Geometr´ıa Anal´ıtica I 1 Propiedades de vectores

Geometría Analítica I
Lectura 1
Ayudante: Guilmer González Día 7 de febrero, 2008
El día de hoy veremos:
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1 Propiedades de vectores
1 Propiedades de vectores
Dados dos puntos P y Q, observamos el segmento de recta contenido entre
ellos
y les asignamos una asignamos una dirección. Esto seá fundamenta para
trabajar con vectores. Observamos que
1. PQ ⃗ ≠ QP ⃗ .
2. PQ ⃗ = −QP ⃗ .
3. Denotaremos a la longitud del segmento como ‖ PQ‖ ⃗ o simplemente
| PQ|. ⃗
Para fines prácticos, consideraremos el espacio de vectores, en la línea,
en el plano o en el espacio como una coleeción:
{ }
V = ⃗V = PQ ⃗ | P, Q ∈ R k ; k =1, 2, 3 .
Observación 1 Se tienen dos vectores ⃗ PQ y ⃗ RS, diremos que ⃗ RS = ⃗ PQ,si
1. Si P QRS forma un paralelogramo.
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2. Si PRSQ forma un paralelogramo.
3. Si RSQP forma un paralelogramo.
Ejemplo 1 En R 1 , tenemos una recta
observamos que todos son paralelos. Ahora bien, si contamos con uno, digamos
PQ, ⃗ cualquier otro RS ⃗ tiene la particularidad
α( ⃗ PQ)= ⃗ RS
Se observa que
De manera general, tenemos que
1. ‖ ⃗ RS‖ = |α|‖ ⃗ PQ‖
2. RS ⃗ tiene el mismo sentido que
cuando α0
⃗ PQ cuando α>0, y sentido contrario
Observación 2 Usualmente, escogemos una unidad de medida ⃗µ , y luego la
orientación del vector
En R 1 , tenemos que
Figura 1: Construyendo vectores
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PQ ⃗ = α⃗µ; donde α = ± ‖ PQ‖ ⃗
‖⃗µ‖
2 Operaciones con vectores
Una de las operaciones básicas entre vectores es la suma. Dado dos vectores
PQ,y ⃗ RS, ⃗ definimos la suma PQ+ ⃗ RS ⃗ como se muestra en la figura
La regla es “colocar uno donde termina el otro”.
En ocasiones, se estila nombrar el vector sin hacer referencia a los puntos
que lo definen, p.j. ⃗v o ⃗w.
Observación 3 Se observa que ⃗v + ⃗w = ⃗w + ⃗v , (propiedad conmutativa).
Esto se debe a que se forma un paralelogramo.
Observación 4 Se observa que
(⃗u + ⃗w)+⃗w = ⃗u +(⃗v + ⃗w)
(propiedad asociativa) de manera gráfica tenemos
Figura 2: Propiedad asociativa entre vectores.
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En R 2 , se observa que con un sólo vector no podemos obtener otro vector,
a menos que sean paralelos.
Observación 5 Si ⃗u y ⃗v no son paralelos (⃗u ≠ α⃗v), generamos el plano que
los contiene.
Problema 1 Puede ocurrir que
NO! ya que
3⃗u +28⃗v = ⃗0?
3⃗u = −28⃗v
⃗u = − 28
3 ⃗v
Proposición 1 Si ⃗u y ⃗v son no-paralelos, entonces la ecuación
tiene por única solución a α = β =0.
α⃗u + β⃗v = ⃗0
Lo que este enunciado nos dice, es que si ⃗u , ⃗v son no-paralelos, entonces si α
y β son dos números reales y alguno de ellos (cuando menos uno) es distinto
de cero, entonces
α⃗u + β⃗v ≠ ⃗0
Observación 6 Si se cuenta con tres vectores ⃗u , ⃗v , ⃗w; no paralelos, uno de
ellos lo observamos como combinación de los otros.
Esta observación nos dice que dados ⃗u , ⃗v no paralelos y ⃗w cualquiera, es
posible encontrar números α y β tales que
⃗w = α⃗u + β⃗w
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Observación 7 Si ⃗a 1 , ⃗a 2 son no-colineales, entonces cualquier vector ⃗v ∈ R 2
se puede obtener como combinación lineal entre ⃗a 1 y ⃗a 2 , es decir
⃗v = α 1 ⃗a 1 + α 2 + ⃗a 2
Figura 3: Un vector como combinación lineal de otros dos.
