Cap´ıtulo 3. Conjuntos infinitos y cardinales - UN Virtual

3.7 Proposición
a) Si (A ′ ≈ A) ∧ (A ≺ B) entonces A ′ ≺ B .
b) Si (A ≺ B) ∧ (B ≈ B ′ ), entonces A ≺ B ′ .
Sus demostraciones son realmente sencillas y las dejamos al lector.
3.8 Proposición Si A ≼ B y B ≼ C y una de las dos dominaciones
es estricta, entonces A ≺ C. Demostración Siendo la dominación transitiva,
A ≼ C, de modo que es suficiente probar ¬(A ≈ C); si no se tuviese, o sea que
si A ≈ C, la parte a) de la proposición implicaría C ≼ A y la parte b) de la
misma proposición, B ≼ A, es decir A ≼ B y B ≼ A y B ≼ C y C ≼ B, de
donde por el teorema 1, A ≈ B y B ≈ C y ninguna de las dominaciones sería
rigurosa, quedando demostrado.
3.9 Corolario La dominación estricta es transitiva.
3.10 Proposición Para todo número natural n se tiene que n ≺ N. Demostración
Es dejada al lector.
Ya sabemos que N es infinito; se tienen además los resultados que siguen:
3.11 Proposición Si un conjunto A es finito, entonces A ≺ N. Demostración
Si A es finito, existe n natural tal que A ≈ n; como n ≺ N, la proposición 4
permite concluir A ≺ N.
3.12 Teorema (Teorema Fundamental). Todo conjunto infinito posee un
subconjunto equipotente con N . Demostración Sea A un conjunto infinito, es
decir, ¬(∃n ∈ N)(A ≈ n),osea(∀n ∈ N)(¬(A ≈ n)).
Como A no es equipotente con cero, A no es vacío, luego ∃x 0 (x 0 ∈ A)
Como ¬(A ≈{0} = 1), entonces (A −{x 0 }) ≠ ∅, o lo que es lo mismo,
∃x 1 (x 1 ∈ (A −{x 0 })).
Como ¬(A ≈{0, 1} = 2), claramente A−{x 0 ,x 1 } ≠ ∅,demodoque∃x 2 (x 2 ∈
(A −{x 0 ,x 1 })).
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