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TAREA 1
CÁLCULO ESTOCÁSTICO
POSGRADO EN CIENCIAS MATEMÁTICAS
UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO
SEMESTRE 2013-I
GERÓNIMO URIBE BRAVO
Ejercicio 1. Sea B un movimiento Browniano.
(1) Si f es medible y acotada y Ht = t
0 f(Bs) ds, pruebe que H es un proceso
adaptado con trayectorias continuas.
(2) Si f es una función continua y Ht = sup s≤t f(Bs), pruebe que H es un proceso
adaptado con trayectorias continuas.
(3) Si Ht = 1Bt>0, pruebe que H es un proceso adaptado pero que no tiene
trayectorias continuas.
Ejercicio 2 (Problema 2.19 p.9 de [KS91]). Sea X = (Xt, t ≥ 0) progresivamente
medible respecto de la filtración (Ft, t ≥ 0) y T un tiempo de paro. Sea f : [0, ∞) ×
R → R medible y acotada. Muestre que el proceso Y = (Yt, t ≥ 0) dado por
t
Yt = f(s, Xs) ds
0
es progresivamente medible y que YT es una variable aleatoria FT -medible.
Ejercicio 3. Sean S y T tiempos de paro respecto de una filtración (Ft, t ≥ 0).
Pruebe la siguiente proposición.
La colección de eventos que suceden hasta el tiempo T , FT , es una σ-álgebra. Si
A ∈ FS entonces A∩{S ≤ T } ∈ Ft y en consecuencia, si S ≤ T entonces FS ⊂ FT .
Además, FT ∧S = FT ∩ FS y dicha σ-álgebra contiene a cada uno de los eventos
{S < T } , {T < S} , {S ≤ T } , {T ≤ S} , {T = S} .
Ejercicio 4. Sea (Mt, t ≥ 0) una martingala (con trayectorias continuas por la derecha
en el caso de tiempo continuo) respecto de (Ft, t ≥ 0). Pruebe que obviamente Mt∧T
es una Ft∧T -martingala pero que de hecho M T es martingala respecto a (Ft, t ≥ 0).
Ejercicio 5 (Ej. 4 y 28 Cap. 1 de [Pro04]). Si (Tn, n ∈ N) es una sucesión de
tiempos de paro que decrecen a T . Pruebe que T es un tiempo de paro y que
FT =
FTn.
Sean S y T dos tiempos de paro con S ≤ T . Pruebe que FS− ⊂ FT − y que si
(Tn, n ∈ N) es una sucesión de tiempos de paro que crecen a T entonces
n
FT − =
n
1
FTn−.

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Ejercicio 6 (Ej. 5 Cap. 1 de [Pro04]). Sea (Ft) t≥0 una filtración que satisface las
hipótesis habituales. Sea p > 1 y sean M n (Ft)-martingalas continuas y acotadas en
Lp y con límite M n ∞. Suponga que M n ∞ → M∞ en Lp y sea Mt = E(M∞ | Ft).
(1) Pruebe que Mt ∈ Lp para toda t ≥ 0.
(2) Pruebe con mucho cuidado que M es una martingala continua.
Ejercicio 7 (Ej. 8 Cap. 1 de [Pro04]). Sea Bt = (B 1 t , B 2 t , B 3 t ), t ≥ 0 un movimiento
browniano en dimensión 3. Sea Lr = sup {t ≥ 0 : Bt ≤ r}. Diga por qué Lr < ∞
para toda r ≥ 0 y pruebe que Lr no es un tiempo de paro respecto de la filtración
browniana.
Ejercicio 8. Pruebe que si f es no decreciente y continuamente diferenciable entonces
t t
g df = gf ′ dλ.
0
Ejercicio 9. Al extender la técnica vista en clase para funciones de variación acotada
continuas, pruebe la regla de la cadena
F ◦f(t) = F ◦f(0)+ F ′ ◦f df +
[F ◦ f(s) − F ◦ f(s−) − F ′ ◦ f(s−) ∆f(s)]
(0,t]
s≤t
∆f(s)=0
donde F es una función de clase C1 y f es una función de variación acotada.
Ejercicio 10. El objetivo de este ejercicio es ver cuál es el límite en L2 de
,
i
Bτ n i
0
Bt n i − Bt n i−1
donde 0 = tn 0 < tn 1 < · · · < tn kn = t una sucesión de particiones de [0, t] cuya norma
tiende a cero y τ n i = tn i + tn
i−1 /2.
(1) Defina Fs,t = σ(Br : r ≤ s ó r ≥ t).Si u ≤ s ≤ t ≤ v, pruebe que
Bt − Bs − (Bv − Bu) (t − s) / (v, u)
es independiente de Fu,v. Concluya que
t − s
E(Bt − Bs | Fu,v) =
v − u (Bv − Bu) .
Sugerencia: utilice el criterio de independencia para vectores gaussianos.
(2) Muestre que
E Bτ n
Bti + Bti−1
− Bt i 2
n i − Btn
i−1
2
= E Bτ n 2 Bti + Bti−1
− Bt i 2
n i − Btn
2 .
i−1
y que por lo tanto:
E
Bτ n i
− Bti + Bti−1
2
Bt n i − Bt n i−1
2
≤ t max (ti − ti−1) .

