EXISTENCIA DE UNA FUNCIÓN NO LINEAL, CONTINUA Y ...

INTRODUCCIÓN
Los espacios de Hilbert son de vital importancia en el análisis
moderno, en este trabajo vamos a limitar nuestra atención al espacio de
2
1
Hilbert l (Stein & Shakarchi, 2005) y al espacio de Banach l
1 2
(Rynne & Youngson, 2008). Como l l , podemos aplicar a 1
l la
2
1
2 1 2
topología de l . Consideramos la función G F : l l l y
mostramos que G es una biyección continua no lineal; sin embargo F
es discontinua en todo punto de 1
l .
1. EJEMPLO EN EL CASO LINEAL
A continuación presentamos un ejemplo de una función lineal continua
y biyectiva cuya inversa es discontinua en todo punto.
Ejemplo: Sea
Como
y
2 2
f : l l la función definida por
n1
1 f xn xn
n 94 Hernández U., J. E. y Zeballos M., T.
n1
n n n n
f x y f x y
n1 n1 n1
1 xn yn
n nn .
n1
1 1
x y
n n
n n
n1 n1
f x f y
n n
f x f x
n1 n1
n1 n1
1 xn
n 1 xn
n
f x
n1
n1
nn1