353 Das Relaxationsverhalten eines RC-Kreises - Bitbucket

U
I
UR
UC
Abbildung 2: RC-Kreis mit Anregung
Die Größe RC wird Zeitkonstante des Relaxationsvorgangs genannt.
Ein RC-Kreis, der durch eine Sinusspannung angeregt wird, zeigt auch ein
Relaxationsverhalten. Ist die Anregungsfrequenz ω ≪ 1
RC , so ist die Spannung
UC(t) am Kondensator fast simultan zu der Anregungsspannung
U(t) = U0 cos(ωt).
Wird ω größer, so entsteht eine frequenzabhängige Phasenverschiebung ϕ(ω)
zwischen UC und U. Aus der Maschenregel folgt für die Schaltung in Abbildung
2
Die Gleichung wird durch den Ansatz
gelöst. Für ϕ folgt
und für A
U = UR + UC
U0 cos(ωt) = RC ˙ UC + UC. (1)
UC(t) = A(ω) cos(ωt + ϕ(ω))
R
C
ϕ(ω) = arctan(−ωRC) (2)
A(ω) =
U0
√ . (3)
1 + ω2R2C 2
Aus (2) und (3) folgt für den Zusammenhang zwischen ϕ und A
A
U0
= cos ϕ.
Der RC-Kreis kann unter bestimmten Voraussetzungen auch als Integrator
verwendet werden. Geht man von ω ≫ 1
RC aus, so gilt |UC| ≪ |U| und (1) wird
zu
Integriert man beide Seiten, folgt
U(t) = RC ˙ UC.
UC(t) = 1
t
RC
4
0
U(t ′ ) dt ′ .