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353 Das Relaxationsverhalten eines
RC-Kreises
Christian-Roman Gerhorst * Ismo Toijala **
* christiangerhorst@gmail.com
** ismo.toijala@gmail.com
Durchführung 08.11.2011
Abgabe 29.11.2011

Inhaltsverzeichnis
Inhaltsverzeichnis 2
1 Ziel 3
2 Theorie 3
3 Versuchsaufbau und -durchführung 5
3.1 Bestimmung von RC durch Beobachtung der Entladekurve des
Kondensators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
3.2 Bestimmung von RC aus der Frequenzabhängigkeit der Amplitude
und Phasenverschiebung bei angelegter Sinusspannung . . . 5
3.3 Der RC-Kreis als Integrator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
4 Messwerte 6
5 Auswertung 8
5.1 Entladevorgang am Kondensator . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
5.2 Bestimmung aus Amplitude und Phasenverschiebung der Kondensatorspannung
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
5.3 Der RC-Kreis als Integrator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
Literatur 14
2

1 Ziel
Ziel des Versuches ist die Bestimmung der Zeitkonstante eines RC-Kreises mit
Hilfe verschiedener Messansätze. Des Weiteren soll experimentell bestätigt werden,
dass in einem angeregten RC-Kreis die Spannung am Kondensator für hohe
Frequenzen die Generatorspannung integriert.
2 Theorie
Kehrt ein System nach einer Auslenkung ohne Oszillationen in seinen Ruhezustand
A(∞) zurück, so kommt es dabei zu Relaxationserscheinungen. Wenn
man die Größe A betrachtet, gilt
dA
dt = c A(t) − A(∞)
mit einer Proportionalitätskonstante c. Nach Separation der Variablen ergibt
sich für die Lösung der Differentialgleichung
A(t) = A(∞) + A(0) − A(∞) e ct .
C
1 2
R
+Q
−Q
Abbildung 1: Entladung (Stellung 1) und Aufladung (Stellung 2) eines Kondensators
über einen Widerstand
Die Ent- und Aufladevorgänge eines Kondensators über einen Widerstand
(Abbildung 1) zeigen ein Relaxationsverhalten. Für die Ladung Q(t) auf den
Platten des Kondensators mit Kapazität C, die sich über den Widerstand R
entlädt, lässt sich die Differentialgleichung
aufstellen. Die Gleichung wird durch
˙Q + 1
Q = 0
RC
1 −
Q(t) = Q(0)e RC t
gelöst. Beim Aufladevorgang gilt die Gleichung
−
+
1 −
Q(t) = CU0(1 − e RC t ).
3
U

U
I
UR
UC
Abbildung 2: RC-Kreis mit Anregung
Die Größe RC wird Zeitkonstante des Relaxationsvorgangs genannt.
Ein RC-Kreis, der durch eine Sinusspannung angeregt wird, zeigt auch ein
Relaxationsverhalten. Ist die Anregungsfrequenz ω ≪ 1
RC , so ist die Spannung
UC(t) am Kondensator fast simultan zu der Anregungsspannung
U(t) = U0 cos(ωt).
Wird ω größer, so entsteht eine frequenzabhängige Phasenverschiebung ϕ(ω)
zwischen UC und U. Aus der Maschenregel folgt für die Schaltung in Abbildung
2
Die Gleichung wird durch den Ansatz
gelöst. Für ϕ folgt
und für A
U = UR + UC
U0 cos(ωt) = RC ˙ UC + UC. (1)
UC(t) = A(ω) cos(ωt + ϕ(ω))
R
C
ϕ(ω) = arctan(−ωRC) (2)
A(ω) =
U0
√ . (3)
1 + ω2R2C 2
Aus (2) und (3) folgt für den Zusammenhang zwischen ϕ und A
A
U0
= cos ϕ.
Der RC-Kreis kann unter bestimmten Voraussetzungen auch als Integrator
verwendet werden. Geht man von ω ≫ 1
RC aus, so gilt |UC| ≪ |U| und (1) wird
zu
Integriert man beide Seiten, folgt
U(t) = RC ˙ UC.
UC(t) = 1
t
RC
4
0
U(t ′ ) dt ′ .

