Cap´ıtulo 3. Conjuntos infinitos y cardinales - UN Virtual

Esto prueba que la restricción (de f) f 1 : A ∞ → B ∞ está bien definida y es
sobreyectiva; es además inyectiva por serlo f.
Si x ∈ A p , su imagen f(x) ∈ B y posee un ancestro más, es decir f(x) ∈ B I ;
recíprocamente si y ∈ B I , por lo menos tiene un primer ancestro x, el cual
evidentemente está enA p y es tal que f(x) =y. Se concluye que f 2 : A p → B I
dada por f 2 (x) =f(x) es una restricción biyectiva de f.
Finalmente, si x ∈ A I , por lo menos tiene un primer ancestro g −1 (x) enB, el
cual obviamente está enB p , de modo que se puede restringir g −1 correctamente
para obtener g∗ −1 : A I → B p , la cual es inyectiva por serlo g −1 y es además
sobreyectiva ya que si y ∈ B p entonces su imagen g(y) =x está enA I (tiene un
ancestro más que y) yg −1 (x) =y.
La demostración está completa puesto que como se dijo antes,
F = f 1 ∪ f 2 ∪ g −1
∗
: A = A ∞ ∪ A p ∪ A I → B ∞ ∪ B I ∪ B p = B
es biyectiva.
Dada la importancia del teorema de Cantor-Bernstein, y para ilustrar las
formas tan diferentes como puede resolverse un problema en matemticas, vamos
a dar a continuación una nueva demostración de este teorema:
LEMA DEL PUNTO FIJO. Sea A un conjunto arbitrario no vacío
y h : P(A) →P(A) una función creciente con respecto a“⊆”, es decir, tal que
si X 1 ⊆ X 2 , entonces h(X 1 ) ⊆ h(X 2 ).
Sea C = {X ∈P(A)|X ⊆ h(X)}. Entonces el conjunto T = ⋃ X∈C
X es un
punto fijo de h, es decir, satisface la condición h(T )=T . Demostración Sea
X ∈ C; por definición de T es claro que X ⊆ T ; por hipótesis h(X) ⊆ h(T )y
por definición de C, X ⊆ h(X), luego X ⊆ h(T ) y en consecuencia ( Ejercicio
3, sección 5, cap. I)
T = ⋃
X ⊆ h(T ).
X∈C
Aplicando h se obtiene h(T ) ⊆ h(h(T )), o sea que h(T ) ∈ C, de donde
h(T ) ⊆ ⋃
X = T
X∈C
De (1) y (2) se concluye que h(T )=T , como queríamos probar.
Sean A, B, f, g como en el enunciado del teorema de Cantor-Bernstein y en el
primer prrafo de la prueba dada antes. Para construir la biyección F : A → B,
descompondremos a cada uno de estos conjuntos en dos subconjuntos disyuntos
y estableceremos biyecciones entre ellos:
Consideremos la función h : P(A) →P(A) definida en la forma siguiente:
h(X) =A − g(B − f(X)) para todo X ∈P(A).
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