Una clase de geometría desde el enfoque japonés - CIMM

Una clase de geometría desde el enfoque japonés
Rossana Avelino Casquero
I.E.Pq. “San Antonio de Padua”
Perú
rossavelino_c@hotmail.com
Resumen
Myrian Ricaldi Echevarria
I.E.SS.CC.Recoleta
Perú
myrianluz@hotmail.com
El objetivo del presente reporte es proporcionar información y analizar
el proceso de las actividades matemáticas desarrolladas durante una clase de
geometría con estudiantes del segundo año de secundaria en Japón. Además
se describen algunos aspectos relativos a un texto oficial y a la relación que
este guarda con el desarrollo de la clase.
De lo observado, notamos marcada predominancia en actividades
que estimulan el pensar y razonar como capacidades fundamentales que se
buscan desarrollar en los estudiantes. El énfasis está en la comprensión de
las ideas matemáticas fundamentales a partir de las cuáles construyen y
relacionan contenidos para lograr generalizaciones y demostración de
propiedades.
Las prácticas pedagógicas de enseñanza aprendizaje están basadas en
la comunicación a través de la explicación y justificación de los argumentos.
De la revisión del texto, observamos que la justificación de resultados está
presente. Las situaciones planteadas son desafiantes aun cuando se
plantean una mínima cantidad de problemas, estos hacen énfasis en la
aplicación y relación de las propiedades aprendidas.
Palabras claves: geometría, actividad matemática, comunicación matemática,
estimulación del pensamiento y razonamiento, relación de propiedades,
comprensión de ideas.
1. Introducción.
Sobre la base de nuestra experiencia en el programa de entrenamiento para
profesores que ofrece el Ministerio de Educación, Cultura, Deportes, Ciencia y
Tecnología del Japón (MEXT), presentamos los resultados de nuestra experiencia de
observación a través de la descripción y análisis de una clase de matemática en el área
de geometría: suma de ángulos internos de un polígono, para estudiantes del segundo
año de la escuela secundaria de menores.
Nuestra presentación describe y analiza una clase a través de la observación de un
video; además realiza una breve revisión del texto oficial utilizado en clase, el cual
muestran cómo se presentan los contenidos y su articulación con el desarrollo de la
clase. Finalmente, mostramos algunas conclusiones relativas a lo observado en el video
y al rol que cumplen los textos de consulta en el desarrollo de las clases.
2. Descripción de la experiencia.
1

Grupo de observación:
Se consideró como población a un aula mixta con 35 estudiantes de entre 12 y 13
años del segundo año de educación secundaria media del colegio anexo a la Universidad
de Educación de Joetsu, en la prefectura de Niigata al norte de Japón. El colegio
contaba con 359 estudiantes distribuidos en 9 aulas, de los cuales 3 aulas pertenecían al
segundo año con 121 alumnos en total.
Metodología:
Observación y descripción de una clase de geometría a través de un vídeo.
Revisión y análisis didáctico de un texto oficial de Matemática para el segundo
año de secundaria de menores.
Análisis de la clase considerando algunos elementos de la teoría APOS. Análisis
del texto según Gómez, Rico y Lupiáñez.
Descripción del video de observación de clase.
Tabla 1
Descripción del video de observación de una clase de geometría.
Docente Alumno Evolución del pensamiento a
través de gráficos y/o tablas
El profesor recuerda a Los alumnos no
los alumnos que la
suma de los ángulos
responden lo solicitado. El profesor dibuja en la pizarra:
internos de un
B
triángulo es 180°, y
plantea la pregunta
¿Cómo se demuestra
esto?
A C
Indica que deben
trazar rectas paralelas
( 平行), y aplicar
propiedades de los
ángulos alternos
( 差 っ 核 ) y
correspondientes
(同位角)。Pide a
los alumnos que
pueden demostrarlo
que levanten la mano.
Como son pocos, el
profesor hace el
gráfico:
El profesor escribe en
la pizarra que la suma
de los ángulos internos
de un triángulo es
180°.
Pocos alumnos levantan
la mano en relación a la
demostración de que la
suma de ángulos
internos de un triángulo
es 180°.
Un alumno aplica
ángulos alternos para
demostrar que la suma
de los 3 ángulos es
180°. El alumno se
asegura que sus
compañeros entendieron
su explicación.
Un alumno completa:
B
a c
b
a c
a
A C
Tiempo
4
minutos
2

