Cap´ıtulo 3. Conjuntos infinitos y cardinales - UN Virtual

Capítulo 3. Conjuntos infinitos y cardinales
Lección 1. Conjuntos infinitos
Deseamos poner de presente en este capítulo las primeras ideas sobre el
tamaño de los conjuntos infinitos, usando como medida del tamaño precisamente
su número de elementos.
Un conjunto finito se define como aquel cuyo número de elementos es un
natural y el concepto “infinito” se toma como la simple negación de “finito”,
oseaqueunconjuntoA es infinito si no existe un natural n tal que A sea
equipotente con {0, 1, ··· ,n− 1}.
En la presente sección introduciremos una forma de comparar tamaños de
conjuntos y estableceremos dos resultados intuitivamente simples, pero formalmente
difíciles de probar: todo conjunto finito posee estrictamente menos elementos
que N y todo conjunto infinito tiene mayor o igual cantidad de elementos
que N.
Antes vimos que dos conjuntos poseen igual cantidad de elementos cuando
son equipotentes, o sea cuando sus elementos se pueden poner en correspondencia
biunívoca; si al tratar de establecer una tal correspondencia entre A
y B sobrasen elementos en B, es decir B poseyera mayor (o igual) cantidad
de elementos que A, solo se obtendría una función inyectiva de A en B. En
consecuencia,
3.1 Definición Diremos que el conjunto A es dominado por el conjunto B
(o que B domina a A) para significar que existe una función inyectiva de A en
B. En tal caso escribiremos A ≼ B ó B ≽ A .
Nótese que “A es dominado por B” es equivalente a “A es equipotente con un
subconjunto de B”, puesto que si f : A → B es inyectiva, al restringir el codominio
al recorrido se obtiene f : A → f(A) biyectiva de modo que A ≈ f(A) ⊆ B
y recíprocamente si A ≈ A ′ y A ′ ⊆ B,
existe una biyección g : A → A ′ y al componerla con la inyección canónica
i : A ′ → B (i(x)=x) se obtiene una inyección de A en B.
En particular si A ⊆ B, entonces A ≼ B ya que A ≈ A.
Es trivial comprobar que si A ≈ B, entonces A ≼ B ∧ B ≼ A.
3.2 Proposición La relación de dominación es reflexiva y transitiva, es
decir A ≼ A cualquiera sea A yparaA, B, C, conjuntos cualesquiera,
(A ≼ B ∧ B ≼ C) → (A ≼ C).
1

Demostración Para cualquier conjunto A su aplicación idéntica
I A : A → A es biyectiva, en particular inyectiva, de modo que A ≼ A.
Si A ≼ B ∧ B ≼ C, A es equipotente con el subconjunto A ′ de B yexiste
g : B → C inyectiva; su restricción g : A ′ → g(A ′ ) es una biyección, luego
A ′ ≈ g(A ′ ) ⊆ C y siendo A ≈ A ′ , la transitividad de la equipotencia permite
concluír A ≈ g(A ′ ) ⊆ C, oseaA ≼ C.
3.3 Proposición
a) Si A ′ ≈ A ∧ A ≼ B, entonces A ′ ≼ B ,
b) Si A ≼ B ∧ B ≈ B ′ , entonces A ≼ B ′ .
Demostración Es inmediata y la dejamos al lector. Supongamos A ≈ B y
A ≠ B; existe una biyección f : A → B ysuinversaf −1 : B → A también es
una biyección; siendo las dos en particular inyectivas se cumple que A ≼ B y
B ≼ A.
Esto hace ver que “≼” no es antisimétrica: (A ≼ B) ∧ (B ≼ A) ∧ (A ≠ B).
Sin embargo posee una propiedad sustitutiva:
3.4 Teorema Teorema de Cantor-Bernstein.
Si A ≼ B y B ≼ A, entonces A ≈ B.
Existen muchas pruebas de este resultado, algunas de las cuales son muy
complicadas. Nos permitimos presentar, con ligeras modificaciones y algunas
explicaciones adicionales, una demostración realizada por los matemáticos G.
Birkhoff y H. MacLane; es elegante, sencilla y fácil de comprender.
Sean f : A → B y g : B → A inyectivas; podemos suponer sin pérdida de
generalidad que A ∩ B = ∅
1 , y que ninguna de las dos funciones es sobreyectiva ya que si alguna lo
fuese se tendría inmediatamente la equipotencia deseada.
Queremos construir una función biyectiva F : A → B; latáctica será la siguiente:
Descompondremos cada uno de los conjuntos A y B en tres subconjuntos
disyuntos dos a dos y hallaremos biyecciones entre tales subconjuntos, las cuales
al ser reunidas darán como resultado la biyección deseada.
1 Si A y B poseen elementos en común, existen A ′ = A ×{0} y B ′ = B ×{1} equipotentes
respectivamente con A y B y disyuntos, los cuales pueden reemplazar a A yaB
2

