El problema de Kepler

PROBLEMA DE KEPLER
Leyes de Newton de la dinámica y de la gravitación
• Ley fundamental de la dinámica. Masa inercial
⎧
⎪⎨
⎪⎩
dx
dt
dv
dt
= v
= 1
m F (t; x, v)
• Ley de Newton de la gravitación universal. Masas gravitatorias.
Discusión sobre la noción de partícula puntual.
F12 = −G M1M2
r 2 n12 (figura)
1

• Sistemas de varias partículas. Principio de superposición. Subsistemas
Fa =
b(=a)
Fab = −GMa
Mb
r
b(=a)
2 nab
ab
• Punto de vista de la teoría de campos Campo creado por un cuerpo extenso.
Masa gravitatoria activa y masa gravitatoria pasiva
⇒
g = −G
N
a=1
Ma
r 2 a
na , g = −G
rot g = 0 , g = −grad Φ
div g = −4πGρ
2
V
dM
n
r2 (figura)

• Ecuación de movimiento de una partícula de prueba en un campo externo.
Estrellas fijas. Ley de la Inercia y sistemas de referencia inerciales
dv
dt
= −M
m
Problema de Kepler newtoniano
• Qué es el problema de Kepler?
grad Φ
• Conservación de la energía y del momento angular (por unidad de masa)
⎧
⎪⎨
⎪⎩
E = 1
2 ( ˙r2 + r 2 θ˙ 2 2 2 2 GM
+ r sin θ ˙ϕ ) −
r
J = x ∧ v ⇒ x · J = 0
3
(figura)

• Elección del plano θ = π/2
⎧
⎪⎨
⎪⎩
• Potencial efectivo
E = 1
2 ( ˙r2 + r 2 ˙ϕ 2 ) − GM
r
J = r 2 ˙ϕ (⇒ ˙ A = J/2)
E = 1
2 ˙r2 + Φef(r) , Φef(r) ≡
⎧
2
⎪⎨
J 1
Φef(r) = 0 ⇒ r = ≡
2GM 2 p
⎪⎩ Φ ′ ef(r) = 0 ⇒ r =
J 2
GM
= p
4
2 J GM
−
2r2 r
(figura)
(figura)
⇒ Φef(p) = − GM
2p

• Ecuaciones de la trayectoria
⎧
⎪⎨
˙r 2 = 2E −
⎪⎩ ˙ϕ = J
r2 (puntos de retroceso)
• Ecuación de la órbita
⇒ r =
2 du
dϕ
2 J 2GM
+
r2 r
p
e cos(ϕ − ϕ0) + 1 ♣
⇒ dϕ =
J/r2
2 dr
E − Φef(r)
+ u 2 = 2
1
J 2(E + GM u) , u ≡
r
⎧
⎪⎨
⎪⎩
p ≡
J 2
GM
e 2 ≡ 1 + 2pE
GM
5
≥ 0 ,
E ≥ − GM
2p

• Otra manera de obtener la órbita
{E, J} → {p, e} ⇒ ˙r 2 + GM
p
⇒
⎧
⎪⎨
⎪⎩
˙r = e
p
r
GM
p
sin ˜ϕ
p
r
2 − 1
= GM
p e2
− 1 = e cos ˜ϕ ⇒ − p
r 2 ˙r = −e ˙˜ϕ sin ˜ϕ
⇒ ˙˜ϕ = J
⇒ ˜ϕ = ϕ − ϕ0
r2 luego la segunda relación de la llave es la ecuación de la órbita.
6

• Vector de Runge–Lenz
→ Ecuación de la órbita
e = 1
GM v ∧ J − r
r ⇒
⎧
⎪⎨
⎪⎩
e · J = 0
de
dt
= 0
⇒ G 2 M 2 (e 2 − 1) = 2EJ 2
e · r = er cos(ϕ − ϕ0) =
J 2
GM
7
(verificarlo)
− r ♣ (figura)

• Estados ligados: E < 0 ⇒ 0 ≤ e < 1
(x + ae) 2
a 2
+ y2
= 1
b2 ⎧
⎪⎨ a ≡
⎪⎩
p GM
=
1 − e2 −2E
p
b ≡ √
1 − e2 =
J
√
−2E
(ϕ0 determina el periastro: mínimo de r)
r =
(figura , ϕ0 = 0)
p
e cos(ϕ − ϕ0) + 1 ⇒
⎧
r0 ⎪⎨
=
⎪⎩
p
e + 1 = a(1 − e2 )
= a(1 − e) = a − c
1 + e
rπ/2 = p
rπ = p
= a(1 + e) = a + c
1 − e
c = a2 − b2 = p
1 − e2e
⇒ e = c
a
8

A ˙ = J
2
⎧
⎪⎨
⎪⎩
⇒ πab = J
2
T ⇒
2 T
2π
= a3
GM ♣
a = distancia media = 1
(a − ae + a + ae)
2
b = distancia promedio = 1
2π
• Estados de difusión: E > 0 ⇒ e > 1
(x − ae) 2
a 2
− y2
= 1
b2 ⎧
⎪⎨ a ≡
⎪⎩
p
e2 GM
=
− 1 2E
p
b ≡ √ =
e2 − 1 J
√
2E
2π
r(ϕ) dϕ
0
⎧
⎪⎨
rm = distancia mínima = c − a = ae − a = p
e + 1
9
⎪⎩
c = √ a 2 + b 2 = p
e 2 − 1 e
e = c
a

