción sucesiva de múltiplos de 360º, o en caso de ángulo negativo reduci reducirlo al correspondiente
ángulo positivo.
Funciones trigonométricas de ángulos negativos en términos de su correspondiente positivo
Teorema: : las funciones trigonométricas de del ángulo negativo (-A) son n iguales en valor absoluto a las
funciones del mismo nombre del l ángulo correspondiente positivo ( (A). . El signo algebraico, cambia para todas
las funciones excepto para el coseno y lla
secante.
Circulo trigonométrico: : Circulo cuyo radio se toma como unidad de longitud, , en el gráfico a continuación el
circulo presentado será trigonométrico si el radio AB se toma = 1
Línea trigonométrica
Definición: Son la representación gráfica de las funciones trigonométricas a través de segmentos dirigidos
de recta.
Las razones trigonométricas deducidas en un círculo trigonométrico se corresponden con los valores de
ciertos segmentos de recta que se denominan líneas tr trigonométricas. igonométricas. A continuación vamos a colegir las
líneas trigonométricas en el primer cuadrante. La forma de obtener las líneas trigonométricas en los otros tres
cuadrantes es similar.
Línea seno
Se representa por la perpendicular trazada desde el extremo del arco, hacia el eje X.
En el ángulo OQP:
Sen α = PQ/r
Sen α = PQ
Análisis de la línea SENO
± A, o de 270º ± A, sus funciones son numéricament
A, sus funciones son numéricamente iguales a las
A’
O
B
B’
a
1
P ( x ; y )
Q
A
45

En el cuadrante1 el Seno crece de 0 a 1
En el cuadrante2 el Seno decrece de 1 a 0
En el cuadrante3 el Seno decrece de 0 a -1
En el cuadrante4 el Seno crece de -1 a 0
- 1 ≤ Sen α ≤ + 1
0º = 0, 90º = 1,180º = 0, 270º = -1, 360º = 0
Línea Coseno
Se representa por la perpendicular trazada desde el extremo del arco, hacia el eje Y.
En el ángulo PNO:
Cos α = NP/r
Cos α = NP
Análisis de la línea COSENO
Linea tangente
En el cuadrante1 el Coseno decrece de 1 a 0
En el cuadrante 2 el Coseno decrece de 0 a -1
En el cuadrante 3 el Coseno crece de -1 a 0
En el cuadrante 4 el Coseno crece de 0 a 1
- 1 ≤ Cos α ≤ + 1
0º = 1, 90º = 0, 180º = - 1, 270º = 0, 360º = 1
Es una parte de la tangente geométrica trazada por el origen
de arcos A ( 1 ; 0 ),
Se empieza a medir de este origen y termina en la
intersección de la tangente geométrica con el radio
prolongado que pasa por el extremo del arco.
Análisis de la línea SENO
Análisis de la línea SENO
A’
N
O
B
B’
a
1
a
P ( x ; y )
Q
A
46

Análisis de la línea Tangente
En el cuadrante1 la Tangente crece de 0 a + +∞
En el Q2 la Tangente crece de - ∞ a 0
En el Q3 la Tangente crece de 0 a + +∞
En el Q4 ,la Tangente crece de - ∞ a 0
- ∞ < Tg α < +∞
Tg 0º = 0, Tg 90º = ∞, Tg 180º º = 0,
Tg 270º = ∞, Tg 360º = 0
Grafica rafica de funciones Trigonométricas
Graficamos, , mediante tablas, las siguientes funciones tomando valores angulares desde 0º hasta 360º.
Para facilitar el trabajo tomemos ángulos a intervalos de 45º:
47

Funciones Trigonométricas de ángulos negativos
Teorema: : las funciones trigonométricas de del ángulo negativo (-A) son n iguales en valor absoluto a las
funciones del mismo nombre del l ángulo correspondiente positivo ( (A). . El signo algebraico, cambia para todas
las funciones excepto para el coseno y la secante.
APLICACIONES
La principal aplicación que tiene la trigonometría es la resolución de figuras geométricas utilizando las
funciones trigonométricas, es decir encontrar la longitud de los lados y medida de ángulos que forman las
figuras geométricas.
Resolución de triángulos
Resolver un triángulo significa determinar el valor de sus 6 elementos, 3 lados y 3 ángulos, para que un
triángulo sea resoluble se deben conocer por lo menos 3 de sus elementos y uno de ellos por lo menos debe
ser un lado. Partiendo siempre del supue supuesto sto que el triángulo puede construirse con los datos dados.
Resolución de triángulos rectángulos.
En los triángulos rectángulos se parte siempre de conocer un ángulo, es decir el ángulo recto, luego puede
completarse los tres datos requeridos con las sig siguientes posibilidades:
- Dos lados
- Un lado y un ángulo agudo.
En cualquiera de los casos siempre se puede realizar los siguientes pasos para la resolución resolución:
1.- Se realiza una figura que represente al triángulo.
2.- Si se conoce el ángulo agudo, se ob obtiene el tercer ángulo, por complemento
3.- Dentro de las funciones trigonométricas para ángulos agudos se escoge la mas adecuada que contenga
una sola incógnita.
4.- Se comprueba los valores obtenidos utilizando el teorema de Pitágoras por ejemplo.
Ejemplo:
Resolver el triángulo rectángulo con una ángulo agudo de 25º e hipotenusa de 260u.
- Primer paso
- Segundo paso:
B = 90º - 25º = 65º
48

