Análisis en Varias Variables

398 Formas Diferenciales en Superficies
Un cálculo muestra que dω =0. Ahora
ϕ ∗ ω = ϕ ∗
− y
x2 + y2
ϕ ∗ (dx)+ϕ ∗
x
x2 + y2
ϕ ∗ (dy)
= − sen(θ)
r
= dθ ,
+ cos(θ)
r
(cos(θ)dr − r sen(θ)dθ)
(sen(θ)dr + r cos(θ)dθ)
es decir, ϕ ∗ ω = dθ . Luego, dϕ ∗ ω = d 2 θ =0,ycomo dϕ ∗ ω = ϕ ∗ (dω),
claramente se ve que se satisface lo anterior.
Sea ω ∈ Λk,r (M) . Definimos dω como la única (k +1)–forma
diferenciable de clase Cr−1 en M tal que para cada parametrización
ϕ : U0 ⊂ R m → U ⊂ M se tiene que ϕ ∗ (dω) =d(ϕ ∗ ω).
Ahora, si ϕ : U0 ⊂ R m → U ⊂ M y ψ : V0 ⊂ R m → V ⊂ M
son parametrizaciones, con U ∩ V = ∅ , tenemos ϕ∗ (dω) =d(ϕ∗ω) ∈
Λk+1,r−1 (ϕ−1 (U ∩ V )) y ψ∗ (dω) =d(ψ∗ω) ∈ Λk+1,r−1 (ψ−1 (U ∩ V )) .
Luego, (ψ−1 ◦ ϕ) ∗d(ψ∗ω)=d(ψ−1 ◦ ϕ) ∗ (ψ∗ω)=d(ψ ◦ (ψ−1 ◦ ϕ)) ∗ω =
dϕ∗ω , es decir, ϕ∗ ◦ (ψ−1 ) ∗dψ∗ω = dϕ∗ω de donde (ψ−1 ) ∗dψ∗ω =
(ϕ−1 ) ∗dϕ∗ω ,perodω =(ϕ−1 ) ∗dϕ∗ω =(ψ−1 ) ∗dψ∗ω . Loqueterminala
prueba, y muestra que d está bien definido.
Proposición 11.4. La siguientes propiedades valen:
1. Si α, β ∈ Λk,r (M) y c1,c2 ∈ R entonces d(c1α + c2β) =c1dα +
c2dβ .
2. Si α ∈ Λ k,r (M) ( r ≥ 2 ). Entonces d 2 α = d(dα) =0.