EXISTENCIA DE UNA FUNCIÓN NO LINEAL, CONTINUA Y ...

EXISTENCIA DE UNA FUNCIÓN NO LINEAL, CONTINUA Y
2
BIYECTIVA EN l CON INVERSA DISCONTINUA EN TODO
PUNTO
Jorge E. Hernández U. 1 , Temístocles Zeballos M. 2
1 Universidad de Panamá, Centro Regional Universitario de Veraguas, Departamento
de Matemática. email: edithleco@gmail.com
2 Universidad de Panamá, Centro Regional Universitario de Azuero, Departamento de
Matemática. email: temizeballos@gmail.com
RESUMEN
En el presente trabajo se utiliza la función de Mazur para probar la existencia de una
2
2
función no lineal biyectiva y continua de l sobre un subconjunto de l cuya
inversa es discontinua en todo punto. También se presenta un ejemplo, relativamente
sencillo, en el caso lineal.
PALABRAS CLAVES
Espacio de Hilbert 2
l , biyección continua con inversa discontinua.
ABSTRACT
In this paper the Mazur function is used to prove the existence of a nonlinear
2
2
bijective and continuous function from l on a subset of l whose inverse is
discontinuous at every point. Also a rather simple example is shown in the linear
case.
KEYWORDS
Hilbert space 2
l , continuous bijection with discontinuous inverse.
Tecnociencia, Vol. 15, N°1 93

INTRODUCCIÓN
Los espacios de Hilbert son de vital importancia en el análisis
moderno, en este trabajo vamos a limitar nuestra atención al espacio de
2
1
Hilbert l (Stein & Shakarchi, 2005) y al espacio de Banach l
1 2
(Rynne & Youngson, 2008). Como l l , podemos aplicar a 1
l la
2
1
2 1 2
topología de l . Consideramos la función G F : l l l y
mostramos que G es una biyección continua no lineal; sin embargo F
es discontinua en todo punto de 1
l .
1. EJEMPLO EN EL CASO LINEAL
A continuación presentamos un ejemplo de una función lineal continua
y biyectiva cuya inversa es discontinua en todo punto.
Ejemplo: Sea
Como
y
2 2
f : l l la función definida por
n1
1 f xn xn
n 94 Hernández U., J. E. y Zeballos M., T.
n1
n n n n
f x y f x y
n1 n1 n1
1 xn yn
n nn .
n1
1 1
x y
n n
n n
n1 n1
f x f y
n n
f x f x
n1 n1
n1 n1
1 xn
n 1 xn
n
f x
n1
n1
nn1

se tiene que f es una función lineal.
Note que
Notación: Para cada 2
2 1 2
f l xn: xnl: Y
n1
nn1 x x , x , l y Nℕ denotemos
N
1 2
1, 2,
, N ,0,0,
N
0, ,0, , ,
x x x x
N
Probemos que Y es denso en
definamos
x x x x x
n N1 N2
2
2
l . En efecto, sea x xn l n1
, , , ,0,0,
x x x x
1 2
z x ,2 x , , nx ,0,0, l
n n y
n
2
Como
1 2
n x Y para todo n ℕ.
Por otro lado,
Por lo tanto, la sucesión
decir, Y es denso en 2
l .
Para cada 2
1 2
n
2
n
x x x 0.
n x n1 y
Tecnociencia, Vol. 15, N°1 95
2
in1 x x , x , l se tiene que
, ,
n
f z x , se tiene que
2
i
n
converge a x en
2
l y
1
2
1 1
2
2 1 2 2
2 nn n1
f x x x x
1
2
2
n n1
x x
2
.
2
Y l ; es

Esto implica que f es un operador lineal acotado (Maccluer, 2009) y
f 1.
Así pues, f es continua en 2
l .
Es claro que
2
f : l Y
es biyectiva y su inversa está definida por
f : Y l
1
2
1, 2, 3,
1,2 2,3 3,
1
f y y y y y y
Consideremos la sucesión ortonormal , ,
e e de 2
l , entonces como
96 Hernández U., J. E. y Zeballos M., T.
1 2
0,0, ,0, ,0, 0,0, ,0,1,0,
f ne f n e
n n
nésima posición nésima
posición
se tiene que en Y para todo n ℕ.
Además
de donde
Por lo tanto,
2009). Esto implica que
1
y
1
f en nen
f e n
1 1 1
f sup f x sup f e
1
2
n
x n
2
.
1
f es un operador lineal no acotado (Amann & Escher,
Observación: Recordemos que
inducida por la norma .
2
1
f es discontinua en todo punto y Y .
1
l es denso en
n
2
2
l bajo la topología

2. EJEMPLO EN EL CASO NO LINEAL
1
2 1 2
Teorema 1: Sea G F : l l l . La inversa de la función de
2
Mazur (1929). Para todo x x, x , l y 0 existen Nℕ y
1 2
2
0 tal que si y y1, y2, l y xy , entonces:
2
1
i
i x y y 1,
para todo iN 1.
ii x
iii y
N
N
2
2
4
i
.
2
.
N N
2
iv G x G y
Demostración: Como 2
tal que
1 2
Tecnociencia, Vol. 15, N°1 97
2
2
2
.
x x , x , l , existe un número natural N
x para iN 1 y
i
1
2
x
N
2
.
1
Tomemos min ,
2
. Sea y y , y , l
xy , entonces
2
2 4
1 2
4
tal que
2 2
xi yi xi yi xi yi x y ; 2
i1
por lo tanto, para todo iN 1 se tiene que
Además,
yi yi xi xi
.
1
2
1 1 1
2 2 2 1
1 1
2
2
2 2
NN
x y xi yi xiyixy 2 4
2 iN 1 i1

