Sólidos platónicos y cuerpos estrellados en papel plegado - CIMM

Sólidos platónicos y cuerpos estrellados en papel plegado
María Isabel del Río Varela
Universidad Austral de Chile
Chile
midelriov@gmail.com
Rosa Eugenia Trumper Margulis
Universidad Austral de Chile
Chile
retrumper@gmail.com
Resumen
Este taller está diseñado para proporcionar a profesoras y profesores de matemáticas
una herramienta didáctica que pueden utilizar para la enseñanza de la geometría. La
papiroflexia puede ser un excelente medio para motivar al estudio de la geometría. Al
construir figuras y cuerpos geométricos con plegados se puede observar sus
propiedades y comprenderlas cabalmente, además de disfrutar en el proceso por la
belleza de las formas producidas y por la satisfacción de lograr un producto tangible
como resultado. El trabajo debe realizarse con un gran nivel de autoexigencia para
obtener resultados satisfactorios; se debe tratar de quebrar muy bien el papel en cada
pliegue y que las formas y medidas sean lo más exactas posibles. Esto desarrolla una
actitud de compromiso con la calidad del trabajo.
Se aprenderá a plegar tres tipos de módulos y con ellos se construirá los poliedros
regulares y algunos cuerpos cóncavos, llamados cuerpos estrellados.
Palabras clave: papiroflexia, geometría, formas, belleza, enseñanza, aprendizaje.
La geometría es una disciplina que se asocia históricamente al desarrollo del pensamiento
lógico abstracto y a la belleza. Se sabe que Platón hizo colocar en la puerta de la Academia un
letrero que decía “No entres aquí si no eres geómetra” pues creía que no se podía estudiar la
Filosofía sin el conocimiento previo de las matemáticas. Para Pitágoras “la esfera es el más
hermoso de los sólidos y el círculo la más bella de las figuras planas”.
En la práctica docente, al menos en Chile, es común ver que la geometría no se trabaja con
la seriedad e intensidad con que se trabajan la aritmética y el álgebra. En general la geometría se
deja para el final del curso, en un tiempo muy breve y se trata de forma abstracta y mecánica,
con poco interés de parte de docentes y estudiantes. Sin embargo en las pruebas de medición de
la calidad de la educación (SIMCE) y las de ingreso a la universidad (PSU) al menos un 30% de
las preguntas son de geometría.
Una situación similar, de relegación de la geometría, se ha dado también en otros países,
por ejemplo España, donde se observa un movimiento de reivindicación de la geometría en los
currículos oficiales

Sólidos platónicos y cuerpos estrellados en papel plegado
Muchas personas declaran ser incapaces de aprender matemáticas y de entenderlas. Es muy
probable que este hecho, muy generalizado por cierto, se deba a que la enseñanza se hace sin
respetar los estadios del desarrollo cognitivo de niñas y niños que plantea Piaget; se enseña en
forma abstracta cuando la persona está aún en el Estadio de las Operaciones Concretas y no
puede entender lo que le plantean. Pierre y Dina Van Hiele proponen para el aprendizaje de la
geometría cinco Niveles de Pensamiento, los que parten de la experimentación. Esto avala la
necesidad de que la o el docente plantee actividades de aprendizaje de la geometría con
materiales manipulables para lograr, a partir de ella, la abstracción de los conceptos matemáticos
que se quiere enseñar.
Entendiendo que la geometría es un buen medio para desarrollar en las y los estudiantes la
capacidad de pensamiento lógico y la apreciación de la belleza de las formas, se propone este
taller para mostrar a profesoras y profesores de matemática una manera de trabajar la geometría
con sus estudiantes de modo que puedan construir sus conceptos desde la manipulación de
objetos concretos, por medio de un trabajo que les permitirá observar regularidades, elaborar
hipótesis y ponerlas a prueba, generalizar, deducir y otros procesos de pensamiento utilizados en
la creación de conocimiento matemático. Este trabajo ayudará a las y los estudiantes a disfrutar
de su aprendizaje de matemáticas y superar los temores al ser un trabajo que produce objetos
hermosos que los harán sentirse satisfechos y felices al lograr completarlos. Además en el
camino desarrollarán una actitud de compromiso con la calidad en el proceso de trabajo que es
connatural al trabajo en plegado de papel.