- Tercer paso:
Encontramos a
a
senA =
c
a
sen 25º
=
260
Encontramos b
b
cos A =
c
b
cos 25º
=
260
b
cos 25º
=
260
- Cuarto paso:
0.
423
0.
906
a
= a = 109.88u.
260
b
= b = 235.64
260
Comprobamos los valores obtenidos con el teorema de Pitágoras
2602 = 235.642 + 109.882
67600 = 55526.2+12073.6 =67599.8
RESOLUCIÓN DE TRIANGULOS ISOSCELES:
Todo triángulo isósceles queda dividido, por la perpendicular bajada del vértice del ángulo desigual al lado
opuesto, en dos triángulos rectángulos, luego la solución de un triángulo isósceles se reduce a la resolución
de un rectángulo.
RESOLUCION DE POLÍGONOS REGULARES
Todo polígono regular de n lados, queda dividido por la recta trazada de su centro a los vértices (radio del
circulo circunscrito), en n triángulos isósceles, los mismo que pueden resolverse como triángulos rectángulos
que se consiguen trazando la perpendicular del vértice del ángulo desigual (radio del circulo inscrito).
49

Ejemplo:
En este polígono cada ángulo central tendrá por valor 360º dividido para el número de lados (n).
Luego el ángulo del triángulo isósceles a resolver será:
X= 369º/2n
Donde:
R= radio del circulo circunscrito
r = radio del circulo inscrito o apotema
AD = la mitad de la longitud de un lado
Ángulo x = 180º /n
RESOLUCION DE TRIÁNGULOS OBLICUANGULOS
Siempre se debe utilizar las siguientes propiedades geométricas de los triángulos en su resolución:
- La suma de los tres ángulos internos es 180º
- A mayor lado se opone mayor ángulo y recíprocamente.
La resolución de triángulos oblicuángulos depende de las siguientes leyes:
Ley de los senos
Los lados de un triángulo son proporcionales a lla
función seno de los ángulos opuesto.
50

No todos los problemas de resolución de triángulos se pueden resolver con la ley de los senos, esta se
puede aplicar cuando dos de los datos conocidos son son: un lado y su ángulo opuesto.
Ejemplo:
Resolver el triángulo siguiente:
A=43º B=27º C=? a=5 b=? c = ?
El ángulo c es muy fácil de encontrar, porque la suma de los ángulos internos de un triángulo siempre suma
180°.
c = 180° - a – b
c=180° -43°- 27° = 180° - 70° = 110°
c=110°
Para encontrar los lados faltantes usamos la ley de los senos:
a
senA
=
b
senB
=
c
senC
Sustituyendo queda:
5
sen43
De donde
b=3.32838
c =6.88925
b c
= =
sen27
sen110
Ley del coseno
a
senA
=
b
senB
En un triángulo cualquiera el cuadrado de un lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros lados,
menos el doble producto de estos dos lados por el coseno del ángulo que forman.
=
c
senC
2 2 2
a = b + c − 2bc
cos A
51

Análogamente:
2 2 2
b = a + c − 2ac
cos B
2 2 2
c = a + b − 2ab
cos C
Despejando:
b
cos A =
a
cos B =
a
cos C =
Ejemplo:
a = ?
b = 9
c = 12
A= 25°
B = ?
C = ?
2
2
2
2
+ c − a
2bc
2
+ c − b
2ac
2
+ b − c
2ab
2
2
2
Usando la ley del coseno tenemos sustituyendo:
a
2
= 9
2
+ 12
2
−
2 * 9 * 12 * cos 25
realizando las operaciones queda:
a = 5.4071
ANALISIS TRIGONOMETRICO
Funciones de sumas y diferencias de dos ángulos:
sen( x + y)
= senx cos y + cos xseny
sen( x − y)
= senx cos y − cos xseny
cos( x + y)
= cos x cos y − senxseny
cos( x − y)
= cos x cos y + senxseny
Funciones trigonométricas de ángulos dobles conocidas las del ángulo
sen2 x = 2senx
cos x
2 2
cos 2x
=
cos − sen
52

cos 2x
= 2 cos x
2 −
cos 2x
= 1−
2sen
2tgx
tg2x
=
1 − tgx
2
x
1
Funciones de ángulos múltiples: Se debe expresar las funciones de ángulos nx, donde n es un número
entero en términos del ángulo x, el método utilizado consiste en expresar en ángulo múltiple nx como la
sumas en términos de x.
Ejemplo
sen(3x)= sen (x+2x)
Funciones trigonométricas de un ángulo en funciones de su ángulo mitad:
x x
senx = 2sen
cos
2 2
2 x
cos x = cos − sen
2
x
2tg
tgx =
2
2 x
1 − tg
2
2
x
2
Funciones trigonométricas del ángulo mitad en términos del coseno del ángulo:
x
sen = ±
2
1 − cos x
2
x 1 + cos x
cos = ±
2 2
x 1 − cos x
tg = ±
2 1 + cos x
x 1 + cos x
ctg = ±
2 1 − cos x
x senx
tg =
2 1 + cos x
x 1 + cos x
ctg =
2 senx
x 1 − cos x
tg =
2 senx
x senx
ctg =
2 1 − cos x
Transformación de sumas y diferencias de senos y cosenos en productos:
1
1
senA +
senB = 2sen ( A + B)
cos ( A − B)
2
2
53

1 1
senA − senB = 2 cos ( A + B)
sen ( A − B)
2 2
1
1
cos A + cos B = 2 cos ( A + B)
cos ( A − B)
2
2
1 1
cos A − cos B = −2sen
( A + B)
sen ( A − B)
2 2
IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS
Es una igualdad que contiene funciones trigonométricas y que se cumple para todos los valores de los
ángulos para los cuales estás funciones estén definidas.
Caminos para la demostración de identidades:
1.- Reducir un miembro o la forma del otro, usando identidades conocidas. En general el miembro más
complicado se lleva a la forma del más simple. Si esto no es posible entonces;
2.- Reducir ambos miembros a la misma expresión, luego dos cantidades simultáneamente iguales a una
tercera iguales entres sí.
ECUACIONES TRIGONOMETRICAS
Las ecuaciones es un igualdad que se cumplen para ciertos valores de ángulo, y resolver una ecuación
consiste en encontrar las ángulos para los cuales se cumple.
Sugerencias para resolver una ecuación trigonométrica:
1.- Expresar todas las funciones que intervienen en términos de funciones de un mismo ángulo.
2.- Expresar todas las funciones en términos de la misma función.
3.- Resolver algebraicamente considerando como incógnita la única función que interviene ahora en la
ecuación.
54