de donde
y
N N N N
x y x y
2 2 2
NN y x .
4 4 4 2
2 2
Finalmente, como x 1, y 1 para iN 1,
se tiene que
i i
N N
2
2 iN1 iN1
2 2
G x G y
sgn xi xi sgn yi y i
Por lo tanto,
4 2 2 4
xi 2 sgn xi sgn yi xi yi yi
4 2 2 4
xi 2xi
yi yi
iN1
2 2 2
xi 2xi
yi
iN1
2
xi
2
2 xi
2
yi
i N 1 i N 1 i N 1
N N N
NN
2 2 2
x 2 x y
2 2 2
2 2
3x y
2 2
3 .
2
2
2
7
2
16 4 16 2
N N
2
G x G y .
1
2 1 2
Teorema 2: Sean G F : l l l la inversa de la función de
2
Mazur, x x , x , l , 0 y Nℕ. Entonces existe un 0
1 2
tal que si x y 2
, entonces
98 Hernández U., J. E. y Zeballos M., T.
2
2
N N
4
2
2
2
G x G y .
2
2

Demostración: Note que la función
ƒ: ℝ → ℝ
ƒ (t ) = sgn ( t ) t²
es continua en ℝ. Luego, para cada i 1,2, , N existe un i 0 tal
que:
Tomemos
Sea 2
2 2
sgn sgn
2 2
i i
i i . 2N
x t x x t t
.
y y y l
min 1, 2,
, N
1, 2,
tal que 2
para todo i 1,2, , N.
Por lo tanto,
N N
xy . Entonces xi yi
2
2 i1
2 2
sgn i i sgn i i
G x G y x x y y
N
2 2
2 2
Tecnociencia, Vol. 15, N°1 99
N
N
1
2 1 2
Teorema 3: Sea G F : l l l la inversa de la función de
Mazur. Entonces G es continua en 2
l .
Demostración: Sean 2
x x , x , l y 0 . Por el Teorema 1,
1 2
existe un número Nℕ y 1 0 tal que
2
2
NN2
y l x y 1
G x
G y 2
2
2
, .
Luego, por el Teorema 2, existe un 2 tal que
Sea min ,
2
2
NN2
y l x y 2
G x
G y 2
2
2
1 2
, .
. Luego, si
2
y l , x y ;
2
entonces
.
2

2
2 2
2 2 .
100 Hernández U., J. E. y Zeballos M., T.
N N N N
G x G y G x G x G y G y
N N N N
G x G y G x G y
Por consiguiente, G es continua en x , para todo
2
x l .
1 2 2
Teorema 4: Sea F : l l l la función de Mazur (1929).
1
Entonces F es discontinua en x , para todo x l .
Demostración: Sea 1
un punto
1
y l
x x , x , l y 0 . Probemos que existe
1 2
x y
tal que 2
En efecto, sea n ℕ
con 1
n
y 1
F x Fy .
. Note que la función
gn: ℝ → ℝ
gn ( t )₌ -
lim g t g0 .
1
es continua en ℝ. Luego, nn t0
n
Por lo tanto, existe un 0
Como 1
1 2
tal que 1
x x , x , l , se tiene que
2 n
2
2
g t siempre que t .
i1
existe un Nℕ tal que xi , siempre que i N.
Definamos la sucesión y y , y ,
por
1 2
x
sgn i
xi
n , si N 1 i N n
yi
xi
, en los otros casos
x
i
;
lo que implica que

1
Como x x, x , l y y y , y ,
1 2
sólo difieren en una
1 2
cantidad finita de términos, se tiene que
Note que
x y
sgnt
t n t 1
y l .
sgn sgn para todo tℝ. Por lo tanto,
sgn sgn para todo iℕ. Además,
de donde
i i
Finalmente,
2
2
Nn 2
2 sgn xi
1 1 2
2 2
2 n n n
iN1 x y n
xy . 2
sgn 1
1
2
1 ,sgn 2
1
2
2 , sgn 1 1
2
1 ,sgn 2
1
2
2 ,
1
2 sgn xi xi 1 2
2 sgn yi yi
F x F y x x x x y y y y
i1
Nn sgn
xi
xi x
i n
iN1 Nn iN1 Nn iN1 Nn iN1 Nn 1
1
xi xi
n
1 xi n xi
gnxi 1
2 n
iN1 1
4
4n
2
, ya que x
n
de donde, 1
F x Fy 2
2
2
.
2
2
i
De todo lo anterior se deduce que F es discontinua en x , para todo
1
x l .
Tecnociencia, Vol. 15, N°1 101
2
2
2

Como consecuencia de los resultados anteriores, se tiene el siguiente
corolario.
1
2 1 2
Corolario 1: Sea G F : l l l . Entonces G es una biyección
1 1
continua y G F es discontinua en todo punto x l .
REFERENCIAS
Amann, H. & J. Escher. 2009. Analysis III. First Edition. Birkhäuser
Verlag AG, Basel.
Maccluer, B.D. 2009. Elementary Functional Analysis. First Edition.
Springer-Verlag, New York.
Mazur, S. 1929. Une Remarque sur L’homèomorphie des Champs
Fonctionnels, Studia Math., 1, 83-85.
Rynne, B.P. & M.A. Youngson. 2008. Linear Functional Analysis.
Second Edition. Springer-Verlag, London.
Stein, E.M. & R. Shakarchi. 2005. Real Analysis. Measure Theory,
Integration, & Hilbert Spaces. First Edition. Princeton University
Press, New Jersey.
Recibido junio de 2012, aceptado abril de 2013.
102 Hernández U., J. E. y Zeballos M., T.