Sólidos platónicos
XIII CIAEM-IACME, Recife, Brasil, 2011
Taller
Se llama sólidos platónicos a los poliedros regulares, por ser Platón quien primero los
estudió. Se demostró en ese tiempo que no existen más que cinco.
Un poliedro regular es un cuerpo convexo, cuyas caras son polígonos regulares
congruentes, ángulos diedros congruentes y tales que a cada vértice converge el mismo número
de aristas.
Los cinco poliedros regulares son:
• El tetraedro regular que es una pirámide de base triangular. Tiene cuatro caras que son
triángulos equiláteros.
• El hexaedro regular o cubo, que es un paralelepípedo recto de base cuadrada. Sus caras son
seis cuadrados.
• El octaedro regular cuyas caras son ocho triángulos equiláteros.
• El dodecaedro regular formado por doce caras que son pentágonos regulares.
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• El icosaedro regular, cuyas caras son veinte triángulos equiláteros.
Figura 1. Cuerpos platónicos que se construirán. Tetraedro (blanco), hexaedro (rojo), octaedro
(azul, rojo y verde), dodecaedro (verde, azul y blanco) e icosaedro (verde, rojo y blanco).
Las y los docentes pueden proponer a sus estudiantes una investigación sobre los cuerpos
platónicos, sus interesantes propiedades y su relación con la historia, en forma paralela a su
construcción en papiroflexia.
También se puede demostrar que no es posible la existencia de más poliedros regulares que
los cinco mencionados, mediante una investigación que se desarrolla con polígonos regulares de
cartón (triángulos equiláteros, cuadrados, pentágonos regulares y hexágonos regulares),
comprobando empíricamente que no se puede formar más que tres cuerpos regulares con
triángulos, uno con cuadrados, uno con pentágonos regulares y ninguno más.
Hexaedro regular o cubo
Haremos en primer lugar el cubo, por ser el más simple de formar con plegado. Para construirlo
necesitamos aprender a plegar el módulo Sonobe, que es la pieza básica para formar una gran
diversidad de cuerpos. Su nombre se debe a su creador, Mitsonobu Sonobè. Se parte de una hoja
cuadrada de papel; después de varios plegados se obtiene una pieza con forma de paralelógramo
con dos pliegues que lo dividen en dos triángulos rectángulos isósceles y un cuadrado, o tres
pliegues que lo dividen en cuatro triángulos rectángulos isósceles.
Existen múltiples variaciones del módulo Sonobe que se pueden encontrar en Internet: diversas
maneras de hacer los plegados producen módulos de la misma forma pero con distinta
apariencia. Se ven partes del reverso del papel o se ven otras figuras en lugar de triángulos
rectángulos isósceles, lo que da una apariencia distinta a los cuerpos que se formen con ellos.
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Figura 2. Algunas variaciones del módulo Sonobe.
Tetraedro regular, octaedro regular e icosaedro regular
Para hacer el tetraedro, el octaedro y el icosaedro regulares se necesitan módulos en forma
de paralelogramos que estén formados por triángulos equiláteros, no por triángulos isósceles
como el anterior.
Hay varias maneras de plegar estos módulos. Una se hace partiendo de un papel cuadrado,
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otra de un rectángulo A4, otra de un rectángulo de ancho 3 y largo 3 que se construye
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mediante plegados. Usaremos el que parte de un rectángulo A4 por ser el más fácil de plegar.
El tetraedro regular se arma con dos módulos. Deben ser módulos plegados en espejo, uno
en cada sentido.
Figura 3. Variaciones del módulo formado por triángulos equiláteros.
