N 皇后問題的90 度旋轉不動解個數

The 25th Workshop on Combinatorial Mathematics and Computation Theory
N 皇 后 問 題 的 90 度 旋 轉 不 動 解 個 數
謝 育 平
銘 傳 大 學 資 訊 工 程 學 系
arping@gmail.com
摘 要
N 皇 后 問 題 是 一 個 長 時 間 被 研 究 的 有 名 問 題 ,
其 解 的 「 存 在 性 」 及 「 計 數 性 」 問 題 多 被 討 論 。
N 皇 后 問 題 有 8 個 已 知 的 對 稱 性 運 算 子 , 主 要
由 翻 轉 及 旋 轉 90 度 兩 個 運 算 子 所 展 開 。 本 文 主
要 針 對 90 度 旋 轉 運 算 子 進 行 研 究 , 尋 找 N 皇 后
問 題 90 度 旋 轉 運 算 子 的 不 動 解 個 數 , 在 30 小
時 2GHz 機 器 的 計 算 下 , 算 得 61 皇 后 問 題 的 90
度 不 動 解 有 291826098503680 個 , 並 刊 登 於 專
門 收 集 組 合 數 學 重 要 數 據 的 Integer Sequences
網 站 中 。
1 簡 介
N 皇 后 問 題 的 研 究 已 經 有 很 長 的 歷 史 [1], 而
且 有 很 多 衍 生 性 問 題 被 研 究 。 很 多 學 者 使 用 不
同 的 技 術 解 決 N 皇 后 問 題 衍 生 的 相 關 性 問 題
[13]。 在 Google 學 術 搜 尋 [12] 中 尋 找 「“queen
problem”」 可 得 688 篇 資 料 , 尋 找 「“queens
problem”」 可 得 2700 篇 資 料 , 而 尋 找 「“ 皇 后 問
題 ”」, 可 得 263 篇 資 料 , 可 見 N 皇 后 問 題 長 時
間 被 廣 泛 地 研 究 。
N 皇 后 問 題 主 要 探 討 在 NN 的 棋 盤 上 , 如 何
放 置 N 個 西 洋 棋 皇 后 使 得 這 N 個 西 洋 棋 皇 后 不
會 互 相 攻 擊 1, 我 們 稱 一 個 成 功 的 放 法 為 N 皇 后
問 題 的 一 個 解 。 在 N 皇 后 問 題 中 , 主 要 被 關 心
的 是 「 存 在 性 問 題 」 及 「 計 數 性 問 題 」。「 存 在
性 問 題 」 主 要 探 討 N 皇 后 問 題 是 否 有 解
[1][3][6][7][8]; 而 「 計 數 性 問 題 」 則 探 討 N 皇
后 問 題 到 底 有 多 少 解 [4][5][9], 我 們 常 用 Q(N)
來 代 表 N 皇 后 問 題 解 的 個 數 。 在 1986 到 1995
年 間 , Falkowski, Schmitz, Erbas, Tanik, 和
Aliyazicioglu [6][7][8] 等 學 者 根 據 不 同 的 角 度 ,
同 樣 證 明 N 皇 后 問 題 除 了 N=2 和 N=3 外 , 對 每
一 自 然 數 N,N 皇 后 問 題 都 有 解 。 在 1992 到 1994
年 間 ,Erbas 等 學 者 [5] 算 得 Q(18), 而 Rivin 等
學 者 [10] 提 到 Shapira 算 得 Q(19) 及 Q(20)。 在
Integer Sequences[13] 上 的 記 載 ( 進 入 網 站 後 , 搜
尋 A000170), 在 2004 年 之 前 ,Pion 與 Fourre
使 用 暫 存 器 加 速 運 算 , 算 得 Q(21)、Q(22) 及
Q(23), 其 程 式 原 始 碼 可 以 由 此 [14] 下 載 。 在 2004
年 , 筆 者 [11] 使 用 分 割 演 算 法 在 2.0GHz 機 器 上
1
註 : 西 洋 棋 中 皇 后 的 攻 擊 線 為 上 、 下 、 左 、 右 、
左 上 、 左 下 、 右 上 、 右 下 等 八 個 方 向 。
花 了 1867 計 算 天 ) 算 得 Q(24), 但 由 於 該 演 算 法