3 Versuchsaufbau und -durchführung
3.1 Bestimmung von RC durch Beobachtung der Entladekurve
des Kondensators
Rechteckgenerator
Ri
U
R
C UC
Abbildung 3: Versuchsaufbau aus 3.1
y
Oszilloskop
Zunächst wird ein Schaltkreis gemäß Abbildung 3 aufgebaut. Während der
Messung beobachtet man die Spanning UC in Abhängigkeit von der Zeit. Entsprechend
der angelegten Rechteckspannung kommt es zu Auf- und Entladevorgängen
am Kondensator. Bei hoher Frequenz der Rechteckspannung werden
diese Prozesse nicht ganz abgeschlossen sondern gehen fließend ineinander über.
Der Aufladevorgang verhält sich bei der Bestimmung von RC zum Entladevorgang
analog. Im Folgenden wird daher nur der Entladevorgang betrachtet.
Da die Minimalspannung UC,0 für die Auswertung wichtig ist, wird zunächst
eine niedrige Frequenz ω gewählt, sodass die niedrigste in vernünftiger Zeit am
Kondensator auftretende Spannung ermittelt werden kann. Die Ablenkgeschwindigkeit
auf der Zeitachse und der Triggerpegel am Oszillographen werden so
eingestellt, dass der gesamte Entladevorgang am Bildschirm sichtbar wird; diese
Werte werden gespeichert. Anschließend erhöht man die Frequenz und stellt
Trigger und Ablenkgeschwindigkeit auf der Zeitachse so ein, dass die Kondensatorspannung
sich am Bildschirm um den Faktor 5 bis 10 ändert. Sind alle
Paramter richtig eingestellt, werden diese Messdaten ebenfalls gespeichert.
3.2 Bestimmung von RC aus der Frequenzabhängigkeit
der Amplitude und Phasenverschiebung bei angelegter
Sinusspannung
Zu Beginn wird durch Betrachten des Oszilloskopbildes festgestellt, dass die
Generatorspannung unabhängig von der Frequenz ist. Mit Hilfe der Schaltung
aus Abbildung 4 wird dann die Spannungsamplitude A am Kondensator mit
einem Millivoltmeter und die Phasenverschiebung ϕ mit Hilfe des Oszillographen
und folgender Formel in Abhängigkeit von der Frequenz ω ermittelt:
ϕ = aω. (4)
5

Frequenzmesser
Sinusgenerator
Ri
U
Abbildung 4: Versuchsaufbau aus 3.2
R
UC C mV y2 y1
Oszilloskop
a ist hierbei die (negative) zeitliche Differenz der Nulldurchgänge der Generatorspannung
und der Spannung am Kondensator. Dabei ist zu beachten, dass
die beiden Spannungskurven stets symmetrisch zu x-Achse sind, da sonst die
Nulldurchgänge verfälscht werden. Die Messung wird über 3 Zehnerpotenzen
hinweg durchgeführt.
3.3 Der RC-Kreis als Integrator
Die Integration der Generatorspannung am Kondensator kann mit der Schaltung
aus Abbildung 4 realisiert werden. Die Zeitablenkung, der Trigger und
die y-Ablenkung am Oszillographen werden so eingestellt, dass die Spannungsverläufe
übereinander dargestellt werden. Die Messung wird für eine Rechteckspannung,
eine Sinusspannung und eine Dreiecksspannung durchgeführt und die
Messdaten gespeichert.
4 Messwerte
Die Messwerte für A und a in Abhängigkeit von der Frequenz ν = ω
2π sind in
Tabelle 1 aufgeführt. Die Messwerte aus 3.1 und 3.3 befinden sich elektronischer
Form im Anhang.
6