PROBLEMAS PROBLEMAS PROBLEMAS TRGONOMETRIA
TRGONOMETRIA:
TRGONOMETRIA
TRGONOMETRIA
1. Sabiendo que sena= 0.8 y que 90º

9. Calcula el valor de las razones trigonométricas (seno, coseno y tangente) del ángulo mayor del
siguiente triángulo
5
a) ,
7
7
,
4
5
7
7
b) ,
5
7
,
4
5
7
c)
7
,
4
7 7
,
4 5
d)
7
,
4
7 5
,
7 7
e) Ninguna de las anteriores
3
10. Sabiendo que 0º

d)30º,60º,120º150º e) 0º,45º,90º,180º,360º
2 ⎛ x ⎞
16. Las soluciónes correctas para la ecuación: 2 cos ⎜ ⎟ − cos x = 1 para 0º

3 π
23. Sabiendo ques senx= y que < x < π , averigua el valor de sen 2x
5 2
24 5 24
a) b) 2 c) − d)
25 7 27
24 12
− e)
25 5
24. Al recorrer 0.56 km. por una carretera, cuyo ángulo de inclinación es constante, hemos ascendido
280 m. ¿Qué ángulo forma la carretera con la horizontal?
a) 35º b) 60º c) 45º d) 30º e) 50º
25. En un rectángulo de lados 8 cm. y 12 cm. y de vértices A, B, C y D, dibujamos dos puntos M y N
sobre su diagonal AC, de forma que los segmentos MB y ND sean perpendiculares a dicha
diagonal. Halla la distancia entre M y N.
24 20 20 24 12
a) b) c) d) e)
15 17 13
23 15
26. En el interior de un ángulo de 30º dibujamos dos circunferencias de radios 10 cm y 13 cm.
tangentes a ambos lados del ángulo (sus centros estarán situados sobre la bisectriz del ángulo).
Averigua la distancia entre ambos centros.
a)
6
2 −
3
b)
5
2 −
2
c)
6
1−
3
d)
6
2 +
3
e)
12
2 −
27. Halla la altura de un globo conociendo los datos del siguiente esquema:
5 2
a) ( 1+
2)
2
3 2
2
5 2
3
5 2
2
5 2
3
b) ( 1−
2)
c) ( 1−
3)
d) ( 1+
3)
e) ( 1+
2)
28. Resuelve un triángulo isósceles sabiendo que el lado desigual mide 20 cm. y uno de sus ángulos
mide 30 grados.
a)
10
3 −
2
b)
20
6 −
2
c)
40
6 −
2
d)
30
6 −
3
e)
40
6 +
3
2
58

29. Cual es el valor del seno y coseno de un ángulo del tercer cuadrante sabiendo que su tangente es
3
a)
1 1
, 2
3
b)
3 1
, − c)
2 2
3 1
, 2
3
30. Dada la ecuación trigonométrica 2 ( 2x
−180º
) = 1
grados que son solución.
a) 105º,1600º,290º,330º
b) 150º,180º,300º,360º
c) 120º,160º,250º,300º
d) 105º,150º,285º,330º
e) 115º,160º,280º,345º
31. Pasar de grados sexagesimales a radianes 28º
d)
3 1
− , e)
2 2
3 1
,
2 2
sen , cuales son los ángulos x menores de 360
a) 1/4π b) 1/7π c) 2/7π d) 1/5π e) 5/7π
32. Pasar de grados sexagesimales a radianes 258º
a) 40/30π b) 42/17π c) 43/30π d) 41/15π e) 45/27π
33. Identificar la expresión trigonométrica identica a la siguinete:
( 45º
α )
2cos( 45º
+ α ) cos −
cos 2α
a)cosα b) 1/cos2α c) 1 d) senα/cos2α e) senα
34. Hemos colocado los cable AC y BC sobre un mástil CD, según la figura. ¿Cuánto miden los
cables y el mástil?
20 3
a) AC=
1+ 3
BC= 30
1 3
+
20 2 40 2
b) AC= BC=
1+ 3 1+ 3
DC= 20
1 3
+
DC= 20
1 3
+
59

c) AC=
20 2
1+ 3
d) AC= 20
1+ 3
e) AC=
20 2
1+ 3
BC= 40
1+ 3
BC= 40
1+ 3
BC= 40
1+ 3
DC= 20
1+ 3
DC= 20
1+ 3
DC=
20 2
1+ 3
35. Encontrar la expresión trigonométrica equivalente a:
1 − * 1− cos
2 2
sen α α
a) 2cosα b) ½*sen2α c) sen2α d) sen2α/cosα e) senα
36. Encontrar la expresión trigonométrica equivalente a:
3 2
sen α + senα
*cos α
a) cosα b) sen2α c) senα d) senα/cosα e) senα/2
37. Al simplifica la siguiente expresión trigonométrica:
3 2 2 3
cos α + cos α senα + cosα
sen α + sen α , su igual es:
a) cosα− senα b) senα+ cosα c) sen 2 α d) senα∗cosα e) senα∗2cosα
38. Encontrar la expresion trigonométrica equivalente a:
( a + b) + ( a − b)
( + ) + ( − )
cos cos
sen a b sen a b
a) cosa/ sen2a b) sena*cosb c) ctana d) tanb e) sena*cosa
39. Encontrar la expresion trigonométrica equivalente a :
senb*cos( a − b) + cos b* sen( a − b)
a) sen2a b) sena c) cosa d) senb e) cosb
sen2x 40. Encontrar la expresion trigonométrica equivalente a :
1+ cos 2x
a) senx /cos2x b) tanx c) 2tanx d) sen2x e) cos2x
sen2a sen2a 41. Encontrar la expresion trigonométrica equivalente a : *
1− cos 2a cos a
a) 2cos2a b) 2cosa c) 4cosa d) 4sen2a e) 4cos2
42. Calcular la altura de una torre si al situarnos a 25 m de su pie, observamos la parte más alta bajo
un ángulo de 45º.
a) 28m b) 25m c) 20m d) 50m e) 30m
60

