Geometría analítica. - Web del Profesor

SUPERFICIES 425
139. Ecaaci6n general de segundo grado con tree variables. De
considerable importancia en la Geometria analitica de tresdimensiones
es la ecuaci6n general de segundo grado con tres variables,
Ax2 + Bya + Cia + Dq + Ezz + Fyz
+Gz+Hy+Iz+K=0, (1)
en donde uno , por lo menos, de 10s seis coeficientes A , B , C , D , E
y F es diferente de cero. Una superficie cuya ecuaci6n es de la for-
ma ( 1 ) , es decir , de segundo grado , ee llama , apropiadamente ,
superjEcGe cuddrica o simplemente una ctufdrica . El estudiante obser-
van4 que algunas de las superficies previamente estudiadas son super-
ficies cusdricas. POT ejemplo , la superficie eatBrica es una cddrica.
Tambibn, las supedcies cilindrica y c6nica cuyas ecuaciones eean de
segundo grado, eon cusdricas, tenemos asi el eilandro cuddtico y el cono
cuddrico . De manera semejante, cualquier auperficie reglads repreeen-
tada por una ecuaci6n de eegundo grado 8e llams cuddn'ca re&&.
Vamos ahora a llamar la atenci6n sobre una propiedad important,
de las cuidricas . Supongamos que cortamos la cuhdrica ( 1 ) por un
plano cualquiera paralelo a1 plano XY, es decir , el plano z - k, en
donde k es una constante real cualquiera. Las ecuaciones de la curva
de intersecci6n se obtienen sustituyendo z por k en la ecuaei6n (1) ;
Bstas son
Az2 + By" D~ry + (Ek + C)z
+(Fk+H)y+Ck2+Ik+K=0, z=k.
Por nuestro estudio previo de la ecuaci6n plana general de segundo
grado con dos variables (Capitulo IX) , reconocemos esta curva como
una secci6n c6nica , o una forma lfmite de una secci6n c6nica, conte-
nida en el plano z = k. Mhs generalmente , podemos demostrar que ,
si una superjEcie ctufdtica es cortadrr par un plano cualguiera , la curva
de interseccih es una seccibn cdnica o una forma llmite & uno seccz.6~
c6nica . Vemos ahora que nuestra determinaci6n previa de las secciones
c6nicas como secciones planas de un cono circular recto, hecha sn el
Articulo 78 , es un cam especial de esta propiedad.
La ecuaci6n general (1) de una cddrica ocupa entre las auperfi-
cies, en Qeometrh analltics del eepacio , un Idgar anhlogo a1 ocupado
entre las curvas planas, en Geometria analitica plana, por lo ecuaci6n
que es la definici6n analitica de una eecci6n dnica. En el 'Capitulo IX
hicimos un estudio de la ecuaci6n (2) y una clasificaci6n de 10s lugarea