Tema 9

ASIGNATURA: ESTADÍSTICA II (Grado ADE,MIM,FBS)
TEMA 5: CONTRASTES DE HIPÓTESIS PARAMÉTRICAS
5.1. Contrastes paramétricos para una población
5.1.1. Contrastes para la media de una distribución Normal
5.1.2. Contrastes para la media. Caso general
5.1.3. Contrastes para la varianza de una distribución Normal
5.2. Contrastes para dos poblaciones: muestras independientes
5.2.1. Contrastes para la diferencia de medias en variables Normales
5.2.2. Contraste de igualdad de varianzas en variables Normales
5.2.3. Contrastes para la diferencia de medias. Caso general
5.3. Contrastes para la diferencia de medias: muestras pareadas
5.4. Contrastes para proporciones
5.4.1. Contrastes para una proporción
5.4.2. Contrastes para la diferencia de proporciones
1

OBJETIVOS: Al finalizar este tema, el alumno será capaz de:
• realizar contrastes sobre la media y la varianza de una distribución normal
• comparar dos poblaciones normales en términos de la diferencia de medias y la
igualdad de varianzas
• identificar los problemas con muestras independientes y con muestras pareadas
• realizar contrastes para una y dos proporciones
• elegir en cada situación el estadístico de contraste más adecuado y justificar su
elección
• definir la región crítica apropiada para cada tipo de problema
• interpretar críticamente los resultados de un contraste, señalar sus consecuencias
y tomar las decisiones oportunas en base a dichos resultados.
2

5.1. CONTRASTES PARAMÉTRICOS PARA UNA POBLACIÓN
5.1.1. CONTRASTES PARA LA MEDIA DE UNA DISTRIBUCIÓN NORMAL
Ejemplo 1: 1 Sea X la variable “rentabilidad de cierto tipo de fondos de
inversión”. Se considera que la media de esta variable es 15.
Un economista afirma que dicha rentabilidad media ha variado, por lo
que lleva a cabo un estudio sobre una muestra de 9 fondos cuya media
muestral resulta ser de 15,308 y cuya varianza muestral corregida
(cuasivarianza) es 0,193.
Con estos datos, ¿cómo contrastar la afirmación del economista al 5%
Sea (X 1 ,...,X n ) m.a.s. de X→N(µ,σ)
1 Ejemplo tomado de la asignatura Estadística II de la Universidad Carlos III de Madrid
(http://www.est.uc3m.es/esp/nueva_docencia/getafe/economia/estadistica_ii/documentacion_transp_archivos/tema2_2P_esp.pdf)
3

5.1.1.1. Con varianza σ 2 conocida
• H 0 :µ=µ 0 ⇒Estadístico de contraste: PivoteI.b. Z*=
Hipótesis alternativa:
X
0
σ/
− µ
n
H
⎯⎯ 0 →N(0,1)
• H 1 :µ>µ 0
1-α
N(0,1)
α
Rechazo H 0 cuando:
X − µ
0
σ/
n
≥z α ⇒ p-valor=p(Z*≥z obs )
z α
• H 1 :µ

5.1.1.2. Con varianza σ 2 desconocida
• H 0 :µ=µ 0 ⇒Estadístico de contraste: PivoteI.c. t*=
Hipótesis alternativa:
X − µ
S
c
0
/ n
⎯ H ⎯→
0
t n-1
• H 1 :µ>µ 0
1-α
t n-1
α
Rechazo H 0 cuando:
X − µ
S
c
0
/ n
≥t α ⇒ p-valor=p(t*≥t obs )
t α
• H 1 :µ

Relación entre contrastes bilaterales e intervalos de confianza:
H 0 :µ=µ 0
H 1 :µ≠µ 0
Región crítica: C={
X − µ
S
c
/
0
n
≥t α/2 } = {
X − µ
S
c
/
0
n
≤-t α/2 ,
X − µ
S
c
0
/ n
≥t α/2 } con p H0 (C)=α
Región de aceptación: A= {-t α/2 ≤
={
X − t
S c
n
α /2 ≤ µ 0 ≤ X +
t
α /2
S c
n
X − µ
S
}={ µ 0 ∈
c
0
/ n
α /2
S c
n
S c
n
≤t α/2 } = { − t ≤ X − µ ≤t
}=
S c
n
α /2
X ± t } , con p H0 (A)=1-α
Si µ 0 ∈ Intervalo de Confianza para µ con nivel de confianza 1-α
“Acepto” H 0 :µ=µ 0 con nivel de significación α
0
α /2
Contrastar H 0 :θ=θ 0 frente a H 1 :θ≠θ 0 con un nivel de significación α
EQUIVALE A:
Construir un intervalo de confianza para θ, con nivel de confianza 1-α,
y rechazar H 0 si θ 0 no está en dicho intervalo.
6