A los elementos α 1 y α 2 los nombraremos componentes ⃗a 1 y ⃗a 2 del vector ⃗v .
Si ⃗a 1 , ⃗a 2 , ⃗a 3 son tres vectotes no-coplanares, vamos, que viven en planos
distintos, entonces cualquier vector ⃗v ∈ R 3 se puede obtener como combinación
lineal de ⃗a 1 , ⃗a 2 y ⃗a 3 ; es decir,
⃗v = α 1 ⃗a 1 + α 2 ⃗a 2 + α 3 ⃗a 3
Consideramos los planos que se forman por parejas y en la intersección buscamos
⃗v .
Observación 8 La idea es elegir un punto de referencia, y llevar esos vectores
a ese punto.
⃗v = ⃗v 1 + ⃗v 2 + ⃗v 3
= α 1 ⃗a 1 + α 2 ⃗a 2 + α 3 ⃗a 3
con esto, las componentes del vector ⃗v son
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⎛
⃗v = ⎝
⎞
α 1
α 2
⎠
α 3
Problema 2 Encontrar la componente de un vector ⃗v en término de otros
dos ⃗a 1 y ⃗a 2
Observemos la componente de ⃗ b a lo largo de ⃗a
l a = ‖ ⃗ b‖ cos θ(⃗a , ⃗ b)
De igual forma, tenemos la componente de ⃗a a lo largo de ⃗ b como
l b = ‖⃗a‖ cos θ(⃗a , ⃗ b)
Figura 4: Componente de un vector en términos del otro.
Observación 9 La cantidad
‖⃗a‖‖ ⃗ b‖ cos θ(⃗a , ⃗ b)
es importante, y se le llama el producto escalar entre dos vectores. Otro
nombre es producto interior. Lo cual se escribe como
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⃗a ·⃗b = ‖⃗a‖‖ ⃗ b‖ cos θ(⃗a , ⃗ b)
Observación 10 El producto interior es un escalar!
Observación 11 Podemos observar que
−‖⃗a‖‖ ⃗ b‖≤⃗a ·⃗b ≤‖⃗a ‖‖ ⃗ b‖
de donde concluimos
la desigualdad de Schwarz.
|⃗a ·⃗b| ≤‖⃗a ‖‖ ⃗ b‖
Definición 1 Si ⃗a y ⃗ b son dos vectores tales que ⃗a ·⃗b =0, diremos que ⃗a es
ortogonal a ⃗ b y viceversa, lo cual se escribe como
⃗a ⊥ ⃗ b
Observación 12
⃗a ·⃗b 90 ◦
Observación 13 Si ⃗a ·⃗b = −‖⃗a‖‖ ⃗ b‖, los vectores son colineales y en sentido
opuesto.
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Propiedades
1. ⃗a ·⃗b = ⃗ b · ⃗a
2. ⃗a · (α ⃗ b)=α⃗a ·⃗b
3. ⃗a · ( ⃗ b + ⃗c )=⃗a ·⃗b + ⃗a · ⃗c
Propiedades
1. En R 1 , si elegimos ⃗a 1 ≠ ⃗0; todo ⃗v ∈ R se puede escribir como ⃗v = α⃗a 1 .
2. En R 2 si elegimos ⃗a 1 y ⃗a 2 no colineales, todo vector ⃗v ∈ R 2 se puede
escribir como
⃗v = α 1 ⃗a 1 + α 2 ⃗a 2
3. En R 3 , si elegimos ⃗a 1 ,⃗a 2 y ⃗a 3 no coplanares, todo ⃗v ∈ R 3 se puede
escribir como
⃗v = α 1 ⃗a 1 + α 2 ⃗a 2 + α 3 ⃗a 3
Observación 14 Un vector ⃗v que se puede escribir en término de otros dos
⃗v 1 y ⃗v 2 en la forma
⃗v = ⃗v 1 + ⃗v 2
= α 1 ⃗a 1 + α 2 ⃗a 2
diremos que ⃗v 1 y ⃗v 2 son los vectores componentes de ⃗v y α 1 y α 2 las coordenadas
de ⃗v .
Las coordenadas α 1 y α 2 no representan las longitudes del vector ⃗v .
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