使 用 大 量 記 憶 體 , 硬 體 的 錯 誤 導 致 數 字 上 的 錯
誤 , 目 前 Integer Sequences(A000170) 上 的 紀 錄
是 由 Kise[9] 等 學 者 所 算 得 。 在 2004 與 2005 年
間 , 筆 者 兩 度 受 歐 洲 電 信 標 準 局 (ETSI) 學 者
Partick Guillemin 的 邀 請 , 並 由 ETSI 提 供 經 費
參 加 第 一 屆 及 第 二 屆 Plugtests 會 議 及 比 賽 ; 該
比 賽 主 要 使 用 網 格 計 算 中 介 軟 體 Proactive 來 計
算 N 皇 后 問 題 的 解 個 數 。 在 此 間 , 筆 者 號 召 台
灣 網 際 網 路 間 1535 台 電 腦 , 花 了 72 計 算 年
(26613 計 算 天 ), 算 得 Q(25) 兩 次 以 進 行 比 對 驗
算 , 所 以 一 次 計 算 只 花 36 個 計 算 年 。 此 同 時 ,
Objectweb ProActive INRIA Team 使 用 Proactive
網 格 計 算 花 了 53 計 算 年 算 得 Q(25), 比 筆 者 所
策 劃 的 計 算 早 15 天 算 得 。 而 迄 今 Q(26) 仍 未 被
算 得 , 表 格 1 列 出 了 目 前 算 得 的 解 個 數 。
表 格 1:N 皇 后 問 題 的 解 答 數 Q(N)
N Q(N) N Q(N)
1 1 14 365596
2 0 15 2279184
3 0 16 14772512
4 2 17 95815104
5 10 18 666090624
6 4 19 4968057848
7 40 20 39029188884
8 92 21 314666222712
9 352 22 2691008701644
10 724 23 24233937684440
11 2680 24 227514171973736
12 14200 25 2207893435808352
13 73712 26 ?
為 了 進 一 步 的 討 論 , 我 們 先 將 N 皇 后 問 題 及
其 解 答 具 體 化 並 使 用 小 寫 n 來 表 示 n 皇 后 問
題 。
n 皇 后 計 數 問 題 : 給 定 一 個 n × n 的 棋 盤 , 有
多 少 種 方 法 可 以 將 n 個 皇 后 放 進 棋 盤 中 , 使 得
每 一 行 、 每 一 列 、 每 一 個 左 上 右 下 斜 線 和 右 上
左 下 斜 線 中 , 至 多 一 個 皇 后 。 我 們 將 一 個 解 答
用 一 個 一 對 一 且 映 成 函 數 f: Z n → Z n 紀 錄 之 , 其
中 Z n = {0,1,2, … , n − 1}。 圖 表 1 中 表 示 了 8 皇
后 問 題 的 1 個 解 。
我 們 可 以 用 更 具 體 的 方 式 來 描 述 n 皇 后 問 題 :
一 個 n 皇 后 問 題 的 解 是 一 個 從 Z n 對 到 Z n 的 函 數
f(x) 使 得 以 下 條 件 成 立 , 條 件 中 的 加 減 法 是 整 數
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下 的 加 減 法 。
∀ i≠j∈Zn f i ≠ f j
∀ i≠j∈Zn f i + i ≠ f j + j
∀ i≠j∈Zn f i − i ≠ f j − j
中 8 皇 后 問 題 的 解 f 上 所 得 的 另 外 兩 個 解 。
圖 表 3:h = R 90 ° f 為 90 度 旋 轉 運 算 子 作 用 在 解
f 上 所 得 之 另 一 個 解 。
圖 表 1:8 皇 后 問 題 的 一 個 解 。
在 N 皇 后 問 題 中 , 有 8 個 很 自 然 的 對 稱 運 算
子 由 旋 轉 , 翻 轉 所 展 開 ; 意 思 是 說 , 當 我 們 發
現 一 個 解 時 , 可 以 透 過 旋 轉 或 翻 轉 , 可 以 得 到