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El octaedro regular se arma con cuatro módulos, todos en el mismo sentido. Se unen los
cuatro en pirámide y las puntas sobrantes se cierran en otra pirámide.
El icosaedro regular se arma con diez módulos, cinco en un sentido y cinco en el otro
sentido. Se unen los cinco en el mismo sentido formando una pirámide y los otros cinco
formando otra pirámide. Luego se unen las dos partes por medio de las puntas sobrantes.
Dodecaedro regular
El dodecaedro regular se construye con módulos que producen forma de pentágono
regular. También hay varias formas de plegarlos. Usaremos el módulo que se hace a partir de un
cuadrado. Se necesitan doce módulos para hacer el dodecaedro. Se unen formando ángulos
triedros.
Cuerpos estrellados.
Con el módulo Sonobe se pueden formar además cuerpos estrellados de diversas formas.
Éstos consisten en un cuerpo invisible sobre cuyas caras (triángulos equiláteros) hay pirámides
de base triangular.
Octaedro estrellado
Se puede hacer, por ejemplo, un octaedro estrellado con doce módulos Sonobe. Para
hacerlo se entrelazan tres módulos formando una pirámide. Luego se agregan dos módulos más
en una de las puntas libres, formando otra pirámide pegada a la anterior. Así se forman cuatro
pirámides adyacentes. Luego se invierte el conjunto y se agregan módulos para cerrar el cuerpo,
cuidando siempre que haya cuatro pirámides adyacentes, no más ni menos.
Icosaedro estrellado
Para hacer el icosaedro estrellado se necesitan treinta módulos. Se construye como el
octaedro estrellado pero se forman cinco pirámides adyacentes en lugar de cuatro.
Cuerpos estrellados con puntas más agudas
Con el módulo formado por triángulos equiláteros se consiguen cuerpos estrellados con sus
puntas más agudas.
XIII CIAEM-IACME, Recife, Brasil, 2011
Bibliografía
Calvo, Xelo et al (2002). La geometría: de las ideas del espacio al espacio de las ideas en el
aula. Caracas: Editorial Laboratorio Educativo.
Franco, Betsy (1999). Unfolding Mathematics with Unit Origami. U. S. A.: Ed. Key Curriculum
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Palacios, Vicente (1999). Papiroflexia Básica. Barcelona: Editorial Miguel A. Salvatella.
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Sitios web:
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http://www.uv.es/mabegaga/
Matemáticas. Triangular Faced Origami Poliedra recuperado en
https://www.math.lsu.edu/~verrill/origami/tetraunit/#recta
Matemáticas. Polígonos modulares de papiroflexia recuperado en
http://www.jpimentel.com/ciencias_experimentales/pagwebciencias/pagweb/la_ciencia
_a_tu_alcance/Experiencias_matematicas_poligonos.htm
Matemáticas. Pentagon unit https://www.math.lsu.edu/~verrill/origami/pentagon/
Matemáticas. Papiroflexia, arte doblando papel recuperado en
http://ccoblog.wordpress.com/category/papiroflexia-modular/Sonobe/
Matemáticas. Construcción del módulo Sonobe recuperado en
http://www.grupoalquerque.es/ferias/2010/archivos/pdf/Sonobe_plano.pdf
Matemáticas Poliedros y origami modular: Fabio Dávila recuperado en
http://www.cimat.mx/Eventos/TJCsecundaria2008/02_Poliedros_y_origami.pdf
Papiroflexia: Sergio Fumero http://sergiofumero.mforos.com/1611494/8101295-papiroflexia/
Covadonga Blanco García, Fernando Lazo Pérez, María Teresa Otero Suárez e José Ignacio
Royo Prieto Geometría con papel: Poliedros. Recuperado en
http://divulgamat.ehu.es/weborriak/TestuakOnLine/Andaina/Ficheros/Anda2005-2.pdf
XIII CIAEM-IACME, Recife, Brasil, 2011
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