Docente Alumno Evolución del pensamiento a través de
gráficos y/o tablas
Un alumno lo demuestra dibujando un
El profesor plantea la pregunta ¿Cuánto es la suma Algunos alumnos inmediatamente contestan 360°. cuadrado, trazando una de sus diagonales y
de los ángulos internos de un cuadrado?
formando dos triángulos.
Ante la respuesta de algunos alumnos, el profesor
repregunta ¿Por qué?
El profesor pregunta ¿Cuánto sumarán los ángulos
internos de un hexágono?( 六角形)
Les pide dialoguen con sus compañeros una posible
explicación para hallar lo pedido.
El profesor pasa por los lugares, observando y
escuchando lo dialogado por los alumnos, no da
sugerencias, sólo les pregunta si tienen una
explicación.
El profesor luego completa:
180 x 4 = 720, luego concluye que la suma de los
ángulos internos de un hexágono es 720°.
Luego de la explicación el profesor frecuentemente
pregunta si el resto de la clase ha entendido.
Luego el profesor les plantea y escribe en la
pizarra:
La suma de los ángulos internos de un polígono de
50 lados es ……………………….
Un alumno hace el gráfico adjunto.
El alumno pregunta al resto de sus compañeros si
han entendido, los alumnos levantaron la mano en
señal de confirmación.
Los alumnos conversan entre pares buscando
explicaciones y/o justificaciones a lo planteado.
Un estudiante presenta su solución.
Los alumnos están intercambiando ideas sobre un
posible camino para hallar lo pedido.
Algunos observan la pizarra, en donde quedó lo
desarrollado para el caso del cuadrado y del
hexágono.
Un alumno da una respuesta, donde por
comparación con lo desarrollado anteriormente
2
1
Ha formado dos triángulos y según lo hallado
anteriormente la suma de los ángulos internos
de cada uno es 180. Luego como son dos
triángulos tendríamos 360°
Un alumno da la siguiente solución:
1 2
3
4
A partir de un vértice del hexágono forma 4
triángulos, como anteriormente fue demostrado
que la suma de los ángulos internos de un
triangulo es 180 y ahora tiene 4 triángulos, el
resultado es la suma de los ángulos internos de
4 triángulos.
Tiempo
4
minutos
6
minutos
7
minutos
3

Luego el profesor presenta en la pizarra la
expresión :
180(50 – 2)
180x 50 – 360, (como equivalente a la primera)
Luego pide que le expliquen ¿Porqué se resta 2 en
la primera expresión?
Les indica que dialoguen con sus pares sobre las
explicaciones y justificaciones de lo pedido
El profesor dibuja en la pizarra la tabla:
Completándola de abajo hacia arriba. Al completar
el número de diagonales que se pueden trazar desde
un vértice hace notar que:
180x # triángulos que se forman da como resultado
la suma de los ángulos internos del polígono.
Además al completar el número de ángulos, pone
en evidencia la relación entre el número de
ángulos de cada polígono y el número de triángulos
que se forman, indicando que su diferencia
numérica es 2.
Luego que el profesor completa la tabla con el
número de diagonales que se pueden trazar desde
cada vértice, debemos señalar que en todo
momento el profesor pregunta a los alumnos, por
los números que corresponden en cada una de las
celdas. Seguidamente, plantea la pregunta:
¿Por qué desde un vértice de un hexágono se
pueden trazar sólo 3 diagonales?
resta dos al número de lados y lo multiplica por
180; pero no sabe por qué se resta dos al número
de lados.
Un alumno sale y explica cómo se formaron los
triángulos pero no justifica la expresión dada de
manera concreta.
Otro estudiante sale y explica la imposibilidad de
trazar diagonales hacia los vértices contiguos
porque son los lados del polígono; pero el
profesor le dice que falta algo en su justificación.
Los alumnos siguen la explicación del profesor,
ayudándole a completar de la tabla.
Los alumnos no dan respuesta.
El profesor escribe en la pizarra:
# ángulos
#
diagonale
s trazadas
de cada
vértice
#
triángulos
formados.
Suma de
ángulos
internos.
triángu
lo
cuadrado pentágono Hexágono
1 2 3 4
180° 360° 540° 720°
triángu
lo
cuadrado pentágono hexágo
no
# ángulos 3 4 5 6
#
diagonale
s trazadas
de cada
vértice
#
triángulos
formados
Suma de
ángulos
internos.
0 1 2 3
1 2 3 4
180° 360° 540° 720°
6
minutos
8
minutos.
4

