introducción a la mecánica analítica - fisica.ru

⎡
⎢
⎢
⎢
H = mc⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
Enrique Cantera del Río Introducción a la Mecánica Analítica 24
d
dt
∂L
∂L
= 0 → = mc
∂θ′
∂θ′
2
r θ′
= A
2
2 2GM
( r′
)
2
c ( 1−
) − − ( rθ
′ )
2
rc 2GM
1−
2
rc
Como el Lagrangiano no depende explícitamente del tiempo tenemos
2
( r′
)
2GM
1 − 2
rc
2
2 2GM
( r′
)
2
c ( 1 − ) − − ( r θ ′ )
2
rc 2GM
1 − 2
rc
H =
∂L
∂L
H = r′
+ θ ′ − L(
r,
r′
, θ ')
→
∂r′
∂θ
′
+
2 2
r ( θ ′ )
2
2 2GM
( r′
)
2
c ( 1−
) − − ( rθ
′ )
2
rc 2GM
1−
2
rc
3 2GM
mc ( 1 − ) 2
rc
2
2 2GM
( r′
)
2
c ( 1−
) − − ( rθ
′ )
2
rc 2GM
1−
2
rc
+
⎤
⎥
⎥
2
2 2GM
( r′
)
⎥
2
c ( 1 − ) − − ( rθ
′ ) ⎥
2
rc 2GM
1 −
⎥
2
rc ⎥
⎥
⎥
⎦
La constante A es corresponde al momento angular y la constante H
corresponde con la energía; valores que han de ser constantes en un sistema
aislado. Podemos hacer una aproximación al caso clásico con las condiciones
de velocidades mucho menores que la velocidad de la luz c y radio r muy
superior al radio de Scwartzschild 2GM/c 2 :
⎛
⎜
2
A = mr θ′
⎜
⎜
⎜
⎝
⎞
⎟ 2
2
1 ⎟ v
2 ⎛ v GM ⎞
( 1+
+ ...) ≈ mr θ′
1
...
2
2 2
2 2
⎜ + + +
2
⎟
GM ⎟ c
1
⎝ c rc
−
⎠
2 ⎟
rc ⎠
⎛ 2
H = mc ⎜
⎝
2
2GM
⎞ v
2 GMm 1 2
1−
⎟(
1+
+ ...) ≈ − + + ...
2 ⎟
mc
mv
2
rc ⎠ 2c
r 2