Estudio de técnicas de búsqueda por vecindad a muy gran escala

En determinadas instancias de problemas, dos soluciones factibles cualesquiera tienen la misma
cardinalidad, como ocurre en el problema del viajante de comercio (TSP: Travelling Salesman Problem),
donde cada solución factible S representa un recorrido en un grafo completo por un número n de
ciudades, por lo que tiene un número n de arcos (véase [48] para más detalles sobre el TSP). Como regla
general, afirmamos que se puede obtener T mediante un intercambio simple de S cuando |S - T| = |T - S|
= 1; y que se puede obtener mediante un k-intercambio cuando |T - S| = |S - T| = k. Definimos la
vecindad de k- intercambios de S como {T : |S - T| = |T - S| ≤ k}. Si dos soluciones factibles
cualesquiera tienen la misma cardinalidad, la vecindad de k-intercambios de S será igual a N2k(S). Un
ejemplo típico de vecindad de k-intercambios aplicada al problema del viajante de comercio es la
vecindad de doble intercambio, también conocida como vecindad 2-opt. En el grafo correspondiente a
ella, cada uno de los nodos representa un recorrido, y dos recorridos serán vecinos cuando se pueda
obtener uno a partir del otro mediante un intercambio doble. Aplicando un método de búsqueda
exhaustiva (o con algunos atajos), la siguiente solución básica será una solución de mejora.
De Nm(S) = F, se desprende que realizar búsquedas en la vecindad de distancia k puede resultar más
complicada a medida que el valor de k aumente. Por lo general, ocurre que esta vecindad crece
exponencialmente cuando k no es un valor fijo, y que hallar la mejor solución (o incluso una
solución mejorada) es NP-difícil cuando el problema original es también NP-difícil.
3. Métodos de profundidad variable
Para k = 1 ó 2, se pueden realizar búsquedas eficaces en las vecindades de k-intercambios (o, de
modo similar, las de distancia k), aunque la media de los óptimos locales que se obtienen suele resultar
insuficiente. En cambio, para valores más altos de k, las vecindades de k-intercambios producen mejores
óptimos locales, pero el esfuerzo necesario para realizar la búsqueda puede ser excesivo. Los métodos de
profundidad variable son técnicas que permiten realizar búsquedas parciales en las vecindades de k-
intercambios. El objetivo de esta búsqueda parcial consiste en hallar soluciones que sean vecinas en el
valor de la función objetivo a los óptimos globales, y que a la vez sean capaces de reducir drásticamente
el tiempo de búsqueda en la vecindad, si bien no suelen garantizar óptimos locales. En los algoritmos de
búsqueda por vecindad a muy gran escala, entran en juego varios tipos de algoritmos para realizar
búsquedas parciales en la vecindad de k-intercambios. En este apartado analizaremos el algoritmo de Lin
y Kernighan [50] para el TSP, así como otras heurísticas de profundidad variable aplicadas a búsquedas
en vecindades de k-intercambio en distintos problemas de optimización combinatoria. El apartado
siguiente está dedicado a la descripción de otros enfoques que, en tiempo polinómico, permiten realizar
búsquedas de modo implícito en un subconjunto de tamaño exponencial de la vecindad de k-intercambio
cuando k no es un valor fijo.
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