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Práctica 0
Resolución de sistemas de
ecuaciones lineales
0.1. Objetivo
Los métodos numéricos para la resolución de ecuaciones diferenciales lineales en
derivadas parciales se suelen reducir a resolver sistemas de ecuaciones lineales con un
número elevado de incógnitas, lo que hace necesaria su resolución por ordenador. El
objetivo de esta práctica es que el alumno se familiarice con las técnicas de resolución
de sistemas ecuaciones lineales por ordenador. Aunque existen diferentes algoritmos
estudiaremos en esta práctica el método de descomposición LU.
0.2. Fundamentos del método LU
Considérese el siguiente sistema de ecuaciones lineal de N ecuaciones con N
incógnitas x 1 , . . ., x N :
donde A es la matriz de coeficientes conocidos {a ij }:
⎛
A =
⎜
⎝
A · x = b (1)
⎞
a 11 a 12 . . . a 1N
a 21 a 22 . . . a 2N
.
. . .. ⎟ . ⎠
a N1 a N2 . . . a NN
1

Resolución de sistemas de ecuaciones lineales 2
y x y b los vectores de incógnitas y términos dependientes {b i }:
⎛
x =
⎜
⎝
⎞
x 1
x 2
⎟
. ⎠
x N
⎛
; b =
⎜
⎝
⎞
b 1
b 2
⎟
. ⎠
b N
Supongamos que podemos descomponer la matriz A de la siguiente manera:
A = L · U (2)
donde L y U son matrices triangular inferior (elementos diferentes de cero por debajo
y en la diagonal) y triangular superior (elementos diferentes de cero por encima y
en la diagonal), respectivamente:
⎛
L =
⎜
⎝
⎞
α 11 0 . . . 0
α 21 α 22 . . . 0
.
. . .. ⎟ . ⎠
α N1 α N2 . . . α NN
⎛
⎞
β 11 β 12 . . . β 1N
0 β 22 . . . β 2N
; U =
⎜ .
⎝ . . .. ⎟ . ⎠
0 0 . . . β NN
Entonces la resolución del sistema de ecuaciones lineales (1) se puede descomponer
como:
L · y = b U · x = y (3)
donde y es el vector formado por N incógnitas auxiliares y 1 , . . .,y N . Dada la forma
de las matrices L y U, la solución de este sistema es trivial: primero se resuelve para
y la primera ecuación de (3):
y 1 = b 1
α 11
⎡ ⎤
y i = 1 ∑i−1
⎣b i − α ij y j
⎦ i = 2, . . .,N (4)
α ii
j=1
y luego se resuelve la segunda ecuación de (3):
x N = y N
β NN
⎡
x i = 1 ⎣y i −
β ii
N∑
j=i+1
β ij x j
⎤
⎦ i = N − 1, N − 2, . . ., 1 (5)

Resolución de sistemas de ecuaciones lineales 3
Por tanto, hemos reducido la resolución del sistema de ecuaciones (1) a encontrar
la descomposición LU de la matriz A. Para ello nos damos cuenta de que hemos de
resolver el siguiente conjunto de N 2 ecuaciones con N 2 + N incógnitas (α ij y β ij ):
α i1 β 1j + . . .α iN β Nj = a ij (6)
Dado que hay más incógnitas que ecuaciones, tenemos que introducir N condiciones
más. Como veremos a continuación, es posible considerar siempre que los elementos
de la diagonal de L son iguales a la unidad, es decir, α ii = 1.
Existe un método para resolver las ecuaciones (6) si se ordenan de una cierta
manera: el algoritmo de Crout. La secuencia es la siguiente:
1. Fijamos los valores de α ii = 1 para todos los valores de i.
2. Para cada valor de j = 1, 2, . . ., N, hacemos los siguientes pasos:
Para i = 1, . . .,j, obtenemos:
β ij = a ij −
i−1 ∑
k=1
(cuando i = 1 el término de la suma se considera cero).
En segundo lugar, para i = j + 1, . . ., N, obtenemos:
0.3. Desarrollo de la práctica
0.3.1. Cuestiones teóricas
α ik β kj (7)
⎛
⎞
α ij = 1 j−1 ∑
⎝a ij − α ik β kj
⎠ (8)
β jj
Demostrar que el sistema de ecuaciones (3) es equivalente a la ecuación (1).
Demostrar que las ecuaciones (4) y (5) resuelven el sistema de ecuaciones (3).
Demostrar que el algoritmo de Crout da una solución al sistema de ecuaciones
(6).
k=1

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0.3.2. Práctica
Escribir un programa de ordenador donde se implemente el método de descomposición
LU para la resolución de ecuaciones lineales.
Aplíquese dicho programa para la resolución del siguiente sistema de ecuaciones:
x 1 − x 2 + 2x 3 − x 4 + x 5 = 3
2x 1 − x 2 + x 3 − x 4 + x 5 = 4
3x 1 + 2x 2 + x 3 + 4x 4 + 5x 5 = 5
2x 1 − x 2 + 3x 3 − 3x 4 + 2x 5 = 4
x 1 + x 2 − x 3 − 5x 4 + x 5 = 3
Modifíquese el programa anterior para obtener: (a) la matriz inversa A −1 de
la matriz de coeficientes, (b) el determinante de la matriz de coeficientes A.