Puesto que f y g son inyectivas, se obtienen a partir de ellas restricciones
biyectivas al tomar como codominios a los respectivos recorridos, de modo que
f −1 : f(A) → A y g −1 : g(B) → B son funciones también biyectivas.
Sea x ∈ A; six ∈ g(B), entonces g −1 (x) existe y le llamaremos el primer
ancestro de x (el nombre se debe a que g −1 (x) genera a x mediante g). Si
g −1 (x) ∈ f(A), f −1 (g −1 (x)) existe y será llamado el segundo ancestro de x; si
f −1 (g −1 (x)) ∈ g(B), entonces g −1 (f −1 (g −1 (x))) existe y será llamado el tercer
ancestro de x; si continuamos el proceso de hallar los ancestros cuarto, quinto,
etc., se presentan tres casos:
1. x tiene un número par de ancestros; esto significa que x posee un último
ancestro a en A, el cual no tiene primer ancestro (es decir a /∈ g(B)).
Notemos por A p al subconjunto de A formado por aquellos elementos de
A que poseen un número par de ancestros (recuerde el lector que cero es
par).
2. x tiene un número impar de ancestros, lo cual significa que x posee un
último ancestro b en B con b/∈ f(A). Notemos por A I al subconjunto de
A formado por tales elementos.
3. x tiene infinitos ancestros. Notemos por A ∞ a la colección de aquellos
elementos de A que poseen infinitos ancestros.
Los tres subconjunto A p ,A I y A ∞ son disyuntos dos a dos y su unión es
A.
De la misma manera descomponemos B en los subconjuntos B p , B I y
B ∞ , disyuntos dos a dos y con unión igual a B.
En el gráfico que sigue x i es un elemento de A con i ancestros y y k es un
elemento de B con k ancestros; las flechas están en el sentido de las respectivas
funciones directas.
Si x ∈ A posee infinitos ancestros, evidentemente f(x) también los posee;
si y ∈ B ∞ , su primer ancestro a = f −1 (b) también tiene infinitos ancestros.
3

Esto prueba que la restricción (de f) f 1 : A ∞ → B ∞ está bien definida y es
sobreyectiva; es además inyectiva por serlo f.
Si x ∈ A p , su imagen f(x) ∈ B y posee un ancestro más, es decir f(x) ∈ B I ;
recíprocamente si y ∈ B I , por lo menos tiene un primer ancestro x, el cual
evidentemente está enA p y es tal que f(x) =y. Se concluye que f 2 : A p → B I
dada por f 2 (x) =f(x) es una restricción biyectiva de f.
Finalmente, si x ∈ A I , por lo menos tiene un primer ancestro g −1 (x) enB, el
cual obviamente está enB p , de modo que se puede restringir g −1 correctamente
para obtener g∗ −1 : A I → B p , la cual es inyectiva por serlo g −1 y es además
sobreyectiva ya que si y ∈ B p entonces su imagen g(y) =x está enA I (tiene un
ancestro más que y) yg −1 (x) =y.
La demostración está completa puesto que como se dijo antes,
F = f 1 ∪ f 2 ∪ g −1
∗
: A = A ∞ ∪ A p ∪ A I → B ∞ ∪ B I ∪ B p = B
es biyectiva.
Dada la importancia del teorema de Cantor-Bernstein, y para ilustrar las
formas tan diferentes como puede resolverse un problema en matemticas, vamos
a dar a continuación una nueva demostración de este teorema:
LEMA DEL PUNTO FIJO. Sea A un conjunto arbitrario no vacío
y h : P(A) →P(A) una función creciente con respecto a“⊆”, es decir, tal que
si X 1 ⊆ X 2 , entonces h(X 1 ) ⊆ h(X 2 ).
Sea C = {X ∈P(A)|X ⊆ h(X)}. Entonces el conjunto T = ⋃ X∈C
X es un
punto fijo de h, es decir, satisface la condición h(T )=T . Demostración Sea
X ∈ C; por definición de T es claro que X ⊆ T ; por hipótesis h(X) ⊆ h(T )y
por definición de C, X ⊆ h(X), luego X ⊆ h(T ) y en consecuencia ( Ejercicio
3, sección 5, cap. I)
T = ⋃
X ⊆ h(T ).
X∈C
Aplicando h se obtiene h(T ) ⊆ h(h(T )), o sea que h(T ) ∈ C, de donde
h(T ) ⊆ ⋃
X = T
X∈C
De (1) y (2) se concluye que h(T )=T , como queríamos probar.
Sean A, B, f, g como en el enunciado del teorema de Cantor-Bernstein y en el
primer prrafo de la prueba dada antes. Para construir la biyección F : A → B,
descompondremos a cada uno de estos conjuntos en dos subconjuntos disyuntos
y estableceremos biyecciones entre ellos:
Consideremos la función h : P(A) →P(A) definida en la forma siguiente:
h(X) =A − g(B − f(X)) para todo X ∈P(A).
4