43. Calcula la altura de un arbol, sabiendo que desde un punto del terreno se observa su copa bajo un
ángulo de 60º y si retrocedemos 10 m, bajo un ángulo de 30º.
a) 4 3 b) 3 3 c) 5 2 d) 5 3 e) 5 2
44. Desde la orilla de un río, observamos la copa de un árbol situado en la otra orilla, bajo un ángulo
de 60º. Si nos retiramos 10 m. de la orilla, el ángulo de observación es de 45º. Calcular la altura del
árbol y la anchura del río.
a) 22.6m y 12.6m b) 24.6m y 14.6m c) 23.6m y 13.6m
d)23.6m y 13.6m e) 25.6m y 15.6m
45. Hallar el área de un rectángulo sabiendo que una diagonal mide 60m y el ángulo obtuso que
determinan sus diagonales es 120º
a) 900 3 b) 3600 3 c) 4500 2 d) 225 3 e) 144 3
46. En un triángulo isósceles ABC conocemos el lado BC=80m y el radio de la circunferencia inscrita
r=20m. Calcular el área del triángulo y los lados iguales.
a) 1900m 2 , 8 60 b) 1920m 2 , 8 61 c) 1890m 2 , 9 61
d) 900m 2 ,12 60 e) 1900m 2 , 61
47. Los valores de x comprendidos entre 0º y 180º que satisfacen la ecuación:
sen x + 1/sen x = 5/2, son:
a) 20º ,160º b) 45º ,135º c) 30º,150º d) 30º,120º e) 35º,125º
48. Los valores de x comprendidos entre 0º y 180º que satisfacen la ecuación:
(2sen 2 x + 2) / 2sen x = 5sen x / 2sen x , son:
a) 30º ,160º b) 45º ,130º c) 30º,120º d) 30º,150º e) 40º,120º
49. Los valores de x comprendidos entre 0º y 180º que satisfacen la ecuación:
sen 2 x - 2cos 2 x = 1 son:
a) 60º b) 90º c) 120º d) 150º e) 180º
50. Los valores de x comprendidos entre 0º y 180º que satisfacen la ecuación:
sen x + cos 2 x = 1 son:
a) 30º,90º,120º b) 0º,90º,120º c) 0º,45º,90º d) 30º,60º,150º e)0º,90º, 180º
51. Encontrar la expresión equivalente a :
61

8 8
+
1 − cos 2x
1+
cos 2x
a) 4/senx b) 2/cosx c) 4/sen2x d) 2senx/cosx e) 4cos2x
52. Sean A, B, C tres vértices consecutivos de un hexágono regular de lado 10, y M el punto medio del
lado BC. Determinar la longitud del segmento AM.
a) 9 2 b) 14 3 c) 7.5 2 d) 7.5 3 e) 6 2
53. Calcular el área y el perímetro del siguiente pológono, sabiendo que el triángulo ABC es
equilátero y ACDE es un trapecio isósceles.
a) 30u 2 , 22u b) 34u 2 , 20.5u c) 30u 2 , 22.5u d) 32u 2 , 25u e) 40u 2 , 22.5u
62

GEOMETRÍA ANALÍTICA
Segmento rectilíneo dirigido
Definimos a un segmento rectilíneo como aquella parte determinada de una recta. En la siguiente figura es
posible ver un segmento de la recta L, este segmento se encuentra determinado por los puntos A y B, y la
notación que se usa para representar a ese segmento es AB.
Ahora bien, tras definir el concepto de segmento rectilíneo, solo basta agregar el concepto de dirección a dicho segmento
y con esto tenemos ya la definición de un segmento rectilíneo dirigido. Llámese segmento rectilíneo dirigido a todo
segmento rectilíneo con una dirección.
El segmento AB tiene dirección (indicada por la flecha), la dirección del segmento se indica también en la
nomenclatura ya que un segmento AB es aquel que va de A hacia B mientras que un segmento BA es
aquel que va de B hacia A; como una consecuencia de esto las dimensiones de los segmentos AB y BA
tienen igual magnitud absoluta pero signos diferentes; es decir:
AB = −BA
Ejemplo. La línea mostrada en la figura tiene sentido positivo de izquierda a derecha, exprese AC en función
de los otros segmentos.
AC = AB + BC
Soluciones posibles: AC = AB − CB
Distancia entre dos puntos
Es el valor absoluto (siempre positivo) del segmento que une esos dos puntos. Dados los puntos 1 ( x1,
y1
)
P ( x , y ) la distancia entre P1 y P2 viene dado por:
2
2
A
2
C
B l
1
2
( ) ( ) 2
2
x − x + y y
d = P P =
−
Ejemplo. Encuentre la distancia entre los puntos = ( − 2,
3)
1
2
1
P y P = ( 3,
−2)
2
2
1
P y
63

d
P P
1 2
=
2
2
( 6 − ( − 2)
) + ( − 3 − 3)
= 64
División de un segmento en razón dada:
Dividir un segmento AB en una relación dada r es determinar un punto P de la recta que contiene al
segmento AB, , de modo que las dos partes, PA y PB, están en la relación r:
PA/PB=r
Las coordenadas del punto P que divide a un segmento dirigido AB de extremos A(x1,y1) b(x2,y2) en una
razón r =AP:PB , se obtienen mediante las relaciones:
x1 + rx2
x =
1+
r
y1 + ry2
y =
1+
r
Caso particular: las coordenadas del punto medio un segmento dirigido AB de extremos A(x1,y1) b(x2,y2) se
obtienen con las relaciones:
Ejemplo
¿Qué puntos P y Q dividen al segmento de extremos A(-1, -3) 3) y B(5, 6) en tres partes iguales?
1 3
− 1+ 5
xp = 2 = 2 = 1
1 3
1+ 2 2
2
− 1 + 5
xq = 1 9
= 1 = = 3
2
1+ 3
1
1
2
− 3+ 6
− 3 + 6
2 0
yp = = = 0 1 9
yq = 1 = = 3
1 3
2
1+ 1 +
3
2 2
1
P(1,0) Q( 3, 3)
64 + 36 = 10
x1 + x2
x =
2
y + y
y =
2
1 2
64