ν/Hz A/V −a/ms
10 3,360 1,740
20 3,370 1,490
30 3,320 1,440
40 3,220 1,400
50 3,140 1,350
60 3,036 1,330
70 2,922 1,290
80 2,801 1,240
90 2,689 1,200
100 2,570 1,160
200 1,691 0,8280
300 1,213 0,6400
400 0,9364 0,5120
500 0,7581 0,4260
600 0,6372 0,3660
700 0,5489 0,3180
800 0,4828 0,2820
900 0,4300 0,2540
1000 0,3878 0,2310
2000 0,1951 0,1200
3000 0,1304 0,080 80
4000 0,098 03 0,060 80
5000 0,078 41 0,049 20
6000 0,065 34 0,040 40
7000 0,056 08 0,034 40
8000 0,049 07 0,030 00
9000 0,043 62 0,026 40
10 000 0,039 25 0,023 60
Tabelle 1: Amplitude A und Zeitdifferenz a in Abhängigkeit von der Frequenz ν
7

5 Auswertung
Zunächst sind die Formeln für Mittelwert (5), Fehler des Mittelwertes (6) und
Fehlerfortpflanzung ((7) und (8)) gegeben. N ist immer die Anzahl der Messwerte.
x = 1
N
xi
(5)
N
i=1
Ã
N 1
δx =
(xi − x)
N(N − 1)
i=1
2
(6)
Ã
n Ç å2 ∂f
δf(x1, . . . , xn) =
(δxi)
∂x
i=1 i
2
(7)
n
f(x1, . . . , xn) = x ki δf
i ⇒
|f| =
Ã
n
k2 Ç å2 δxi
i
(8)
|xi|
i=1
Bei der linearen Regression werden die Messwerte durch eine lineare Funktion
(9) approximiert. Aus deren Steigung (10) oder y-Achsenabschnitt (11) wird
dann ein Wert ermittelt. Die Fehler der jeweiligen Parameter für die Regressionsgerade
sind durch die Formeln (12) und (13) gegeben. Alle Summen laufen
von 1 bis N.
i=1
y = Ax + B (9)
⇒ A = N xy − x y
(10)
N x 2 − ( x) 2
2 x
B =
y − x xy
N x 2 − ( x) 2
2
N (y − Ax − B)
δA =
N − 2 N x2 − ( x) 2
x2 2
(y − Ax − B)
δB =
N − 2 N x2 − ( x) 2
5.1 Entladevorgang am Kondensator
(11)
(12)
(13)
Die Spannung UC,0, also die Spannung, die sich nach sehr langer Zeit bei der
Entladung einstellt, wird aus einer Messung mit sehr niedriger Frequenz bestimmt
und steht in Tabelle 2. Die gespeicherten Messwerte sind in Abbildung
5 geplottet. Für die lineare Ausgleichsrechnung ergeben sich mit
Ç å
UC − UC,0
ln
= Dt + E
UC,0
und den Formeln (10) bis (13) die Parameter D und E sowie deren Fehler, aufgeführt
in Tabelle 2. Die sich daraus ergebende Regressionsgerade ist ebenfalls
in Abbildung 5 aufgetragen. Aus der Steigung der Regressionsgeraden ergibt
sich für
RCent := (R + Ri)C = (1,4382 ± 0,0009) ms
8

UC
UC,0
10 1
10 0
10 −1
Messwerte
Regressionsgerade
10
−2 −1 0 1
t/ms
2 3 4
−2
Abbildung 5: Regressionsgerade zur Ermittlung von RCent
mit dem Innenwiderstand des Generators
Ri = 600 Ω,
der nicht herausgerechnet werden kann, da R und C nicht einzeln bekannt sind.
5.2 Bestimmung aus Amplitude und Phasenverschiebung
der Kondensatorspannung
Die Messwerte für die Amplitude in Abhängigkeit von der Frequenz werden in
Abbildung 6 geplottet, die für die Phase in Abbildung 7. Für die nicht-lineare
Ausgleichrechnung verwendet man als Fitfunktion für die Amplitude Gleichung
(3); für die Phase verwendet man Gleichung (2). Dabei variert man die Konstanten
(R+Ri)C und erhält bei der Amplitude (vgl. Tabelle 2) einen Wert von
und bei der Phase einen Wert von
RCA = (1,389 ± 0,006) ms
RCϕ = (1,42 ± 0,03) ms.
U0 musste ebenfalls durch die nicht lineare Ausgleichrechnung genähert werden,
da die Amplitude nicht bei ω = 0 gemessen wurde; der genäherte Wert ist in 2
angegeben. Daher ist in Abbildung 6 nur die Amplitude und nicht der Quotient
A dargestellt. Die Abhängigkeit der Relativamplitude von der Phasenverschie-
U0
bung ist in Abbildung 8 dargestellt.
Alle drei Werte für RC liegen im selben Bereich um 1,4 ms. Die Messung über
die Entladekurve ergab den kleinsten Fehler, die über die Phasenverschiebung
den größten. Dies könnte damit erklärt werden, dass die letzten Messwerte von
ϕ größere Abweichungen von der Theoriekurve aufweisen. Die Messung von RC
mittels der Entladekurve ist die einfachste und schnellste der drei Messmethoden.
Sie ergibt auch den genausten Wert für RC.
9

