Análisis en Varias Variables

250 Superficies en Espacios Euclideanos
En efecto, sea λ :] − ε, ε[ → S n un camino diferenciable con
λ(0) = p , entonces λ ′ (0) ∈ TpS n . Como S n = f −1 (0) , donde
f : Rn+1 → R es dada por f(x1,...,xn+1) =x2 1 + ···+ x2n+1 − 1,
tenemos que (f ◦λ) ′ (0) = Df(p)λ ′ (0) = 0 , pues λ(t) ∈ S n implica
que f(λ(t)) = 0 . Por lo tanto, v = λ ′ (0) ∈ ker(Df(p)) , esto es,
TpSn ⊂ ker(Df(p)) . Ahora, como Df(p) :Rn+1 → R es sobreyectiva
se sigue que dim ker(Df(p)) = n ,ycomodimTpSn = n se
tiene que TpS n =ker(Df(p)) = p ⊥ .
2. Espacio tangente a O(n) . Recordemos que O(n) = F −1 (I) ,
donde F : M(n × n, R) →S(n) es la aplicación C∞ dada por
F (X) =XXT . Como I es un valor regular de F , tenemos que
TIO(n) =kerDF(I) . Ahora como DF(X)V = XV T + VX T ,se
tiene DF(I)V = V T + V ydeaquí ker(DF(I)) = {V ∈ M(n ×
n, R) : V T = −V } que es el subespacio vectorial de M(n × n, R)
de las matrices antisimétricas.
Nota. El conjunto O + (2) = {A ∈O(n) : det(A) =1} es un
grupo canónicamente isomorfo a S1 = {(cos(θ), sen(θ)) ∈ R2 :
θ ∈ R}. El isomorfismo es dado por Γ : S1 →O + (2) definida por
⎛
⎞
cos(θ) − sen(θ)
(cos(θ), sen(θ)) → ⎝ ⎠ .
sen(θ) cos(θ)
3. Espacio tangentes al grupo especial lineal SL(n) . Tenemos que
SL(n) =det −1 (1) , y como D det(I)H =traza(H) , se sigue que
TISL(n) =ker(Ddet(I)) = {H ∈ M(n × n, R) : traza(H) =0} .