Angulo de inclinación de una recta
Es el ángulo medido de manera anti-horaria (contra las manecillas del reloj) entre la parte positiva del eje de
las x (abscisas) y la recta.
Ejemplo. En la gráfica se tienen 2 rectas l y l´, con ángulos respecto del eje x de a y a´ respectivamente.
El ángulo de inclinación varia entre 0º y 180º.
Pendiente de una recta
La pendiente de una recta, generalmente denominada como m, es la tangente de su ángulo de inclinación; es
decir, m=tan (a). En base a la figura mostrada a continuación y usando la definición de la tangente tenemos
que:
( y 2 − y 1)
x 2 1
( x − x )
cateto opuesto
m = tan( α ) =
=
≠ x
cateto adyacente
Por lo tanto dados dos puntos de una recta se puede definir su pendiente y su ángulo de inclinación. Como
se puede ver en la expresión para la pendiente si los dos puntos usados para definir la pendiente tienen el
mismo valor de la abscisa (valor de x), el valor de m es infinito.
Las rectas que tienen un ángulo de inclinación de 90º son paralelas al eje Y , y no tienen pendiente.
Ángulo entre dos rectas
l' l
α '
O
Bajo el principio que dos rectas que no son paralelas se cortan en un único punto, los ángulos entre 2 rectas
son los mostrados en la figura. Para la determinación de 1 θ
se pueden usar las pendientes de las rectas 1 l y
l 2 de la siguiente forma:
l2
P
y
O
P
2
( x ,y )
1
O
1
y
1
α
( x , y )
θ 2
2
2
( )
3 2 1
α
x −
A
2 1 x
α1
l
θ1
C
x
B
l1
α 2
x
y
α
En donde 1 , m m
respectivamente.
2
x
2
1
m2
− m
tanθ1
=
1+
m m
1
1
2
son las pendientes de las rectas 1 l y 2 l
65

De igual manera si queremos encontrar 2 θ
la ecuación a usar es la siguiente:
m1
− m
tanθ1
=
1+
m m
Para saber exactamente como usar una u otra ecuación se debe visualizar lo siguiente:
mfinal
− m
tanθ =
1+
m m
m
En donde inicial y mfinal
están definidas por el sentido del ángulo el cual siempre se considera antihorario
(ver sentido de las flechas en el gráfico).
Condición de perpendicularidad
La condición necesaria y suficiente para que dos rectas sean perpendiculares entre si es que el producto de
sus pendientes sea -1; es decir:
m
1
⋅ m
Si analizamos la ecuación para determinar el ángulo entre dos rectas nos podemos dar cuenta que la
condición de perpendicularidad está contenida en esta ecuación (analizar el denominador).
2
1
inicial
= −1
2
2
inicial
A
Ejemplo. Determine si la recta l ( − 2, −2)
1 definida por los puntos
recta 2 l
definida por los puntos C( 4, −4)
y D ( − 6,
6)
.
m
1
3 −
=
3 −
( − 2)
( − 2)
( − 4)
= 1
6 − 10
m2
= = = −1
− 6 − 4 −10
m1
⋅ m2
= 1⋅
( −1)
= −1
Por lo tanto las rectas si son perpendiculares.
Condición de paralelismo
final
y ( 3,
3)
B es perpendicular (normal) a la
La condición necesaria y suficiente para que dos rectas sean paralelas entre sí es que sus pendientes sean
iguales; es decir:
LA LINEA RECTA
m m =
1
Es un grupo de puntos tal que si tomamos 2 de ellos y calculamos la pendiente usando la ecuación
m
y
2 1
= este es un valor constante para cualquier par de puntos.
x
2
− y
− x
1
Ecuación de una recta dada un punto y la pendiente
La recta que pasa por el punto ( x , y )
1
1
1
2
P y tiene la pendiente m, tiene por ecuación: y − y = m(
x − x )
Ejemplo. Determine la ecuación de la recta que pasa por el punto ( 1,
2)
P y tiene una pendiente de -2.
1
1
66

y − 2 = −2
( x −1)
y = −2x
+ 2 + 2
Ecuación de una recta dada dos puntos
La recta que pasa por los puntos P ( x ) y P ( x , y ) , tiene por ecuación: y − y
1
Esta ecuación se obtiene fácilmente mediante la sustitución de la ecuación para la pendiente de una recta en
y − y = m x − x .
la ecuación ( )
Distancia de un punto a una recta
1
1
Cuando se solicita hallar la distancia desde un punto P a una recta l nos referimos a la distancia más corta
desde P a la recta l; esta distancia está medida sobre la recta perpendicular a l, por lo tanto, en este tipo de
problemas lo que se debe hacer es determinar la ecuación de la recta que pasa por P y es normal a l, luego
se debe hallar el punto Q de intersección de las dos rectas; la distancia solicitada es la distancia del punto P
al punto Q.
Condición de perpendicularidad
m1
⋅ m2
= −1
Pendiente de la recta dada = 2 por lo tanto:
m ⋅ 2 = −1
1
Ecuación de la recta dada un punto y su pendiente
( y − y1)
= m(
x − x1)
( y − 5)
= − 1 ( x + 2)
2
x
y = 4 −
2
Obtenemos el punto de corte de la recta dato y la obtenida:
P(14/5, 13/5)
Y por último obtenemos la distancia entre A y P que será la distancia entre el punto A y la recta dada.
Ecuación de la circunferencia
1, y
Ejemplo. Determine la distancia del punto ( − 2,
5)
1
y − 2 = −2x
+ 2
y = 4 − 2x
2
2
m
1
Definición: Es el lugar geométrico de un punto que se mueve en un plano de tal manera que se conserva
siempre a una distancia constante de un punto fijo de ese plano.
El punto fijo se llama centro de la circunferencia y la distancia constante se llama radio.
2
A a la recta cuya ecuación es: y = 2x − 3
= −
1
2
y
− y
( x x )
1 2
y1 −
x1
− x2
= .
1
67