• Fenómeno de difusión
⎧
⎨
⎩
E = 1
2 v2 ∞
J = r∞ v∞ sin α∞ = b v∞
(dos figuras)
r = ∞ ⇒ e cos ϕ∞ + 1 = 0 ⇒ ϕ∞ = π ± arccos 1
e
⇒ χ = π − 2 arccos 1
e
⇒ 1
e
= cos π − χ
2
b 2 = a 2 (e 2 − 1) ⇒ b = GM
2E cotgχ
2 ♣
• Ecuación de segundo orden de la órbita (Binet)
d2u GM
+ u =
dϕ2 J 2
10
= sin χ
2

Problema newtoniano de dos cuerpos (Estrellas dobles)
• Ecuaciones de movimiento
⎧
⎪⎨
⎪⎩
⎧
⎨
⎩
dv1
M1
dt = F12 ≡ −G M1M2
r2 dv2
M2
• Movimiento del centro de masas
dt = F21 ≡ −G M1M2
r2 r ≡ |x1 − x2| = |x2 − x1|
n12
n21
e12 ≡ 1
r (x1 − x2) , n21 = −n12
d
dt (M1v1 + M2v2) = 0 ⇒ dv CM
dt = 0 ⇒ v CM
11
♣
= −→
Cte ♣

• Movimiento relativo (1 respecto de 2 , p. e.)
dv
dt
= 1
µ F12 ,
1
µ ≡ 1
M1
⇒ dv
dt = −G M
T n = −G
r2 M2
r2 n +
FI (calcular la fuerza de inercia)
v ≡ v1 − v2
⎧
⎪⎨
⎪⎩
M T ≡ M1 + M2
J R = x ∧ v , (x ≡ x1 − x2)
E = R 1
2 v 2 − G MT r
p
⇒ r =
e cos(ϕ − ˜ϕ) + 1
12
+ 1
M2
♣ (figura)
(invariantes por 1 ↔ 2)
♣ ( ˜ϕ : periastro)

⎧
⎪⎨
⎪⎩
p ≡
J 2
R
GM T
e 2 ≡ 1 + 2pE R
GM T
→ Estados ligados (E R < 0 ⇒ 0 ≤ e < 1)
⎧
⎪⎨
⎪⎩
≥ 0 ,
a ≡ p
1 − e 2 = GM T
−2E R
b ≡
p
√ 1 − e 2 =
2 T
2π
= a3
GM T
13
E ≥ − R GM
T
2p
J R
−2ER
♣

• Movimiento respecto del centro de masas
M1x1 + M2x2 = 0 ⇒
⎧
⎪⎨
⎪⎩
dv1
⎧
⎪⎨
⎪⎩
x1 = M2
x
MT x2 = − M1
x
MT dt = −G M 3 2 /M 2
T
r2 1
dv2
dt = −G M 3 1 /M 2
T
r2 2
14
n1
n2
⇒
⎧
⎪⎨
⎪⎩
♣
r1 ≡ |x1| = M2
r
MT r2 ≡ |x2| = M1
r
MT

→ Movimiento de 1 , p. e.
⎧
⎧
⎪⎨
J1 = x1 ∧ v1 = M 2 2
M 2 T
⎪⎩ E1 = 1
⎪⎨
p1 ≡
⎪⎩
J R
2 v 2 1 − G M 3 2 /M 2
T
r1
J 2 1
G M 3 2 /M 2 T
e 2 1 ≡ 1 + 2p1E1
G M 3 2 /M 2 T
= M 2 2
M 2ER T
= M2
p ⇒ R MT p1
p2
= e 2 ≥ 0
E1 ≥ − G M 3 2 /M 2
T
2p1
= M 2 2
M 2 T
⇒ r1 =
= M2
M1
p1
e1 cos ϕ + 1
, p1 + p2 = p
− GM
T
2pR Los periastros están fijados por el mínimo de r, con lo cual ocurren al mismo
tiempo.
15
♣

→ Estados ligados (E1 < 0 ⇒ 0 ≤ e < 1)
⎧
⎪⎨
⎪⎩
a1 ≡ p1 M2
= a
1 − e2 R MT b1 ≡
p1
√ 1 − e 2
2 T1
2π
M2
= bR MT =
⇒ Mi = 4π2
G
a 3 1
GM 3 2 /M 2 T
♣ ⇒
⎧
⎪⎨
⎪⎩
a1
a2
b1
b2
= a3
R
GM T
= M2
M1
= M2
M1
=
2 T
2π
a1 + a2 = a
♣
a 2 aj
T 2 , i = j ♣ (demostrarlo)
b1 + b2 = b
fórmula que permite determinar las masas si se conoce el periodo y los ejes.
¿Cual es la posición relativa de las elipses?
16

→ Caso de un planeta y el Sol
M T = M⊙ + M P = M⊙
⎧
⎪⎨
⎪⎩
Júpiter : M P
M⊙
Tierra : M P
M⊙
17
10 −3
1 + M
P
M⊙
3, 3 × 10 −6