N 皇后問題的90 度旋轉不動解個數

The 25th Workshop on Combinatorial Mathematics and Computation Theory
x, x 、R 90 ° y, x 、R 180 ° y, x 、R 270 ° y, x , 由 表
格 3 中 的 計 算 可 以 證 明 共 軛 組 可 透 過 翻 轉 運 算
子 得 到 , 而 且 兩 組 的 攻 擊 線 完 全 相 同 。 所 以 當
我 們 找 到 一 個 不 動 解 時 就 可 以 透 過 共 軛 組 的 選
擇 產 生 出 不 同 的 不 動 解 , 又 由 於 n = 4 ×
t 或 n = 4 × t + 1,t 組 不 動 組 可 獨 立 自 由 抽 換
共 軛 組 , 進 而 可 以 得 到 定 理 2。
定 理 2 : 假 設 t 為 自 然 數 或 零 , 當
n = 4 × t 或 n = 4 × t + 1 時 ,n 皇 后 問 題 在 旋 轉
90 度 運 算 子 下 的 不 動 點 個 數 必 為 2 t 的 倍 數 。
圖 表 7:12 皇 后 問 題 中 , 不 動 組 及 其 共 軛 組 必 有
1 點 落 入 粗 黑 色 三 角 形 中 。
圖 表 8:n = 4 × t 或 n = 4 × t + 1 時 在 n 皇 后 問
題 中 尋 找 90 度 旋 轉 不 動 解 問 題 , 化 約 成
在 三 角 形 區 域 尋 放 置 t 個 皇 后 使 其 不 互 相
攻 擊 問 題 中 新 的 皇 后 攻 擊 線 。
經 由 不 動 組 及 共 軛 組 的 觀 念 , 可 以 得 知 一 個
不 動 組 及 其 共 軛 組 總 計 共 8 個 點 , 平 均 散 布 在
棋 盤 上 的 八 個 方 向 , 這 8 個 點 因 為 是 90 度 旋 轉
不 動 組 , 所 以 必 有 點 落 入 [0-5][0-5] 的 左 上 方 區
域 , 又 因 為 這 8 個 點 也 是 翻 轉 R 的 的 不 動 組 ,
所 以 粗 黑 色 三 角 形 中 必 有 1 點 , 而 且 恰 一 點 。
以 圖 表 7 為 例 , 尋 找 不 動 解 , 是 探 討 如 何 在 粗
黑 三 角 形 中 放 置 三 個 皇 后 ,, 使 其 不 動 組 及 共
軛 組 所 發 出 之 攻 擊 線 到 這 三 個 皇 后 。
表 格 4:n 皇 后 問 題 在 90 度 旋 轉 運 算 子 下 的 不
動 點 個 數 。
n Q n n Q R90 ° R n 時 間
90 °
1 1 33 667904 0 秒
2 0 34 0
3 0 35 0
4 2 36 5845504 0 秒
5 2 37 8650752 0 秒
6 0 38 0
7 0 39 0
8 0 40 77184000 0 秒
9 0 41 101492736 0 秒
10 0 42 0
11 0 43 0
12 8 44 1261588480 4 秒
13 8 45 1795233792 5 秒
14 0 46 0
15 0 47 0
16 64 48 21517426688 47 秒
17 128 49 35028172800 62 秒
18 0 50 0
19 0 51 0
20 480 52 406875119616 9 分
21 704 53 652044443648 13 分
22 0 54 0
23 0 55 0
24 3328 56 8613581094912 127 分
25 3264 57 12530550128640 159 分
26 0 58 0
27 0 59 0
28 32896 60 194409626533888 24 小 時
29 43776 61 291826098503680 30 小 時
30 0 62 0
31 0 63 0
32 406784 64 ?
所 以 在 n 皇 后 問 題 尋 找 90 度 不 動 解 中 ,
(n = 4 × t 或 n = 4 × t + 1) 我 們 就 可 以 在 粗 黑
三 角 形 中 , 依 序 由 上 而 下 放 置 t 個 皇 后 , 使 其 不
會 互 相 攻 擊 , 但 是 攻 擊 線 是 圖 表 8 中 所 設 計 的
新 式 攻 擊 線 , 這 些 攻 擊 線 主 要 體 現 所 放 置 皇 后
的 不 動 組 及 其 共 軛 組 所 發 出 的 攻 擊 線 在 粗 黑 三
角 形 中 的 狀 況 , 又 因 為 是 由 上 而 下 置 放 , 所 以
不 必 考 慮 往 上 或 水 平 的 攻 擊 線 。 n = 4 ×
t 或 n = 4 × t + 1 的 兩 個 案 子 中 , 粗 黑 三 角 形 有
些 不 同 , 其 新 式 攻 擊 線 也 有 些 不 同 ( 參 見 圖 表 9),
主 要 在 於 n = 4 × t + 1 的 案 子 會 先 置 放 一 個 皇
后 到 ( n 2 , n 2 ) 位 置 , 而 攻 擊 線 到 達 中 線 反 射 動
作 會 與 n = 4 × t 案 子 的 有 所 不 同 。
所 以 在 n = 4 × t 或 n = 4 × t + 1 時 , 本 文 利
用 不 動 組 及 共 軛 組 觀 念 , 尋 找 在 粗 黑 三 角 形 中
利 用 新 式 攻 擊 線 放 置 t 個 互 不 相 攻 擊 的 皇 后 的
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