Sean X 1 ,X 2 subconjuntos de A tales que X 1 ⊆ X 2 ; f(X 1 ) ⊆ f(X 2 ), luego
sus complementos cumplen la relación recíproca; B − f(X 2 ) ⊆ B − f(X 1 )y
aplicando g,
g(B − f(X 2 )) ⊆ g(B − f(X 1 ))
y tomando complementos, A − g(B − f(X 1 )) ⊆ A − g(B − f(X 2 )) es decir,
h(X 1 ) ⊆ h(X 2 ), de modo que h satisface la hipótesis del lema del punto fijo.
Por lo tanto si C = {X ∈P(A)|X ⊆ h(X)} y T = ⋃ X∈C
X, entonces T =
h(T )=A − g(B − f(T )), de donde g(B − f(T )) = A − T.
Así g 1 : B − f(T ) → A − T , restricción de g, es una biyección ( ya que g es
inyectiva por hipótesis ) y su inversa g1 −1 : A − T → B − f(T ) tambin lo ser.
Como f es inyectiva, su restricción f 1 : T → f(T )esasí mismo una biyección,
luego
F = f 1 ∪ f 2 : T ∪ (A − T )=A −→ f(T ) ∪ (B − f(T )) = B
es la biyección deseada. Es el momento de introducir el concepto de dominación
estricta:
3.5 Definición A ≺ B significa A ≼ B ∧¬(A ≈ B). Es entonces intuitivamente
cierta la equivalencia siguiente:
3.6 Proposición A ≺ B si y sólo si A ≼ B ∧¬(B ≼ A). Demostración
Probemos que las conjunciones A ≼ B ∧¬(A ≈ B) y A ≼ B ∧¬(B ≼ A)
son equivalentes; como de cada una de ellas se deduce A ≼ B, es suficiente ver
que de cada una de las conjunciones se deduce la segunda proposición de la otra.
Si A ≼ B ∧¬(B ≼ A) ∧ (A ≈ B), entonces A ≼ B ∧¬(B ≼ A) ∧ (B ≼ A)
lo cual es contradictorio de manera que cuando A ≼ B ∧¬(B ≼ A) se deberá
tener necesariamente ¬(A ≈ B).
Análogamente, si A ≼ B ∧¬(A ≈ B) ∧ (B ≼ A), entonces por el teorema
1, A ≈ B ∧¬(A ≈ B) (contradictorio), luego cada vez que A ≼ B ∧¬(A ≈ B)
también se tendrá ¬(B ≼ A).
5