另 外 7 個 解 ; 這 8 個 解 , 可 能 是 完 全 不 同 的 8
個 解 , 也 有 可 能 只 有 不 同 的 4 個 、2 個 、 或 1 個
解 。
所 謂 解 答 空 間 上 的 一 個 對 稱 運 算 子
(symmetry operator) 係 指 具 有 以 下 特 性 的 函 數 :f
是 一 個 解 答 , 若 且 唯 若 (f) 也 是 一 個 解 答 。 這 8
個 運 算 子 是 由 R 及 R 90 ° 兩 個 運 算 子 所 展 開 的
{Id, R 90 °, R 180 °, R 270 °, R, R。R 90 °,R。R 180 °,R。R 270 °}
, 其 中 R 為 依 左 上 右 下 對 角 線 翻 轉 的 對 稱 運 算
子 , 而 R 90 ° 為 逆 時 針 旋 轉 90 度 的 對 稱 運 算 子 。
假 設 f(x) 為 n 皇 后 問 題 的 一 個 解 ,
R f x 及 R 90 ° f x 定 義 如 下 :
R f x = f −1 (x)
R 90 ° f x = n − 1 − f −1 (x)
除 了 以 上 數 學 定 義 外 ,R 及 R 90 ° 倆 的 運 算 子 也
有 操 作 型 定 義 如 下 : 其 將 棋 盤 上 的 一 點 (x,f(x))
旋 轉 或 翻 轉 對 應 到 棋 盤 上 的 另 外 一 點 去 。
R x, f(x) = (f x , x)
R 90 ° x, f(x) = n − 1 − f x , x
在 n 皇 后 問 題 的 所 有 解 中 , 有 些 解 會 在 對 稱
運 算 子 的 作 用 下 產 生 新 的 解 , 但 有 的 不 會 產 生
任 何 新 的 解 , 我 們 稱 不 會 產 生 新 解 的 解 為 運 算
子 下 的 不 動 解 。 圖 表 5 中 顯 示 5 皇 后 問 題 中 ,
旋 轉 90 度 運 算 子 下 的 一 個 不 動 解 。 我 們 使 用
Q R (n) 及 Q R90 ° (n) 來 表 示 n 皇 后 問 題 在 翻 轉 運 算
子 R 及 旋 轉 90 度 運 算 子 R 90 ° 的 不 動 解 個 數 。
圖 表 4:u = R 90 ° u 為 12 皇 后 問 題 中 ,90 度 旋 轉
運 算 子 的 不 動 解 。
在 圖 表 4 及 圖 表 5 中 顯 示 12 皇 后 問 題 及 13
皇 后 問 題 中 ,90 度 旋 轉 運 算 子 的 不 動 解 。
圖 表 2:g = R f 為 翻 轉 運 算 子 作 用 在 解 f 上 所 得
之 另 一 個 解 。
圖 表 2 及 圖 表 3 展 示 R 及 R 90 ° 作 用 在 圖 表 1
圖 表 5:u = R 90 ° u 為 13 皇 后 問 題 中 ,90 度 旋 轉
運 算 子 的 不 動 解 。
本 文 主 要 專 注 在 Q R90 ° (n) 的 計 算 , 在 Integer
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Sequences 上 ,Q R90 ° (n) 記 載 在 A033148 號 序 列
上 , 其 中 Q R90 ° (48) 為 Miklos Szabo 所 算 得 , 本
文 擴 充 n=49 到 n=61 , 其 後 的 Q R90 ° 62 =
Q R90 ° 63 = 0 可 由 定 理 得 知 。
2 90 度 旋 轉 不 動 解
n 皇 后 問 題 的 逆 時 針 旋 轉 運 算 子 有 兩 種 呈 現
方 式 : R 90 ° f x = n − 1 − f −1 x 和
R 90 ° x, f x = n − 1 − f x , x 。 我 們 假 設 在
R 90 ° 運 算 子 的 不 動 解 u 上 , 其 對 應 的 棋 盤 上 已 經
在 (x,y) 點 上 置 放 了 一 個 皇 后 , 則 在
R 90 ° x, y = n − 1 − y, x
R 180 ° x, y = R 90 ° R 90 ° x, y