El profesor hace el dibujo en la pizarra y les indica:
Tomando el vértice señalado no se puede trazar una
diagonal hacia el mismo punto, tampoco hacia los
vértices del lado, porque coincidirían con los lados
del triángulo.
Luego marca que son sólo tres diagonales.
A continuación, les pregunta ¿cuántos triángulos se
forman?
El profesor enfatiza que el número de triángulos es
una unidad más que el número de diagonales que se
forman, y que éste es tres unidades menos que el
número de lados.
Concluye y encierra en un rectángulo que la suma
de los ángulos internos de un polígono de n lados
es 180( n- 2).
Luego el profesor completa la tabla con una
columna donde el número de lados es “n”.
Luego el profesor pregunta, ¿cuál sería la
justificación gráfica para la expresión :
180n – 360?
El profesor abre su libro y les pide hallar la suma
de los ángulos interiores de un decágono, aplicando
Los alumnos responden que se forman 4
triángulos.
Un alumno explica con un dibujo su justificación.
Al final, pregunta al resto de la clase si le han
entendido.
El profesor dibuja:
El profesor completa:
#
ángul
os
#
diago
nales
#
triáng
ulos
forma
dos
Suma
de
ángul
os
intern
os.
trián
gulo
cuadra
do
pentá
gono
Un alumno da la solución:
hexágo
no
3 4 5 6 n
0 1 2 3 n-3
1 2 3 4 n-2
180
°
360° 540
°
“n” lados
720° 180(n-2)
4
minutos.
3
minutos
5

la expresión anteriormente deducida. Luego plantea
otro problema donde les pide hallar el valor del
ángulo interior del decágono, pero plantea la
solución de la siguiente manera:
Halla la suma de los ángulos interiores y exteriores
en cada vértice, esta lo multiplica por 10 y luego
resto el ángulo central 360°:
180(10) – 360 = 1440 representa la suma de los
ángulos interiores.
Luego lo divide entre10, 1440: 10 = 144°
Finalmente pregunta, ¿cuánto será la suma de los
ángulos externos de un triángulo?
Plantea el dibujo y va recordando los conceptos de
ángulos opuestos.
El profesor pregunta si tienen alguna duda y luego
termina su clase.
Un alumno sale a la pizarra y presenta su
solución.
Como son 5 triángulos y en cada uno la suma
de los ángulos internos es 180° sumando los
ángulos tendríamos: 180x 5 = 900° , los
vértices del pentágono no consideran el ángulo
central formado por lo tanto hay que restarlo
900°- 360° = 540°
Un alumno presenta y expone :
b
a
m
n p c
como:
< a + < m = 180 °, < b + < n = 180 °, < c + < p
= 180 °. Luego la suma de todo sería 180x 3 =
540°, pero, como sólo queremos hallar los
ángulos exteriores le restamos la suma de los
ángulos internos, es decir 180° demostrado
anteriormente.
Luego el alumno escribió: 180° x 3 – 180° =
360°
8
minutos
6