Teorema1:
La circunferencia con centro en el punto (h,k) y radio rr,
tiene por ecuación:
2
2 2
( x − h)
+ ( y − k)
= r
Esta ecuación se conoce como segunda forma ordinaria de la circunferencia
circunferencia.
Corolario:
La circunferencia de centro en el origen y radio r
Tiene por ecuación:
2 2
x + y =
Esta ecuación se conoce como primera forma ordinaria o
canónica de la circunferencia
Traslación de ejes coordenados:
r
2
Suponiendo un sistema de coordenadas inicial con origen en O y ejes x e y las coordenadas de un punto A
dado, en este sistema son:
68

Dado un segundo sistema de referencia de origen O´ y ejes x´ e y´. Siendo los centros de coordenadas de los
sistemas 0 y 0´, puntos distintos, y los ejes x, x´; e y, y´ paralelos dos a dos, y las coordenadas de O´,
respecto a sistema Oxy son:
O´( h, k )
Se dice traslación del origen, a calcular las coordenadas de A en el sistema O´x´y´, según los datos
anteriores. Que llamaremos:
Dados los puntos O, B y C sobre el eje de las X y los puntos O, D y E sobre el eje de las y tenemos que por
suma de segmentos dirigidos:
x = OB + BC
A
y = OD + BC
A
Pero por segmento de paralelas comprendidas entre paralelas tenemos: BC igual a x´A ,OB igual a h, OD
igual a k y BC igual a y´A , tenemos::
x = h + x´
A A
y = k + y´
A A
Esta dos expresiones que relacionan las coordenadas leídas en el un sistema original y una en traslación con
respecto a este se constituyen la ley de traslación.
Rotación alrededor del origen
Dado un sistema de coordenadas en el plano con origen en O y ejes x e y, un punto A del plano, se
representara en este sistema tiene por coordenadas:
Para un segundo sistema de referencia girado un ángulo , respecto al primero, las coordenadas del punto
A, respecto a este segundo sistema de referencia serán :
69

Hay que tener en cuenta que el punto y son el mismo punto,
; empleamos una
denominación u otra para indicar si las coordenadas están determinadas con respecto ecto a uno u otro sistema
de referencia, llamando r a la distancia del punto A con respecto al origen que es la misma en ambos
sistemas tenemos:
x = r cos α + β = r cosα cos β − rsen rsenα sen senβ
A
y = rsen α + β = rsen rsenα cos β + r cosα
sen senβ
A
En el sistema rotado las coordenadas del punto se pueden expresar como:
Remplazando en con las s expresiones de las coordenadas en el sistema original tenemos:
Ecuaciones que relaciones las coordenadas del sistema original con las del sistema rotado es expresan la ley
que gobierna la rotación.
LA PARABOLA
( )
( )
Definición.- una parábola es el lugar geométrico de un punto que se mueve en un plano de tal manera que su
distancia de una recta fija, situada en el plano, es siempre igual a su distancia de un punto fijo del plano y
que no pertenece a la recta.
El punto fijo se llama foco y la recta fija directriz.
x = r cos β
En el gráfico tenemos los siguientes elementos de la parábola:
´
A
y = rsenβ
´
A
x = x cosα
− y senα
´ ´
A A A
y = x senα + y cosα
´ ´
A A A
70

F foco ; l recta directriz ; la recta a que pasa por F y es perpendicular a l se llama eje de la parábola; A punto
de intersección entre la directriz y el eje de la parábola; V punto medio del segmente AF se denomina vértice
de la parábola; BB´segmento de recta que une dos puntos cualesquiera de la parábola se denomina cuerda,
cuerda que para por el foco tal como CC´se denomina cuerda focal, cuerda focal tal como LL´que es
perpendicular al eje se denomina lado recta de la parábola, y por último segmento de recta que une el foco
con uno cualesquiera de los puntos de la parábola se denomina radio vector del punto por ejemplo el
segmento PF.
Ecuación de la Parábola con vértice en el origen y como eje un eje coordenado:
2
y = 4px
Esta ecuación corresponde a la parábola del gráfico, es decir con su vértice en (0,0), foco de coordenadas
(p,0) y su directriz de ecuación x= -p
Análisis de la ecuación:
- Intersecciones: para x = 0, y = 0 , por lo tanto pasa por el origen
- Simetría.- si reemplazo y por –y la ecuación no se altera por lo tanto es simétrica con respecto al eje X.
Extensión: despejando y tenemos
y = ± 2
px
Por lo tanto para que exista valor real de y p y x deben tener el mismo signo, así que si F esta en la parte
positiva del eje X, x puede tener solo valores positivos y se dice que la parábola se abre hacia la derecha, de
lo contrario es decir con p negadito la parábola se abre a la izquierda.
Y puede tomar todos los valores reales positivos y negativos.
- Asíntotas: la parábola no tiene asíntotas verticales ni horizontales
Si el eje de la parábola esta en el eje Y y el vértice esta en el origen la ecuación sería:
2
x = 4 py
La ecuación de la recta directriz sería y= -p y si p>0 la parábola se abre hacia arriba, y si p

