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Resolución de sistemas de ecuaciones lineales 3
Por tanto, hemos reducido la resolución del sistema de ecuaciones (1) a encontrar
la descomposición LU de la matriz A. Para ello nos damos cuenta de que hemos de
resolver el siguiente conjunto de N 2 ecuaciones con N 2 + N incógnitas (α ij y β ij ):
α i1 β 1j + . . .α iN β Nj = a ij (6)
Dado que hay más incógnitas que ecuaciones, tenemos que introducir N condiciones
más. Como veremos a continuación, es posible considerar siempre que los elementos
de la diagonal de L son iguales a la unidad, es decir, α ii = 1.
Existe un método para resolver las ecuaciones (6) si se ordenan de una cierta
manera: el algoritmo de Crout. La secuencia es la siguiente:
1. Fijamos los valores de α ii = 1 para todos los valores de i.
2. Para cada valor de j = 1, 2, . . ., N, hacemos los siguientes pasos:
Para i = 1, . . .,j, obtenemos:
β ij = a ij −
i−1 ∑
k=1
(cuando i = 1 el término de la suma se considera cero).
En segundo lugar, para i = j + 1, . . ., N, obtenemos:
0.3. Desarrollo de la práctica
0.3.1. Cuestiones teóricas
α ik β kj (7)
⎛
⎞
α ij = 1 j−1 ∑
⎝a ij − α ik β kj
⎠ (8)
β jj
Demostrar que el sistema de ecuaciones (3) es equivalente a la ecuación (1).
Demostrar que las ecuaciones (4) y (5) resuelven el sistema de ecuaciones (3).
Demostrar que el algoritmo de Crout da una solución al sistema de ecuaciones
(6).
k=1