= n − 1 − x, n − 1 − y
R 270 ° x, y = R 90 °(R 90 ° R 90 ° x, y )
= y, n − 1 − x
等 三 個 點 上 必 定 也 放 置 的 一 個 皇 后 。 現 在 我 們
需 要 關 心 的 是 這 四 個 點 是 不 是 真 的 是 四 個 不 同
的 點 , 會 不 會 濃 縮 成 1 個 點 或 2 個 點 , 我 們 需
要 嘗 試 計 算 的 是 R 90 ° x, y = n − 1 − y, x =
(x, y) 及 R 180 ° x, y = n − 1 − x, n − 1 − y =
(x, y), 可 以 發 現 只 有 x, y = ( n−1
, n−1
) 時 , 會 有
2 2
濃 縮 的 情 況 發 生 , 而 且 是 4 個 點 會 濃 縮 成 1 個
點 , 而 其 他 狀 況 則 維 持 四 個 點 , 所 以 我 們 可 以
得 到 以 下 定 理 。
定 理 1 : 假 設 t 為 自 然 數 或 零 , 當
n = 4 × t + 2 或 n = 4 × t + 3 時 ,n 皇 后 問 題 在
旋 轉 90 度 運 算 子 下 , 沒 有 不 動 點 。 也 就 是
Q R90 ° n = 0。
所 以 Q R90 ° n 要 有 不 為 零 之 值 需 要 n = 4 ×
t 或 n = 4 × t + 1, 其 代 表 例 子 分 別 為 圖 表 4 中
的 12 皇 后 問 題 及 圖 表 5 中 的 13 皇 后 問 題 。 我
們 觀 察 圖 表 4 中 第 一 個 皇 后 的 位 置 (x,y)=(0,4),
依 照 Q R90 °
的 規 則 , n − 1 − y, x 、 n − 1 −
x, n − 1 − y 、(y, n − 1 − x) 也 須 在 其 中 , 分 別
為 7,0 、 11,7 、 4,11 , 如 圖 表 4 中 已 經 繪 製
攻 擊 線 的 四 個 皇 后 。 而 這 四 個 點 則 構 成 了 一 個
「 不 動 組 」, 因 為 這 四 個 點 一 組 在 Q R90 °
的 旋 轉 動
作 下 , 不 會 產 生 額 外 的 位 置 , 只 會 產 生 與 自 己
相 同 的 一 組 , 所 以 我 們 稱 它 為 「 不 動 組 」。 所 以
在 決 定 (0,4) 之 後 , 7,0 、 11,7 、(4,11) 也 決 定
了 , 在 決 定 (1,2) 之 後 , 9,1 、 10,9 、(2,10) 也
決 定 了 , 在 決 定 (3,5) 之 後 , 6,3 、 8,6 、(5,8) 也
決 定 了 。 所 以 真 正 需 要 決 定 的 點 只 有 三 個 。
表 格 2:90 度 不 動 解 中 的 共 軛 組
x y y+x y-x x y y+x y-x
0 4 4 4 4 0 4 -4
7 0 7 -7 0 7 7 7
11 7 18 -4 7 11 18 4
4 11 15 7 11 4 15 -7
我 們 觀 察 圖 表 4 中 , 第 一 組 的 四 個 已 繪 製 攻
擊 線 的 皇 后 , 可 以 發 現 其 攻 擊 現 聚 焦 在 另 外 四
的 點 身 上 , 而 這 四 個 點 恰 巧 也 是 Q R90 °
下 的 不 動
組 , 而 且 可 以 由 原 先 四 個 點 透 過 翻 轉 運 算 子 R
作 用 可 得 到 , 即 4,0 、 11,4 、 7,11 、(0,7),
我 們 稱 這 兩 組 互 為 「 共 軛 組 」。 而 更 巧 的 事 情 是
兩 個 共 軛 組 所 發 出 的 攻 擊 線 完 全 相 同 。 表 格 2
展 示 圖 表 4 中 已 繪 製 攻 擊 線 的 第 一 組 及 其 共 軛
組 所 發 出 攻 擊 線 號 碼 , 可 以 發 現 這 兩 組 會 發 出
相 同 的 攻 擊 線 , 也 就 是 說 , 如 果 我 們 將 圖 表 4
中 的 解 答 中 的 第 一 組 抽 掉 , 換 上 其 共 軛 組 將 會
得 到 另 一 個 解 答 如 圖 表 6。