Ejemplo 1: (continuación)
Formular la hipótesis nula y la hipótesis alternativa:
Definir el estadístico de contraste:
Definir la región crítica para el nivel de significación dado:
Calcular el valor del estadístico de contraste para la muestra dada:
Tomar la decisión:
Calcular el p-valor:
Obtener el intervalo de confianza para µ al 95% y comentar resultados
7

5.1.2. CONTRASTES PARA LA MEDIA. CASO GENERAL
Sea (X 1 ,...,X n ) m.a.s. de X con E(X)=µ y Var(X)=σ 2
H 0 :µ=µ 0 H 0 :µ=µ 0 H 0 :µ=µ 0
H 1 :µ>µ 0 H 1 :µ

5.1.3. CONTRASTES PARA LA VARIANZA DE UNA DISTRIBUCIÓN NORMAL
n
H 0 :σ 2 = σ0
2 2
⇒Estadístico de contraste: PivoteI.d. 2 S ⎯⎯→
σ
H0
χ
2 n- 1
0
Hipótesis alternativa:
• H 1 :σ 2 > σ 0
2
1-α
• H 1 :σ 2 < σ 0
2
α
Rechazar H 0 cuando:
n S
σ
2
0
2
≥χ
n
2 -1,1-α
α
1-α
Rechazar H 0 cuando:
n S
σ
2
0
2
≤χ
n
2 -1,
α
• H 1 :σ 2 ≠σ
0
2
Rechazar H 0 cuando:
2
χ
n S
σ
2
0
n S
≤χ 2 ó 2
n −1α
≥ 2 , /2 2 n −1,1
−α/2
σ0
9

5.2. CONTRASTES PARA DOS POBLACIONES INDEPENDIENTES
5.2.1. CONTRASTE DE DIFERENCIA DE MEDIAS EN VARIABLES NORMALES
Ejemplo 2: El departamento de control de calidad de una empresa
sospecha que la calidad media de los productos fabricados en el turno
de noche es inferior a la de los productos fabricados en el turno de día.
Para contrastar esta sospecha, se eligen al azar 8 productos fabricados
en cada turno y se obtienen los siguientes índices de calidad
Turno de día 92 85 89 89 93 90 91 95
Turno de noche 82 86 96 89 87 86 83 92
X 1 ,...,X n1 m.a.s. de una N(µ 1 ,σ 1 )
X 1,...,X n2 m.a.s. de una N(µ 2 ,σ 2 )
independientes
10

5.2.1.1. Varianzas conocidas H 0 :µ 1 -µ 2 =δ 0
H 1 :µ 1 -µ 2 >δ 0
Estadístico de contraste: Pivote II.a. Bajo H 0 ⇒ Z * =
N(0,1)
( X1
− X2
) − δ0
2 2
σ1
σ2
n
1
+
n
2
→N(0,1)
1-α α
Rechazar H 0 si Z * ≥z α .
0 z α
¿ Y si queremos contrastar alternativas distintas: de otro lado o bilateral
⇒ H 0 :µ 1 -µ 2 =δ 0
H 1 :µ 1 -µ 2

5.2.1.2. Varianzas desconocidas iguales H 0 :µ 1 -µ 2 =δ 0
H 1 :µ 1 -µ 2 >δ 0
Estadístico de contraste: Pivote II.b. Bajo H 0 ⇒ t * 0
= →t
n + n −2
t n1+n2-2
1-α α
n1S
n
Rechazo H 0 cuando: t *
( X
2
X 1
1
1
− X
+ n2S
+ n −2
2
≥ tα
2
2
X 2
) −δ
1
n
1
1
+ n
2
1
2
0 t α
⇒ H 0 :µ 1 -µ 2 =δ 0
H 1 :µ 1 -µ 2

5.2.2. CONTRASTE DE VARIANZAS EN VARIABLES NORMALES
Ejemplo 3: 2
Un inversor quiere comparar los riesgos asociados a dos
mercados diferentes (A y B), teniendo en cuenta que dicho riesgo se mide
por la variabilidad en las fluctuaciones diarias de precios. Para ello se
obtienen datos de 21 cambios de precios diarios para el mercado A y de 16
para el mercado B, obteniéndose los siguientes resultados:
Mercado A Mercado B
X A = 0,3 X B =0,4
S cA = 0,25 S cB =0,45
X 1 ,...,X n1 m.a.s. de una N(µ 1 ,σ 1 )
X 1,...,X n2 m.a.s. de una N(µ 2 ,σ 2 )
independientes
2 Ejemplo tomado de http://www.est.uc3m.es/esp/nueva_docencia/getafe/economia/estadistica_ii/documentacion_transp_archivos/tema2_2P_esp.pdf)
13