Análisis del video observado:
Teniendo en cuenta el marco teórico APOS de Asiala, presentamos el análisis de
los siguientes elementos metodológicos:
a) El análisis teórico inicial:
Según Asiala et al. (1996) ¿Qué significa aprender matemática?
“El conocimiento matemático de un individuo es su tendencia a responder,
ante la percepción de situaciones de matemática, mediante la reflexión sobre
los problemas y sus soluciones en un contexto social y por medio de la
construcción y reconstrucción de acciones matemáticas, procesos y objetos; y
su organización en esquemas, para usarlos al tratar con esas situaciones”.
A partir de esta definición, planteamos las siguientes preguntas:
¿Existe según la clase observada, comprensión el concepto matemático “Suma
de ángulos internos de un polígono?
Según lo observado si existe comprensión del tema, evidenciándose en los
procesos de interacción entre estudiantes y profesor que permiten intuir un
resultado a partir de la relación de conceptos básicos sólo dentro del ámbito
matemático. En estos procesos se introduce variaciones que permiten hallar la
suma de ángulos internos del polígono en diferentes situaciones.
¿Cómo fue construida por el estudiante la comprensión del concepto matemático
durante la clase?
Fue construida a través de la transformación del concepto fundamental
“suma de los ángulos internos de un triángulo es 180°” a un concepto más general
“suma de los ángulos internos de un polígono”.
La construcción repetitiva de los triángulos en los polígonos (cuadrado, pentágono,
hexágono) hace reflexionar a los alumnos sobre su importancia y su posibilidad de
generalización el cual hace posible invertir procesos sin la necesidad de prácticas
previas, esto se interioriza durante el proceso. En otras palabras se ha logrado que
a través de la reflexión, el proceso se transforme en objeto.
Sobre la base del objeto” cálculo de la suma de los ángulos internos de un
polígono”, se deduce a través de la interrelación de procesos una expresión para
la suma de los ángulos externos de un polígono, articulando con el tema de la
siguiente clase.
b) El diseño del tratamiento instruccional.
Las actividades observadas en la clase enfatizan la resolución de problemas,
así como los procesos de formulación, comunicación y validación de los
conocimientos matemáticos desarrollados en el aula.
En relación a las interacciones, el profesor formula preguntas generales rara
vez da algún tipo de orientación adicional. Cuando un estudiante explica su
solución en la pizarra y esta es incorrecta no acepta ni rechaza la idea, en este caso,
el profesor formula preguntas más específicas orientadas a que el estudiante se dé
cuenta de su error; esto permite dar mayor tiempo a la reflexión y que esta sea
más elaborada.
Sobre las tareas que se formulan en el libro, estas son reducidas
presentándose algunas aplicaciones casi directas de lo aprendido y otras, las más
interesantes, actividades desafiantes que requieren interrelacionar lo aprendido y
propone además la demostración de alguna propiedad.
7

Análisis del texto:
Para el análisis de los textos consideramos el modelo de análisis didáctico propuesto por Gómez (2007), Lupiáñez (2009) y Rico y Lupiáñez
(2008), el cual se centra en tres procedimientos estructurales mostrados en la siguiente tabla.
Tabla 2
Análisis de textos según el modelo de Gómez (2007), Lupiáñez (2009) y Rico y Lupiáñez (2008).
Criterios Libro Ejemplos de algunos gráficos presentados
Análisis del
contenido
Nociones básicas
que considera.
Relación estrecha
entre el concepto y
el procedimiento
Articulación con
otros contenidos.
Sistemas de
representación
empleados.
Se analiza y demuestra a través de diagramas la suma de los
ángulos internos de un triángulo basándose en las propiedades de
rectas paralelas cortadas por una secante.
Se va deduciendo a través del gráfico y un cuadro la relación
existente entre número de lados, número de triángulos trazados en
el polígono y la suma de ángulos internos de un triángulo para
conocer la suma de ángulos internos de un polígono de n lados.
Se relaciona con el tema de rectas paralelas cortadas por una
secante.
La representación es gráfica, numérica y verbal con cierta
predominancia en la explicación verbal.
A
α
α
β γ β
B C Q
1
Estos gráficos están acompañados por la tabla que
es propuesta en clase.
2
3
P
n-2
8

Análisis
cognitivo
Problemas
propuestos.
Se explicitan las
expectativas de
aprendizaje.
Competencias
matemáticas
Tipo de tareas
Los problemas, cuya complejidad es de menos a más, se plantean
para ser resueltos en ambas direcciones.
Además, se proponen situaciones cuya solución se obtiene de la
relación de propiedades previamente deducidas.
Si, de manera sucinta se menciona lo siguiente:
“Investiguemos la naturaleza de los ángulos interiores del triángulo
y del polígono”.
Los verbos de acción que se mencionan en el texto son:
Investigar 調べる
Pensar、razonar .考える
Explicar 説明する
Clasificar 分類
De manera implícita notamos la existencia de las siguientes
capacidades:
Representa, modela, plantea y resuelve.
En el desarrollo del tema hay una predominancia de pensar y
razonar que es respaldado por el argumento y justificación dado en
los procedimientos ejecutados por el texto.
Se proponen tareas de aplicación con cierta complejidad que
inducen a utilizar la conexión de conceptos cuya solución reflejan el
logro del aprendizaje esperado. Por otro lado, se plantean
problemas en poca cantidad pero que tiene una aplicación precisa
de las propiedades estudiadas.
Hallar la medida
del ángulo x.
50
35
°
°
Posibles formas de solución:
1. 2.
x
60°
9

