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Enrique Cantera del Río Introducción a la Mecánica Analítica 11
donde ρ representa la densidad de masa por unidad de volumen y S la
superficie transversal de la banda elástica. Sustituyendo estos valores :
y en el límite cuando n tiende a infinito:
n
2
2
1 ⎡ ⎛ ∂ξi
⎞ ⎛ ξi
−ξ
⎤
i−
1 ⎞ 1
L = ∑ ⎢ρ
⎜ ⎟ −Y
⎜ ⎟ ⎥SΔx
+ k ξn
i=
1 2 ⎢⎣
⎝ ∂t
⎠ ⎝ Δx
⎠ ⎥⎦
2
2
2
1 ⎡ ⎛ ∂ξ
⎞ ⎛ ∂ξ
⎞ ⎤
L = ∫ ⎢ρ
⎜ ⎟ −Y
⎜ ⎟ ⎥dv
2 ⎢⎣
⎝ ∂t
⎠ ⎝ ∂x
⎠ ⎥⎦
( ) 2
con lo que la condición de extremo de la integral de acción es
δ A
t 2
v
t1
0
1 ⎡ ⎛ ∂ξ
⎞
dv ⎢ρ⎜
⎟
2 ⎢⎣
⎝ ∂t
⎠
2
⎛
− Y⎜
⎝
2
∂ξ
⎞
⎟
∂ ⎠
= δ ∫dt∫ x
⎤
⎥ = 0
⎥⎦
La expresión del integrando recibe el nombre de Densidad Lagrangiana,
simbolizada por l , y para obtener las ecuaciones diferenciales de la función que
hace extrema la integral anterior debemos aplicar de nuevo el método de
variaciones. En este caso el problema es hallar el extremo de esta función
integral
t 2
v
∫dt∫ A = dxdydz l(
ξ,
∂ ξ,
∂ ξ )
t1
0
donde los símbolos ∂ t , ∂ x representan las derivadas parciales
correspondientes de la función a la que se aplican. La modificación de A
asociada a una variación virtual arbitraria δξ(x,y,z,t) será
δA
=
t 2
v
∫dt∫ t1
0
t 2
dxdydz
v
∫dt∫ t1
0
t
[ l(
ξ + δξ,
∂ ξ + ∂ δξ,
∂ ξ + ∂ δξ)
−l(
t,
ξ,
∂ ξ,
∂ ξ ) ]
t
t
⎡ ∂l
∂l
∂l
⎤
dxdydz ⎢ δξ + δ ( ∂tξ
) + δ ( ∂ xξ
) ⎥
⎣∂ξ
∂(
∂tξ
) ∂(
∂ xξ
) ⎦
Para factorizar todo el integrando con δξ integramos por partes los términos
que dependen de las derivadas de δξ. Análogamente al caso de una partícula
se puede conmutar δ en las derivadas ( ∂ ξ)
= ∂ δξ :
L
∫
0
t 2
∫
t1
∂l
⎡ ∂l
⎤
dx ∂ xδξ
= ⎢ δξ ⎥
∂(
∂ xξ
) ⎣∂(
∂ xξ
) ⎦
∂l
⎡ ∂l
⎤
dt ∂tδξ
= ⎢ δξ ⎥
∂(
∂tξ
) ⎣∂(
∂tξ
) ⎦
x
x
x
δ x x
L
0
t 2
t1
−
−
∫
L
∫
0
t 2
t1
⎛ ∂l
⎞
dx∂
⎜
⎟
x δξ
⎝ ∂(
∂ xξ
) ⎠
⎛ ∂l
⎞
dt ∂ ⎜
⎟
t δξ
⎝ ∂(
∂tξ
) ⎠
Con las condiciones habituales de anulación del desplazamiento virtual en los
extremos del dominio de integración, la variación de la integral queda
t
x
=