2
Contraste bilateral: H 0 : σ 1 = σ
2 2
2
H 1 : σ1
≠σ
2 2
C1
Estadístico de contraste: PivoteII.d. Bajo H 0 ⇒ → F n 1,n 1
S
S
2
2
C2
1
−
2
−
α/2
1-α
α/2
C1
Rechazo H 0 cuando: {
S 2
C2
S
2
F α/2
F 1-α/2
2
SC1
≤ F α/2 ,
S 2
C2
≥ F 1-α/2 }
2 2
Otra opción: obtener el Intervalo de Confianza 1-α para σ 1 / σ 2 y rechazar H 0 si 1∉I.C.
Contrastes unilaterales:
2
• H 1 : σ 1 > σ 2 ⇒ Rechazar H 2
0 cuando
2
2
• H 1 : σ 1 < σ 2 ⇒ Rechazar H 2
0 cuando
2
S
S
S
S
2
C1
C2
2
C1
C2
> F 1-α
< F α
14

Ejemplo3: (continuación)
X = fluctuaciones diarias de precios en el mercado A→N(µ A ,σ A )
Y = fluctuaciones diarias de precios en el mercado B→N(µ B ,σ B )
• Formular la hipótesis nula y la hipótesis alternativa:
• Definir el estadístico de contraste y calcular su valor para la muestra dada:
• Definir la región crítica
• Calcular el p-valor:
• Tomar la decisión:
• Obtener el intervalo de confianza para
2
σ
2
1 / σ 2 y comentar resultados
15

Ejemplo 2: (continuación)
X = índice de calidad de productos fabricados de día →N(µ x ,σ x )
Y = índice de calidad de productos fabricados de noche →N(µ y ,σ y )
X,Y independientes
Contraste para comparar las medias:
H 0 :µ Y ≥µ X
H 1 :µ Y

5.2.3. CONTRASTES PARA DIFERENCIA DE MEDIAS. CASO GENERAL
Ejemplo 4: Novales (1997, p. 395)
Para contrastar la igualdad salarial entre hombres y mujeres de igual
ocupación se toma una muestra de 60 mujeres, que arroja un salario
medio de 1,04 mil €/mes con una cuasi-varianza de 0,256, y una
muestra de 120 hombres, con un salario medio de 1,25 mil €/mes y
cuasi-varianza 0,105. ¿Existe evidencia de que el salario (medio) de
los hombres es superior al de las mujeres α=0.05
X 1 = salario hombres; X 2 = salario mujeres; E(X i )=µ i ; Var(X i )=σ i 2 ;
H 0 :µ 1 =µ 2
H 1 :µ 1 >µ 2
17

Teorema central del límite:
( X
−
1 X 2)
( µ 1 µ 2)
2
σ1
2
σ2
n
1
−
+
n
2
−
A ~ N(0,1)
¡ Varianzas desconocidas ! ⇒ sustituirlas por estimadores consistentes:
Estadístico de contraste: Bajo H 0 ⇒ Z * =
( X
1
2
1
1
− X
2
ˆ σ ˆ σ +
n n
2
2
2
)
A ~ N(0,1)
H 0 : µ 1 =µ 2
H 1 : µ 1 >µ 2
H 0 : µ 1 =µ 2
H 1 : µ 1

Ejemplo 4: (continuación)
• Definir el estadístico de contraste
• Definir la región crítica
• Obtener el valor crítico para el nivel de significación dado
• Obtener el valor del estadístico de contraste para la muestra dada
• Tomar la decisión:
• Calcular el p-valor:
19

5.3. CONTRASTE DE DIFERENCIA DE MEDIAS. DATOS PAREADOS
Ejemplo 5: (Casas, 1997, pp. 262-264)
Se tienen los siguientes datos del consumo de gasolina por 1000 km
de una muestra aleatoria de 9 coches utilizando dos carburantes X e
Y (coches conducidos por los mismos conductores, en las mismas
carreteras, las mismas distancias, etc).
X 132 139 126 114 122 132 142 119 126
Y 124 141 118 116 114 132 145 123 121
D=X-Y 8 -2 8 -2 8 0 -3 -4 5
Suponiendo normalidad, contrasta al 1% si el consumo medio con
ambos carburantes es igual.
20

⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
X ...
Y
⎞
1
⎟
⎟
⎟
1 ⎠
⎛ ⎞
⎛ ⎞
⎜ X
n
⎜ m.a.s. de una Normal bidimensional
⎜ Y ⎟ ⎟⎟ ⎜
⎜
⎟ ⎟⎟
⎝ n ⎠
⎝ ⎠
⇒Diferencia: D=X-Y →N(µ D ,σ D ), con µ D =µ x -µ y , σ D =
Y X →N 2
⎛⎛
µ ⎞⎛
2
x σ x
⎜
⎜
⎟
⎜
⎝⎝
µ y ⎠⎝σ
xy
+
−
2 2
σ X σ Y 2
σ xy ⎞⎞
⎟
⎟
σ 2
y
⎠⎠
⇒Tengo una m.a.s: D 1 ,...,D n de una v.a. unidimensional: D→N(µ D ,σ D )
Contraste bilateral: 3 H 0 :µ x -µ Y =δ 0 H 0 : µ D =δ 0
H 1 :µ X -µ Y ≠δ 0 H 1 : µ D ≠δ 0
σ
XY
⇒Estadístico de contraste : Pivote I.c. bajo H 0 ⇒
S
D
C D
−δ 0
/ n
→t n-1
⇒Rechazo H 0 si:
D−δ 0
S / n
C D
≥ t α/2
Otra opción: obtener el Intervalo de Confianza 1-α para µ D y rechazar H 0 si δ 0 ∉I.C.
Importante: las muestras pareadas reducen el efecto de otros factores
3 Para alternativas H 1 unilaterales se procede como en los casos anteriores
21

Ejemplo 5: (continuación)
Contraste bilateral: H 0 :µ D =0
H 1 :µ D ≠0
1 n
D = ∑D
n
i=
1
i
1
n −1
=2; S D = ∑(D
−
n
i=
1
i
D)
2
=5.17
PIVOTE (I.c):
D
S
SC
D
−µ
D →t n-1 ⇒ I.C. para µ D al (1-α)% ⇒ µ D ∈D±t α/2 n
C D
/
n
‣ (1-α)=0.99 ⇒ 0.995=p(t 8 ≤ t α/2 ) ⇒ t α/2 =3.355
5,17
I.C.: [2 ±3.355x ]=[-3.78, 7.78] ⇒ Como µD =0∈ I.C.⇒ “Acepto” H 0 al 1%
9
‣ (1-α)=0.95 ⇒ 0.975=p(t 8 ≤ t α/2 ) ⇒ t α/2 =2.306
5,17
I.C.: [2 ±2.306x ]=[-1.97, 5.97] ⇒ Como µD =0∈ I.C.⇒ “Acepto” H 0 al 5%
9
22

5.4. CONTRASTES PARA PROPORCIONES
5.4.1. CONTRASTES PARA UNA PROPORCIÓN
Ejemplo 6: Un fabricante de automóviles trabaja con un proveedor que
afirma que no más del 5% de sus piezas son defectuosas. El fabricante
decide contrastar esta afirmación seleccionando de su inventario 20 piezas y
probándolas. ¿Deberá sospechar el fabricante de la afirmación del proveedor
si se descubren 2 piezas defectuosas en la muestra
Ejemplo 7: Peña (2001, p.393) La proporción de gente que votó a cierto
partido en las elecciones pasadas fue el 25%. Se toma hoy una muestra de
500 electores y se obtiene que el 22% votaría a dicho partido. ¿Hay
evidencia de un cambio en la intención de voto
Sea X 1 ,...,X n m.a.s de una Bernoulli b(p), X i =
⎩
⎨ ⎧
0
si ocurre A (éxito)
→
si ocurre A (fracaso) → 1−
p
ΣX i =nº de éxitos en la muestra; pˆ = _ X= proporción de éxitos en la muestra
1
p
23

Muestras “pequeñas” ⇒ Estadístico de contraste: ΣX i H 0
B(n,p 0 )
H 0 :p=p 0
H 1 :pp 0
H 0 :p=p 0
H 1 :p≠p 0
p-valor=p(ΣX i ≤(Σx i ) obs ) p-valor=p(ΣX i ≥ Σx i ) obs ) p-valor=2min{p(ΣX i ≥(Σx i ) obs ),p(ΣX i ≤(Σx i ) obs )}
Ejemplo 6: (continuación)
• Formular la hipótesis nula y la hipótesis alternativa:
• Definir el estadístico de contraste y su distribución:
• Definir la región crítica:
• Obtener el valor del estadístico para la muestra dada y calcular el p-valor:
• Tomar la decisión:
24