圖 表 6: 圖 表 4 中 , 將 第 一 組 抽 換 成 其 共 軛 組 後
所 得 之 另 一 個 90 度 旋 轉 運 算 子 的 不 動 解 。
表 格 3:90 度 旋 轉 共 軛 組 發 出 相 同 攻 擊 線 。
決 定 點
(p,q)
不 動 組 (x,y) (n-1-y,x)
R 90 °(p,q) R 180 °(p,q) R 270 °(p,q)
(n-1-x,
n-1-y)
(y,n-1-x)
水 平 x n-1-y n-1-x y
垂 直 y x n-1-y n-1-x
左 上 右 下 y-x x+y-n+1 x-y n-1-x-y
右 上 左 下 x+y n-1-y+x 2n-2-x-y n-1+y-x
共 軛 組 (y,x) (n-1-x,y)
(n-1-y,
n-1-x)
(x,n-1-y)
水 平 y n-1-x n-1-y x
垂 直 x y n-1-x n-1-y
左 上 右 下 x-y x+y-n+1 y-x n-1-x-y
右 上 左 下 x+y n-1-x+y 2n-2-x-y n-1-y+x
在 n 皇 后 問 題 的 一 個 R 90 ° 不 動 解 中 , 觀 察 其 一
組 由 (x,y) 出 發 , 透 過 R 90 ° 所 擴 充 的 四 點
x, y 、R 90 ° x, y 、R 180 ° x, y 、R 270 ° x, y , 換 上
其 共 軛 組 上 的 另 外 四 點
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x, x 、R 90 ° y, x 、R 180 ° y, x 、R 270 ° y, x , 由 表
格 3 中 的 計 算 可 以 證 明 共 軛 組 可 透 過 翻 轉 運 算
子 得 到 , 而 且 兩 組 的 攻 擊 線 完 全 相 同 。 所 以 當
我 們 找 到 一 個 不 動 解 時 就 可 以 透 過 共 軛 組 的 選
擇 產 生 出 不 同 的 不 動 解 , 又 由 於 n = 4 ×
t 或 n = 4 × t + 1,t 組 不 動 組 可 獨 立 自 由 抽 換
共 軛 組 , 進 而 可 以 得 到 定 理 2。
定 理 2 : 假 設 t 為 自 然 數 或 零 , 當
n = 4 × t 或 n = 4 × t + 1 時 ,n 皇 后 問 題 在 旋 轉
90 度 運 算 子 下 的 不 動 點 個 數 必 為 2 t 的 倍 數 。
圖 表 7:12 皇 后 問 題 中 , 不 動 組 及 其 共 軛 組 必 有
1 點 落 入 粗 黑 色 三 角 形 中 。
圖 表 8:n = 4 × t 或 n = 4 × t + 1 時 在 n 皇 后 問
題 中 尋 找 90 度 旋 轉 不 動 解 問 題 , 化 約 成
在 三 角 形 區 域 尋 放 置 t 個 皇 后 使 其 不 互 相
攻 擊 問 題 中 新 的 皇 后 攻 擊 線 。
經 由 不 動 組 及 共 軛 組 的 觀 念 , 可 以 得 知 一 個
不 動 組 及 其 共 軛 組 總 計 共 8 個 點 , 平 均 散 布 在
棋 盤 上 的 八 個 方 向 , 這 8 個 點 因 為 是 90 度 旋 轉
不 動 組 , 所 以 必 有 點 落 入 [0-5][0-5] 的 左 上 方 區
域 , 又 因 為 這 8 個 點 也 是 翻 轉 R 的 的 不 動 組 ,
所 以 粗 黑 色 三 角 形 中 必 有 1 點 , 而 且 恰 一 點 。
以 圖 表 7 為 例 , 尋 找 不 動 解 , 是 探 討 如 何 在 粗
黑 三 角 形 中 放 置 三 個 皇 后 ,, 使 其 不 動 組 及 共
軛 組 所 發 出 之 攻 擊 線 到 這 三 個 皇 后 。
表 格 4:n 皇 后 問 題 在 90 度 旋 轉 運 算 子 下 的 不
動 點 個 數 。
n Q n n Q R90 ° R n 時 間
90 °
1 1 33 667904 0 秒
2 0 34 0
3 0 35 0
4 2 36 5845504 0 秒
5 2 37 8650752 0 秒
