Cap´ıtulo 3. Conjuntos infinitos y cardinales - UN Virtual
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<strong>3.</strong>16 Teorema Un conjunto es infinito si y sólo si es equipotente con alguno<br />
de sus subconjuntos propios. Demostración Solo hace falta ver que si<br />
un conjunto es equipotente con alguno de sus subconjuntos propios, entonces<br />
es infinito, lo cual es equivalente a su contrarrecíproca, “si es finito, entonces<br />
con ninguno de sus subconjuntos propios es equipotente”, proposición ya demostrada.<br />
Cuando p ←→ q, también ¬p ←→ ¬q, de modo que además se tiene: Un<br />
conjunto es finito si y sólo si no posee un subconjunto propio con el cual sea<br />
equipotente.<br />
Esta propiedad se toma algunas veces como definición de conjunto finito,<br />
caso en el cual se llama “finitud en el sentido de Dedekind” por haber sido<br />
propuesta por él.<br />
Al concepto de finitud introducido en la definición del capítulo IV se le llama<br />
entonces “finitud en el sentido ordinario”. Hemos demostrado la equivalencia<br />
de las dos definiciones, merced al teorema <strong>3.</strong>12.<br />
Curso de Topolología General.<br />
http://www.virtual.unal.edu.co<br />
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