ˆ
p (1−
)
n p
Muestras “grandes”⇒Teorema Central del Límite: p−
p
~ N(0,1
)
ˆ
p (1−
p
⇒ Estadístico de contraste: Bajo H 0 ⇒ Z*= p − p0
(0,1 )
• H 0 :p=p 0
H 1 :pp 0
1-α
N(0,1)
α
Rechazo H 0 si
p
0
pˆ
− p
(1 − p
0
0
) / n
≥z α ⇒ p-valor=p(Z*≥z obs )
z α
25

• H 0 :p=p 0
H 1 :p≠p 0
α/2 N(0,1)
1-α α/2
Rechazo H 0 si: | |≥ z α/2
⇒ p-valor=p(|Z*|≥|z obs |)=2p(Z*≥|z obs |)
-z α/2 0 z α/2
¡ OJO ! ¡ diferencia importante respecto al intervalo de confianza !
Para construir el Intervalo de Confianza para p, el pivote es:
pˆ
− p
pˆ(1
−
n
pˆ)
~ N(0,1)
A
sustituimos p por su estimador
En problemas de proporciones, los contrastes bilaterales no se
resuelven a través del I.C. sino planteando la región crítica de 2 colas
26

Ejemplo 7: (continuación)
Formular la hipótesis nula y la hipótesis alternativa:
Definir el estadístico de contraste:
Definir la región crítica:
Calcular el valor del estadístico de contraste para la muestra dada:
Calcular el p-valor:
Tomar la decisión:
27

5.4.2. CONTRASTES PARA LA DIFERENCIA DE PROPORCIONES
Ejemplo 8: (Newbold, 1998, p. 270)
Se extrajeron dos muestras aleatorias independientes de estudiantes
universitarios de último curso de sexo masculino y femenino. De 120
hombres seleccionados, 107 esperaban disfrutar de un trabajo fijo en
un máximo de 10 años. De 141 mujeres seleccionadas, 73 tenían esa
esperanza. ¿Podemos concluir, con un nivel de significación del 5%,
que las expectativas de empleo son iguales en hombres y en mujeres
con estudios universitarios
X 1 ,...,X n m.a.s. de una v.a. X→b(p X )
Y 1 ,...,Y m m.a.s. de una v.a. Y→b(p Y )
independientes
28

Teorema Central del Límite: ( pˆ
X - pˆ
Y)
-(
pX
- pY)
~ N(01,
), donde pˆ p X(1−
X)
p Y(1
Y)
A
n p +
−
m p
X =X, pˆ Y =Y
Hipótesis nula: H 0 :p X =p Y =p 0
Estadístico de contraste: Bajo H 0 ⇒
p
0
pˆ
(1 − p
n
X
0
− pˆ
Y
) p
+
0
(1 −
m
p
0
)
=
p
0
pˆ
X − pˆ
Y
⎛ 1
(1 − p0)
⎜
⎝ n
+
1 ⎞
⎟
m ⎠
~ N(01,
A
)
Estimar p 0 con la media ponderada:
pˆ
0
=
n pˆ
X
n
+
+
m pˆ
m
Y
Hipótesis alternativa:
H 1 :p X >p Y H 1 :p X

Ejemplo 8: (continuación)
Formular la hipótesis nula y la hipótesis alternativa:
Definir el estadístico de contraste:
Definir la región crítica para el nivel de significación dado:
Calcular el valor del estadístico de contraste para la muestra dada:
Tomar la decisión:
Calcular el p-valor:
Obtener el intervalo de confianza para µ al 95% y comentar resultados
30

BIBLIOGRAFÍA BÁSICA
Canavos, G.C. (2001) Probabilidad y estadística: aplicaciones y
métodos, Madrid: McGraw-Hill.
Secciones 9.6, 9.7, 9.8
Casas, J.M. (1997) Inferencia estadística (incluye ejercicios resueltos).
Madrid: Centro de Estudios Ramón Areces.
Capítulo 6
BIBLIOGRAFÍA COMPLEMENTARIA:
Newbold (1998) Estadística para los Negocios y la Economía. 4ª ed.
Madrid: Prentice Hall.
Capítulo 9
Novales (1997) Estadística y Econometría. Madrid: McGraw Hill.
Capítulo 10
Peña, D. (2008) Fundamentos de estadística, Madrid: Alianza.
Secciones 10.4, 10.5, 10.6
31