EXISTENCIA DE UNA FUNCIÓN NO LINEAL, CONTINUA Y ...

2
2 2
2 2 .
100 Hernández U., J. E. y Zeballos M., T.
N N N N
G x G y G x G x G y G y
N N N N
G x G y G x G y
Por consiguiente, G es continua en x , para todo
2
x l .
1 2 2
Teorema 4: Sea F : l l l la función de Mazur (1929).
1
Entonces F es discontinua en x , para todo x l .
Demostración: Sea 1
un punto
1
y l
x x , x , l y 0 . Probemos que existe
1 2
x y
tal que 2
En efecto, sea n ℕ
con 1
n
y 1
F x Fy .
. Note que la función
gn: ℝ → ℝ
gn ( t )₌ -
lim g t g0 .
1
es continua en ℝ. Luego, nn t0
n
Por lo tanto, existe un 0
Como 1
1 2
tal que 1
x x , x , l , se tiene que
2 n
2
2
g t siempre que t .
i1
existe un Nℕ tal que xi , siempre que i N.
Definamos la sucesión y y , y ,
por
1 2
x
sgn i
xi
n , si N 1 i N n
yi
xi
, en los otros casos
x
i
;
lo que implica que