la representación del espacio mediante coordenadas cartesianas y ...

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Chuang Liu
p h
h
transformación, digamos, de R2 a R1; con respecto al mismo
subconjunto abierto de Sn no introduce ninguna distorsión en la
descripción del subconjunto mediante coordenadas. Matemáticamente,
esta propiedad se refleja en el requerimiento de que las dos gráficas
están C∞-relacionadas, es decir, que para cualquier intersección no
vacía de dos subconjuntos arbitrarios abiertos de Sn , y son
funciones infinitamente diferenciables. Las dos gráficas, R1 y R2, están
obviamente C∞-relacionadas porque φ y ψ son C∞ y ya que son 1-1 en
las proyecciones, φ -1
y ψ -1
también son C∞ . 1
π=φ.ψ 1
Figura 1: La representación mediante coordenadas de una esfera ndimensional
en un espacio (n+1)-dimensional.
1 La prueba real de que son infinitamente diferenciables va más o menos del
siguiente modo. Primero, inscribimos los mapas estereográficos en el espacio de mayores dimensiones,
de modo que se les pueda asignar un sistema normal de coordenadas cartesianas. Entonces podemos
probar que φ, ψ y sus inversas como funciones en tales coordenadas cartesianas son funciones infinitamente
diferenciables. Para un ejemplo de tales pruebas, ver Isham, (1989: 3-4).
Discusiones Filosóficas. Año 7 Nº 10, Enero–Diciembre, 2006. pp. 17 - 32