6 0 38 0
7 0 39 0
8 0 40 77184000 0 秒
9 0 41 101492736 0 秒
10 0 42 0
11 0 43 0
12 8 44 1261588480 4 秒
13 8 45 1795233792 5 秒
14 0 46 0
15 0 47 0
16 64 48 21517426688 47 秒
17 128 49 35028172800 62 秒
18 0 50 0
19 0 51 0
20 480 52 406875119616 9 分
21 704 53 652044443648 13 分
22 0 54 0
23 0 55 0
24 3328 56 8613581094912 127 分
25 3264 57 12530550128640 159 分
26 0 58 0
27 0 59 0
28 32896 60 194409626533888 24 小 時
29 43776 61 291826098503680 30 小 時
30 0 62 0
31 0 63 0
32 406784 64 ?
所 以 在 n 皇 后 問 題 尋 找 90 度 不 動 解 中 ,
(n = 4 × t 或 n = 4 × t + 1) 我 們 就 可 以 在 粗 黑
三 角 形 中 , 依 序 由 上 而 下 放 置 t 個 皇 后 , 使 其 不
會 互 相 攻 擊 , 但 是 攻 擊 線 是 圖 表 8 中 所 設 計 的
新 式 攻 擊 線 , 這 些 攻 擊 線 主 要 體 現 所 放 置 皇 后
的 不 動 組 及 其 共 軛 組 所 發 出 的 攻 擊 線 在 粗 黑 三
角 形 中 的 狀 況 , 又 因 為 是 由 上 而 下 置 放 , 所 以
不 必 考 慮 往 上 或 水 平 的 攻 擊 線 。 n = 4 ×
t 或 n = 4 × t + 1 的 兩 個 案 子 中 , 粗 黑 三 角 形 有
些 不 同 , 其 新 式 攻 擊 線 也 有 些 不 同 ( 參 見 圖 表 9),
主 要 在 於 n = 4 × t + 1 的 案 子 會 先 置 放 一 個 皇
后 到 ( n 2 , n 2 ) 位 置 , 而 攻 擊 線 到 達 中 線 反 射 動
作 會 與 n = 4 × t 案 子 的 有 所 不 同 。
所 以 在 n = 4 × t 或 n = 4 × t + 1 時 , 本 文 利
用 不 動 組 及 共 軛 組 觀 念 , 尋 找 在 粗 黑 三 角 形 中
利 用 新 式 攻 擊 線 放 置 t 個 互 不 相 攻 擊 的 皇 后 的
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方 法 數 。 再 將 此 數 字 乘 以 2 t 即 是 n 皇 后 問 題 中
90 度 旋 轉 不 動 解 的 個 數 。
圖 表 9:13 皇 后 問 題 中 , 不 動 組 及 其 共 軛 組 必 有
1 點 落 入 粗 黑 色 三 角 形 中 。
3 結 論
我 們 利 用 不 動 組 及 共 軛 組 之 概 念 撰 寫 程 式 在
2.0Hz 機 器 上 計 算 Q n R90
並 將 數 據 及 所 需 時 間
°
列 於 表 格 4, 其 中 粗 黑 色 部 分 為 本 文 之 貢 獻 ,
並 刊 登 於 Integer Sequences 網 站 中 , 其 中 算 得 之
最 大 數 字 為 Q R90
61 = 291826098503680。
°
參 考 文 獻
[1] Bruce Abramson and Moti Yung. Divide and
Conquer under Global Constraints: A
Solution to the N-Queens Problem. Journal of
Parallel and Distributed Computing,
6:649-662, 1989.
[2] (4 Old)Walter William Rouse Ball.
Mathematical Recreations and Essays,