Estas formas de ecuación se conocen como primera forma ordinaria de la parábola.
PROBLEMAS DE APLICACIÓN GEOMETRIA ANALITICA
1. Demuestra, mediante la fórmula de distancia, que los siguientes puntos son coloniales, A( 0,4 ) B(
3,-2 ) C( -2,8 )
2. Halla la distancia entre los puntos de coordenadas: A( 4 , 1 ) y B( 3 , -2 )
a) 10 b)13 c)12 d)11 e)8
3. Halla el punto de abscisa 3 que diste 10 unidades del punto: P (-3, 6).
a) A( 3,10 ) y B(3,-1 )
b) A( 3,12 ) y B(3,-2 )
c) A( 3,14 ) y B(3,-2 )
d) A( 3,11 ) y B(3,-3 )
e) A( 3,14 ) y B(3,0 )
4. Calcula las coordenadas del punto medio del siguiente segmento: A( 3,4 ) y B( 1,-2 )
a)( 2,4) b)( 2,1) c)( 1,4) d)( 1,2) e)( 2,3)
5. Dados los puntos P1(2,-3) y P2(-1,2), encontrar las coordenadas del punto sobre P1P2 que dista
doble de P1 que de P2
a) ( 1,1/2)
b) ( 0,1)
c) ( 0,1/3)
d) ( 1,3/2)
e) ( 3,1/2)
6. Halla la pendiente de la recta que pasa por los puntos: A( 3,4 ) y B( 1,-2 )
a) 8/4 b)3/2 c)3 d)2/3 e)2
7. Halla las inclinaciones de las rectas que pasan por los puntos: A( 4,6 ) y B( 1,3 )
a) 30º b)55º c)45º d)60º e)90º
8. Dados los puntos M(2,2) y N(5,-2) determinar un punto P en el eje de las abscisas que forme un
ángulo MPN de 90º.
a) (5,0) y (2,0)
b) (6,0) y (2,0)
c) (6,0) y (1,0)
d) (4,0) y (1,0)
e) (5,0) y (2,0)
9. Aplicando el concepto de pendiente, averigua la posición relativa en el plano de los puntos
siguientes A(4,1 ) B( 5,-2 ) C( 6,-5 )
a) vertives de un triángulo
b) puntos de una linea quebrada
72

c) B punto medio del segmento AC
d) colineales
e) puntos de trisección de un segmento de recta
10. Aplicando el concepto de pendiente, determine de que tipo de triángulo son vértices los puntos
siguientes A( 6,5 ) B( 1,3 ) C( 5,-7 )
a) Isosceles
b) equilátero
c) rectángulo
d) acutángulo
e) obtusángulo
11. Determinar vértices de que tipo de cuadrilátero son los puntos siguientes: A( -1,-2 ) B( 0,1 ) C( -
3,2 ) y D( -4,-1 )
a) trapecio
b) trapecio isosceles
c) cuadrado
d) rectángulo
e) rombo
12. Los puntos (2,1),(6,2),(5,6) y (1,5) son los vértices de un cuadrado, los valores de su perímetro y el
área son:
a) 10+ 15 ; 10* 15
b) 10+2 15 ; 10* 15
c) 10+ 17 ; 10* 17
d) 10+ 2 17 ; 10* 17
e) 10+ 3 15 ; 10* 15
13. Los puntos (-1,5),(3,12),(7,9) y (7,4) son vértices de un romboide: calcular luego su perímetro y
área.
a) 11 + 2 65 ; 45
b) 10 + 2 65 ; 40
c) 10 + 65 ; 45
d) 9 + 2 60 ; 40
e) 11 + 3 65 ; 40
14. Los puntos (2,2),(11,2) y (8,8) son los vértices de un triángulo calcular el perímetro de dicho
triángulo.
a) 3(3 + 2 2 + 3)
b) 3(3 + 3 3 + 5)
c) 3(3 + 2 2 + 5)
d) 1.5(3 + 2 2 + 5)
e) (3 +
2 2 + 5)
73

15. Los vértices de la base de un triángulo isósceles son los puntos (-1,1) y (3,1), hallar las
coordenadas del tercer vértice.
a) ( 1,2 ± 2 3 )
b) ( -1,-1 ± 2 3 )
c) ( -1,1 ± 2 3 )
d) ( 1,-1 ± 2 3 )
e) ( -1,3 ± 2 3 )
16. El lado de un rombo mide 5 10 y dos de sus vertices opuestos son los puntos (4,9) y (-2,1)
determinar el valor de su área.
a) 120 b)130 c)150 d)100 e)125
17. Dada la recta cuya ecuación es 3X + 2Y – 5 = 0. ¿Determine por cual es su pendiente?
a) 3 b)-3 c)-1.5 d)3/2 e)2/3
18. Dada la ecuación de la recta AX + BY + C = 0 los puntos de intersección con los ejes coordenados
son:
a) X = 0 ; Y = 0 con C ≠ 0
b) X = -(C/A) ; Y = -(C/B)
c) X = -(C/B) ; Y = -(C/A)
d) X = (C/A) ; Y = (C/B) con C ≠ 0
19. Calcular el área del triángulo que la recta 3x-4y-12=0 forma con los ejes coordenados.
a) 5 b)10 c)6 d)5.25 e)8
20. Los vértices de un triángulo son los puntos A(0.0); B(4,2) y C(-2,6) encontrar la ecuación de la
recta que contiene el lado BC.
a) 3x+2y=14
b) 2x+3y-12=0
c) 2x+2y=9
d) 2x+3y-14=0
e) 5x-6y-1=0
21. Encontrar la ecuación de la recta que pasa por el punto (4,8/3) y la intersección de las rectas 3x-
4y-2=0 y 9x-11y-6=0-
a) 13x+11y+14=0
b) 12x-15y-8=0
c) 21x+2y-8=0
d) 5x+3y-44=0
e) 15x-16y-1=0
22. Las ecuaciones de dos rectas son
perpendiculares si y sólo si:
X 1
1
− X
A
Y − Y
=
B
y
X 2
2
− X
C
Y − Y
=
D
respectivamente: Son
74