Análisis de
instrucción
Función que
desempeñan las
tareas.
Tareas de
evaluación.
Relación entre las
tareas de
evaluación y el
contenido
Son tareas de aplicación que sintetiza lo aprendido. Además se
propone un ejercicio de elaboración y construcción de significados
que probablemente serán utilizados en una próxima lección y cuya
relación es estrecha con el tema aprendido.
No existen explícitamente.
En los ejercicios de práctica que el texto propone existe una
estrecha relación entre el contenido y las expectativas de
aprendizaje. Estos problemas no son asignados como tareas o
instrumentos de evaluación de forma explícita; además, se incluyen
situaciones desafiantes que implican contenidos que serán
desarrollados en la siguiente clase.
Luego de la explicación de la situación se plantea
la siguiente pregunta:
¿Cuál es la relación existente entre los ángulos
externos y el ángulo central?
e
d c
f
b
a
O
a
b
10

3. Conclusiones.
En cuanto su metodología.
Enfatiza las actividades de resolución de problemas, así como los procesos
de formulación, comunicación y validación de los conocimientos
matemáticos.
A partir de situaciones problemáticas buscan la comprensión de las ideas
matemáticas fundamentales, construyendo y relacionando propiedades para
lograr generalizaciones y demostraciones (inducción).
Predominancia en actividades que estimulan el pensar y razonar.
Las prácticas pedagógicas de enseñanza aprendizaje están basadas en la
comunicación a través de la explicación y justificación de los argumentos,
Lo cual permite conocer la forma de pensamiento en los estudiantes.
En cuanto a las actividades desarrolladas por los estudiantes, consideran
inicialmente el trabajo individual, para luego pasar a una segunda etapa de
trabajo entre pares, buscando que las conclusiones sean inferidas por los
propios alumnos.
En la presentación y desarrollo de los problemas, además de emplearse el
lenguaje matemático, existe un marcado uso del lenguaje verbal (de forma
escrita) existiendo así una explicación minuciosa de lo trabajado.
En sus textos:
Las situaciones planteadas son desafiantes pues estimulan el pensar y
razonar.
Aunque se plantea una mínima cantidad de problemas estos hacen énfasis
en la aplicación y relación de las propiedades aprendidas.
En las situaciones desarrolladas se muestran justificaciones de los resultados,
además lo presentado son los conocimientos básicos del tema.
Sus conclusiones y propiedades se comunican usando el lenguaje textual y
matemático.
Las actividades desarrolladas y las relaciones matemáticas logradas sólo se
aplican en el ámbito netamente matemático.
Luego de la observación del video y la revisión del texto nos planteamos la
pregunta: ¿Qué conocimientos y actividades matemáticas son realmente
productivas para el desarrollo de habilidades matemáticas?
4. Referencias bibliográficas.
Asiala, M, Brown, A., DeVries, D.J., Dubinsky, E., Mathews, D. & Thomas, K.
(1996). A framework for research and curriculum development in
undergraduate mathematics education, en Research in Collegiate Mathematics
Education 2, 1-32.
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Grabación de video de clase del profesor Takizawa del colegio anexo a Joetsu
University of Education. (1987). Suma de los ángulos internos de un polígono.
[Video]. Joetsu, Japón: Colegio anexo a Joetsu University of Education.
Lupiáñez, J. L. (2009). El análisis didáctico como herramienta para el análisis de
textos de matemática. Extraído el 4 de Enero del 2011 desde
http://funes.uniandes.edu.co/801/1/100914JLL_ADyTextos.pdf
Satoru, N; Takashi, T (2006). Matemática 2. MINEX.
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