113-118, 1926.
[3] A. Bruen and R. Dixon. The n-Queens
Problem. Discrete Mathematics, 12:393-395,
1975.
[4] Paul Cull and Rajeev Pandy. Isomorphism
and the N-Queens Problem. SIGCSE Bulletin,
26:29-36, 1994.
[5] Cengiz Erbas, Seyed Sarkeshik and Murat M.
Tanik. Different Perspectives of the
N-Queens Problem. In Proceedings of the
ACM 1992 Computer Science Conference,
1992.
[6] Cengiz Erbas, Murat M. Tanik, and Zekeriya
Aliyazicioglu. Linear Congruence Equations
for the Solutions of the N-Queens Problem.
Information Processing Letters, 41:301-306,
1992.
[7] Cengiz Erbas and Murat M. Tanik.
Generating Solutions to the N-Queens
Problem Using 2-Circulants. Mathematics
Magazine, 68:343-356, 1995.
[8] Bernd-Jürgen Falkowski and Lothar Schmitz.
A Note on the Queens’ Problem. Information
Processing Letters, 23:39-46, 1986.
[9] Kenji Kise, Takahiro Katagiri, Hiroki Honda,
and Toshitsugu Yuba. Solving the 24-queens
Problem using MPI on a PC Cluster,
Technical Report UEC-IS-2004-6, Graduate
School of Information Systems, The
University of Electro-Communications, 2004.
[10] Igor Rivin, Ilan Vardi and Paul Zimmermann.
The n-Queens Problem. The American
Mathematical Monthly, 101:629-639, 1994.
[11] 謝 育 平 、 項 潔 、 黃 光 璿 、 許 德 標 ,"24 皇 后
問 題 共 有 227,514,171,973,736 個 解 ", 第 二
十 一 屆 組 合 數 學 與 計 算 理 論 研 討 會 論 文 集 ,
台 中 健 康 管 理 學 院 ,2004 年 5 月 21-22 日 ,
171-176 頁 。
[12] Google. Google Scholar.
http://scholar.google.com.tw.
[13] Walter Kosters. Database with n-Queens
references.
http://www.liacs.nl/home/kosters/nqueens.
[14] Sylvain Pion and Joel-Yann Fourre.
N-Queens
Problem.
http://www-sop.inria.fr/geometrica/team/Sylv
ain.Pion/progs/reines.tgz.
[15] Neil J. A. Sloane. The On-Line Encyclopedia
of Integer Sequences.
http://www.research.att.com/~njas/sequences.
-180-