(3) Muestre que
i
Bti
+ Bti−1
2
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Bt n i − Bt n i−1
→ B 2 t
en L 2 y concluya. ( Sugerencia: no lo haga directamente, utilice lo que se ha
visto en clase.)
Ejercicio 11. Sea B un movimiento browniano y defina St = sup s≤t Bs, S ∗ t =
sup s≤t |Bs|.
(1) Sea α > 0 y recuerde que
Mt = e αBt−α2 t/2
es una martingala con trayectorias continuas. Al aplicarle la desigualdad
maximal de Doob, deduzca que
(2) Minimice sobre α y deduzca que
(3) Pruebe que
es una martingala y deduzca que
P(St ≥ at) ≤ e αat+α2 t/2 .
P(St ≥ at) ≤ e −a2 t/2 .
Nt = cosh(αBt) e −α2 t/2
P(S ∗ t ≥ at) ≤ 2e −a2 t/2 .
(4) Deduzca que St y S ∗ t tienen momentos de cualquier orden.
Ejercicio 12. Mediante aproximación por sumas tipo Riemann, pruebe las siguientes
dos igualdades:
(1) t
0 s dBs = tBt − t
0 Bs ds y
(2) t
0 B2 s dBs = B 3 t /3 − t
0 Bs ds.
Ejercicio 13. Sean F y G dos proceso continuos y adaptados respecto de la filtración
browniana. Pruebe que:
(1) t
s dBr = Bt − Bs,
(2) si λ, µ ∈ R entonces t
s λFs + µGs dBs = λ t
s Fs dBs + µ t
s Gs dBs y
(3) si r < s < t entonces
s t t
Fu dBu + Fu dBu = Fu dBu.
r
s
Ejercicio 14. Probar que si f es una función continua de variación acotada entonces
g satisface
si y sólo si
g(t) = x +
t
0
r
g(s) f(ds)
g(t) = xe f(t) .
Sugerencia: utilice integración por partes para ver que ge −f es constante.

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Ejercicio 15. Pruebe que Xt = xe Bt−t/2 satisface la ecuación
Xt = x +
t
0
Xs dBs.
Sugerencia: Aplique la fórmula de Itô para procesos del tipo f(t, Bt). Note que para
obtener una conclusión de unicidad como la del caso de variación finita, hace falta
una fórmula de integración por partes para integrales estocásticas.
Ejercicio 16. Sean B 1 y B 2 dos movimientos brownianos independientes y Bt =
(B 1 t , B 2 t ).
(1) Pruebe que B 1 B 2 es una martingala.
(2) Al utilizar la fórmula de polarización ab = 1/4 ((a + b) 2 − (a − b) 2 ), calcule
el límite en L2 conforme la norma de la partición se va a cero de:
.
i
B 1 ti − B1 ti−1
B 2 ti − B2 ti−1
Sugerencia: Note que B 1 + B 2 y B 1 − B 2 tienen las mismas distribuciónes
finito dimensionales que (B 1 2t, t ≥ 0).
(3) Conjeture y pruebe una fórmula de Itô para f(B).
(4) Aplique formalmente la fórmula a log x + Bt 2 donde x = 0 y diga por qué
dicho proceso (menos su valor inicial) debe ser igual a una integral estocástica.
References
[KS91] Ioannis Karatzas and Steven E. Shreve, Brownian motion and stochastic calculus, second
ed., Graduate Texts in Mathematics, vol. 113, Springer-Verlag, New York, 1991.
MR 1121940 (92h:60127)
[Pro04] Philip E. Protter, Stochastic integration and differential equations, second ed., Applications
of Mathematics (New York), vol. 21, Springer-Verlag, Berlin, 2004, Stochastic Modelling
and Applied Probability. MR 2020294 (2005k:60008)
Instituto de Matemáticas, Universidad Nacional Autónoma de México