A/V
ϕ/rad
3,5
3,0
2,5
2,0
1,5
1,0
0,5
Messwerte
Ausgleichskurve
101 102 103 104 105 0,0
ω/kHz
0,0
−0,2
−0,4
−0,6
−0,8
−1,0
−1,2
−1,4
Abbildung 6: Fit der Amplitude A zur Ermittlung von RCA
Messwerte
Ausgleichskurve
101 102 103 104 105 −1,6
ω/kHz
Abbildung 7: Fit der Phase ϕ am Kondensator zur Ermittlung von RCϕ
10

±π
3
4 π
− 3
4 π
1
2 π
Messwerte
Theoriekurve
− 1
2 π
ϕ/rad
0,2
0,4
0,6
1
4 π
0,8
− 1
4 π
1,0
Abbildung 8: Abhängigkeit der Relativamplitude A
von der Phasenverschiebung
U0
ϕ
11
0
A
U0

UC,0 V −5,520
D ms −1 −0,6953
δD ms −1 0,0004
E 1,6652
δE 0,0008
RCent ms 1,4382
δRCent ms 0,0009
U0 V 3,414
δU0 V 0,005
RCA ms 1,389
δRCA ms 0,006
RCϕ ms 1,42
δRCϕ ms 0,03
Tabelle 2: Ermittelte Parameter für die Regressionsgerade, der genäherte Wert für
U0, sowie die jeweils ermittelten Zeitkonstanten RC
5.3 Der RC-Kreis als Integrator
In den Abbildungen 9 bis 11 sind die Kondensatorspannungen bei rechteck-,
sinus- und dreieckförmigen Generatorspannungen dargestellt. Die Rechteckspannung
am Generator führt zu einer Dreieckspannung am Kondensator mit Extrema
an den unstetigen Stellen der Generatorspannung. Bei der Sinusspannung
ergibt sich eine Kosinusspannung am Kondensator. Die Dreieckspannung am
Generator erzeugt einen Parabelähnlichen Spannungsverlauf am Kondensator.
Alle diese Ergebnisse waren zu erwarten. Die Integrationen der Rechteck- und
Sinusspannungen sind trivial. Die Integration der linearen Steigung der Dreieckspannung
ergibt einen Parabelverlauf.
U/V
8
6
4
2
0
−2
−4
−6
−8
t
0,50
0,40
0,30
0,20
0,10
0,00
−0,10
−0,20
−0,30
−0,40
Abbildung 9: Rechteckgeneratorspannung und integrierte Kondensatorspannung
12
U
UC
UC/V

U/V
U/V
8
6
4
2
0
−2
−4
−6
−8
t
U
UC
0,30
0,20
0,10
0,00
−0,10
−0,20
−0,30
Abbildung 10: Sinusgeneratorspannung und integrierte Kondensatorspannung
8
6
4
2
0
−2
−4
−6
−8
t
−0,05
−0,10
−0,15
−0,20
Abbildung 11: Dreiecksgeneratorspannung und integrierte Kondensatorspannung
13
U
UC
0,25
0,20
0,15
0,10
0,05
0,00
UC/V
UC/V

Literatur
[1] TU Dortmund. Versuchsanleitung zu Versuch Nr. 353 Das Relaxationsverhalten
eines RC-Kreises. 2005.
14