3.7 Proposición
a) Si (A ′ ≈ A) ∧ (A ≺ B) entonces A ′ ≺ B .
b) Si (A ≺ B) ∧ (B ≈ B ′ ), entonces A ≺ B ′ .
Sus demostraciones son realmente sencillas y las dejamos al lector.
3.8 Proposición Si A ≼ B y B ≼ C y una de las dos dominaciones
es estricta, entonces A ≺ C. Demostración Siendo la dominación transitiva,
A ≼ C, de modo que es suficiente probar ¬(A ≈ C); si no se tuviese, o sea que
si A ≈ C, la parte a) de la proposición implicaría C ≼ A y la parte b) de la
misma proposición, B ≼ A, es decir A ≼ B y B ≼ A y B ≼ C y C ≼ B, de
donde por el teorema 1, A ≈ B y B ≈ C y ninguna de las dominaciones sería
rigurosa, quedando demostrado.
3.9 Corolario La dominación estricta es transitiva.
3.10 Proposición Para todo número natural n se tiene que n ≺ N. Demostración
Es dejada al lector.
Ya sabemos que N es infinito; se tienen además los resultados que siguen:
3.11 Proposición Si un conjunto A es finito, entonces A ≺ N. Demostración
Si A es finito, existe n natural tal que A ≈ n; como n ≺ N, la proposición 4
permite concluir A ≺ N.
3.12 Teorema (Teorema Fundamental). Todo conjunto infinito posee un
subconjunto equipotente con N . Demostración Sea A un conjunto infinito, es
decir, ¬(∃n ∈ N)(A ≈ n),osea(∀n ∈ N)(¬(A ≈ n)).
Como A no es equipotente con cero, A no es vacío, luego ∃x 0 (x 0 ∈ A)
Como ¬(A ≈{0} = 1), entonces (A −{x 0 }) ≠ ∅, o lo que es lo mismo,
∃x 1 (x 1 ∈ (A −{x 0 })).
Como ¬(A ≈{0, 1} = 2), claramente A−{x 0 ,x 1 } ≠ ∅,demodoque∃x 2 (x 2 ∈
(A −{x 0 ,x 1 })).
6

Como ¬(A ≈{0, 1, 2}), claramente A −{x 0 ,x 1 ,x 2 } ≠ ∅, luego existe x 3 en
A −{x 0 ,x 1 ,x 2 }.
Repitiendo este argumento infinitas veces, tantos como números naturales, se
obtiene una sucesión x 0 ,x 1 ,x 2 , ··· de elementos distintos de A, ya que cada uno
es diferente de todos los que le preceden; en otras palabras, la función f : N → A
definida por f(n) =x n es inyectiva, luego N ≈ f(N) ={x 0 ,x 1 ,x 2 ,...}⊆A,
quedando demostrado.
De los tres últimos renglones es claro que:
3.13 Corolario Si A es infinito, A ≽ N.
3.14 Corolario Si A ≺ N, entonces A es finito. Demostración Si A ≺ N
y A fuese infinito, por el corolario 1 se tendría A ≺ N y N ≼ A, de donde por
la proposición 5, A ≺ A (contradicción).
3.15 Corolario Si A es infinito, entonces A es equipotente con alguno de
sus subconjuntos propios. Demostración En el capítulo III se vió queN es
equipotente con N ∗ usando la función de N en N dada por f(n) =n + 1; algo
semejante se hace en el caso general.
Sea A infinito; por el teorema 3.12, A posee un subconjunto equipotente
con N, digamos B = {a 0 ,a 1 ,a 2 ,...}; seaC = A − B. Si A ∗ = A −{a 0 } y
B ∗ = B −{a 0 }, también C = A ∗ − B ∗ ,oseaqueA es la unión disyunta de B
y C y también A ∗ es la unión disyunta de B ∗ y C; seaf 1 : B → B ∗ definida
por f 1 (a n )=a n+1 yseaI C la identidad de C; podemos concluir que f 1 ∪ I C :
B ∪ C :→ B ∗ ∪ C es una biyección, de modo que A = B ∪ C ≈ B ∗ ∪ C = A ∗ y
claramente A ∗ es un subconjunto propio de A.
7

3.16 Teorema Un conjunto es infinito si y sólo si es equipotente con alguno
de sus subconjuntos propios. Demostración Solo hace falta ver que si
un conjunto es equipotente con alguno de sus subconjuntos propios, entonces
es infinito, lo cual es equivalente a su contrarrecíproca, “si es finito, entonces
con ninguno de sus subconjuntos propios es equipotente”, proposición ya demostrada.
Cuando p ←→ q, también ¬p ←→ ¬q, de modo que además se tiene: Un
conjunto es finito si y sólo si no posee un subconjunto propio con el cual sea
equipotente.
Esta propiedad se toma algunas veces como definición de conjunto finito,
caso en el cual se llama “finitud en el sentido de Dedekind” por haber sido
propuesta por él.
Al concepto de finitud introducido en la definición del capítulo IV se le llama
entonces “finitud en el sentido ordinario”. Hemos demostrado la equivalencia
de las dos definiciones, merced al teorema 3.12.
Curso de Topolología General.
http://www.virtual.unal.edu.co
8