a) AC + BD = 0
b) AC – BD = 1
c) AD + BC = 0
d) AD –BC = 1
e) Ninguna de las anteriores
23. Las ecuaciones de dos rectas son AX + BY + C = 0 y DX + EY + F = 0 respectivamente: Son
coincidentes si y sólo si:
a) A/D = B/E = C/F
b) AE = BD y C= F
c) AD = BE = CF
d) AB = DE = CF
e) Ninguna de las anteriores
24. 19.- Las ecuaciones de dos rectas son AX + BY + C = 0 y DX + EY + F = 0 respectivamente: Se
cortan en un punto y solamente en un punto si:
a) AD + BE = 0
b) AE – BD = 0
c) AE – BD ≠ 0
d) AD + BD = 0
e) Ninguna de las anteriores
25. Los puntos A(-1,1), B(3,1) y C(3,7) definen el triangulo ABC, ¿Cuál es el valor de la tangente del
ángulo C?
a) 2/3 b)-2/3 c)3/2 d)-3/2 e)Ninguno de los anteriores
26. Si P1 (X1; Y1) y P2 (X2; Y2) son puntos diferentes de una recta entonces su pendiente m está dada
por:
a)
b)
c)
d)
X 2 + Y2
m =
X + Y
1
1
Y2
− X 1
m = Con X2 ≠ Y1
X 2 − Y1
Y2
− Y1
m = Con X2 ≠ X1
X 2 − X 1
Y2Y1
m = Con X2 ≠ 0 y X1 ≠ 0
X X
2
1
27. Dada la ecuación de la recta ax+by+c=0 y asumiendo que todos sus coeficientes son diferentes de
cero. ¿Cuáles son las coordenadas del corte de la recta con el eje y?
a) (c/b,0)
b) (-c/b,0)
c) (0,c/b)
d) (0,-c/b)
e) Ninguno de los anteriores
x − x1
y − y1
x − x2
y − y 2
28. Las ecuaciones de dos rectas son: = y = , estas líneas NO se cortan en
A B C D
ningún punto si y solo si:
75

a) BC=-AD
b) BC=AD
c) AB=CD
d) AB=-CD
e) Ninguno de los anteriores
29. Las coordenadas del punto P (1; 0) referidos a los ejes coordenados cuando giran un ángulo de
90 grados son:
a) (1; 0) b) (-1; 0) c) (0; 1) d)(0; -1) e) Ninguna de las anteriores
30. La ecuación de la curva X² + Y² = r² cuando giran los ejes coordenados un ángulo θ toman la
forma:
a) X² + Y² = r² sen² θ d) X² + Y² = r²cos² θ
b) X² + Y² = r² e) X² cos² θ + Y² sen² θ = r²
c) Ninguna de las anteriores
31. Dados los puntos P1 (X1; Y1) y P2(X2; Y2) cuando trasladamos paralelamente los ejes
coordenados al punto P1 las nuevas coordenadas del punto P2 son:
a) a) P2(X2; Y2)
b) b) P2((X2+X1); (Y2+Y1))
c) c) P2((X2-X1); (Y2-Y1))
d) d) P2((X2X1); (Y2Y1))
e) e) Ninguna de las anteriores
32. Hallar la ecuación de una circunferencia que tiene como extremos de uno de sus diámetros los
puntos A(-2,3) y B(4,-1).
a) (X-1) ² +(Y-1) ² = 13
b) (X² + Y² = 34
c) ( X+2) ² +(Y+1) ² = 144
d) (X² + Y² = 115
e) (X-2) ² +(Y+1) ² = 12
33. Hallar la ecuación de una circunferencia tangente a los dos ejes coordenados que tiene radio
igual a 6 y se encuentra en el segundo cuadrante.
a) (X-2) ² +(Y-3) ² = 36
b) X² + Y²-12X-12Y+36 = 0
c) ( X+2) ² +(Y-6) ² = 144
d) X² + Y² = 36
e) (X-3) ² +(Y-3) ² = 36
34. Determinar el centro y radio de la circunferencia de ecuación 3x 2 +3y 2 +4y-7=0
a) (0,2/3);5/3
b) (0,-2/3);5/3
c) (1,2/5);5/2
d) (0,-2/7);7/3
e) (0,2/5);5/7
35. Encontrar la ecuación de la circunferencia de radio 10 que se tangente al eje e las X y tiene su
centro en la recta x=2y.
a) X² + Y²-20X-20Y+400 = 0; X² + Y²+40X+20Y+400 = 0;
76

) X² + Y²-40X+20Y+400 = 0; X² + Y²+40X+20Y-400 = 0;
c) X² - Y²-40X-20Y+400 = 0; X² + Y²+40X+20Y+400 = 0;
d) X² + Y²+40X+20Y-400 = 0; X² + Y²+40X+20Y+400 = 0;
e) X² + Y²-40X-20Y+400 = 0; X² + Y²+40X+20Y+400 = 0;
36. La ecuación de una parábola está dada por
a) P(4; 0) b) P(0; 7) c)P(4;7)
d) P(0; 4) e) Ninguna de las anteriores
2
X
y = +3 el foco está en:
16
37. La ecuación de una parábola está dada por y = 16X
el foco está en:
a) P(4; 0) b) P(0; 7) c)P(4;7)
d) P(0; 4) e) Ninguna de las anteriores
38. 33.- La ecuación de la parábola cuyo vértice está en el origen y cuyo eje coincide con el eje Y, y
pasa por el punto P(6; 3) es:
2
a) = X − 33
c)
y b) Y² = X + 3
2
X
12
y = d) Y = 2X – 9
e) Ninguna de las anteriores
39. 34.- La ecuación de la parábola cuyo vértice está en el origen y cuyo eje coincide con el eje X, y
pasa por el punto P(3; 6) es:
3
a) Y = X − 3 b) Y² = X + 33
c)
2
X
2
y = + 21/4 d) Y = 12X
12
e) Ninguna de las anteriores
77