Tema 8

ASIGNATURA: ESTADÍSTICA II (Grado ADE,MIM,FBS)
TEMA 4:
CONTRASTES DE HIPÓTESIS. CONCEPTOS BÁSICOS
4.1. Hipótesis estadística. Tipos de hipótesis
4.2. Región crítica y región de aceptación
4.3. Errores tipo I y tipo II. Función de potencia
4.4. Concepto de p-valor: cálculo e interpretación
4.5. Etapas en la realización de un contraste
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OBJETIVOS:
Al finalizar este tema, el alumno será capaz de:
formular la hipótesis nula y la hipótesis alternativa
identificar hipótesis simples e hipótesis compuestas
obtener el valor crítico de un contraste para un nivel de significación dado
calcular e interpretar el p-valor
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4.1. HIPÓTESIS ESTADÍSTICA. TIPOS DE HIPÓTESIS
Hipótesis estadística: afirmación sobre la distribución que genera los
datos o sobre alguna característica concreta de dicha distribución.
En inferencia paramétrica: Modelo paramétrico: X→ F(x;θ) ⇒ las hipótesis
son afirmaciones sobre un(os) parámetro(s) desconocido(s), θ, del modelo
Ejemplo 1: el partido A no obtendrá mayoría absoluta en las elecciones del 20N
X=
⎧
⎪
⎨
⎪⎩
1
0
si gana A
si no gana
p
A 1− p
Ejemplo 2: una moneda es perfecta
X=
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
1
0
si sale cara p
si sale cruz 1− p
→ b(p) ⇒ hipótesis: p≤0.5
→ b(p) ⇒ hipótesis: p=0.5
Ejemplo 3: hay discriminación salarial entre hombres y mujeres
X 1 =log(salario hombres) → N(µ 1 ,σ 1 )
X 2 =log(salario mujeres) → N(µ 2 ,σ 2 )
hipótesis: µ 1 ≠µ 2
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En inferencia no paramétrica (Tema 6): no se supone a priori un
modelo paramétrico, sino que se contrastan hipótesis más generales.
Ejemplo 3: hay discriminación salarial entre hombres y mujeres
X 1 =salario hombres → F 1 (x)
X 2 =salario mujeres → F 2 (x)
Hipótesis: F 1 ≠F 2
Hipótesis simple: asigna valores puntuales concretos a todos los
parámetros del modelo ⇒ la distribución queda totalmente especificada
Ejemplo 2:
X→b(p) ⇒ hipótesis: p=0.5
Hipótesis compuesta: asigna un rango de valores a los parámetros
Ejemplo 1:
X→b(p) ⇒ hipótesis: p≤0.5
Ejemplo 3: X 1 =log(salario hombres) → N(µ 1 ,σ 1 )
X 2 =log(salario mujeres) → N(µ 2 ,σ 2 )
hipótesis: µ 1 ≠µ 2
Ejemplo 4:
X→N(µ,σ) ⇒ hipótesis: µ=2 (realmente es: µ=2, σ>0 ¡compuesta!)
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Hipótesis nula H 0 : hipótesis que se somete a prueba y se matendrá como
cierta a menos que los datos muestren suficiente evidencia en su contra.
(En general, H 0 corresponde al modelo más sencillo: incluye el =)
Hipótesis alternativa H 1 : posibles alternativas a la hipótesis nula
Ejemplo 2:
H 0 : p=0.5 H 0 : p=0.5 H 0 : p=0.5
H 1 : p>0.5 H 1 : p

4.2. REGIÓN CRÍTICA Y REGIÓN DE ACEPTACIÓN
Una vez definidas las hipótesis, realizar el contraste consiste en :
Decidir si la hipótesis nula está sustentada por la evidencia empírica
que proporcionan los datos de una muestra aleatoria (X 1 ,...,X n ).
Analizar el grado de discrepancia entre los datos
(observados) y la hipótesis nula (postulada)
La decisión se basa en un estadístico de contraste =T(X 1 ,...,X n ).
Ejemplo 5: dos monedas, una perfecta (p=0.5) y otra con p=p(cara)>0.5
H 0 : p=0.5
H 1 : p>0.5
Estadístico de contraste: pˆ =X 0.75
Rechazo si X ≥0.75
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Región crítica=C={valores muestrales que conllevan rechazar H 0 }
⇒ Valor crítico= valor a partir del cual se rechaza H 0
Ejemplo 4: (continuación) Rechazo H 0 si la proporción de caras en la muestra es
mayor que 0.75, ¿por qué? Porque observar una proporción de caras superior al
75% sería harto improbable si H 0 fuera cierta (moneda perfecta) ⇒ los datos no
sustentan H 0 , por eso rechazo H 0
Región aceptación=A=̅={valores muestrales que conllevan no rechazar H 0 }
Ejemplo 4: (continuación) Muestra concreta: n=30, x =0.3 < 0.75 ⇒ No rechazo H 0
OBSERVACIÓN:
No rechazar H 0 no implica que H 0 sea cierta, sino que no hay evidencia
suficiente en los datos muestrales para rechazarla.
Rechazar H 0 no significa que H 0 sea falsa, sino que resulta muy difícil
creer que se haya podido observar algo tan improbable bajo H 0 .
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4.3. ERRORES TIPO I Y TIPO II. FUNCIÓN DE POTENCIA
¿Qué consecuencias puede conllevar la regla de decisión establecida?
¿Cuál es el “coste” de equivocarse tomando una decisión errónea?
Estado de la naturaleza
Decisión H 0 es cierta H 0 es falsa
“Aceptar” H 0 correcto Error tipo II
Rechazar H 0 Error tipo I correcto
α(θ) = p(Error tipo I) = p(rechazar H 0 /H 0 cierta) = ()
β(θ) = p(Error tipo II) = p(“Aceptar” H 0 /H 0 falsa) = (̅)
Función de potencia=p(Rechazar H 0 )=p θ (C)= (ERROR I) ∈
1 − (ERROR II) ∈
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Objetivo
minimizar p(Error tipo I) minimizar p(Error tipo II)
Para una muestra de tamaño n dada, ¡ IMPOSIBLE !
Metodología “clásica” de Neyman-Pearson:
Fijar el tamaño máximo tolerable de la p(Error tipo I), que llamaremos
nivel de significación α.
Valores habituales: α={0.01, 0.05, 0.1}
Elegir, entre todos las regiones críticas de nivel α, la que minimice la
p(Error tipo II): Test uniformemente más potente
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Ejemplo 6: (X 1 ,...,X 16 ) m.a.s. de una distribución N(µ,5)
H 0 : µ=10
H 1 : µ=15
Estadístico de contraste µˆ =X
Región crítica en la dirección de la alternativa ⇒ C= { X ≥ λ α }
Valor crítico: ¿Determinar λ α para un nivel de significación dado? Tomemos α=0.1
0.1 = p (C) = p ( )
H µ = 10 X≥λα
= = p ⎛ X − 10 λ −
⎟ ⎞
α 10
µ = 10
⎜
≥
0
5/ 16 5/ 16 ⎠
= ⎛ X −10
⎟ ⎞
p µ = 0
⎜ ≥ zα
⎝ 1.25 ⎠
⎝
1 ⇒ Tablas: z α =1.28
Bajo H 0 :µ=10 ⇒ X→ N(10, 5/ 16 ) ⇒
X −10
1.25
⎯ H ⎯→
0
N(0,1)
0.90
0.1
z α
Región crítica
X −10
Rechazar H 0 cuando: 1.25 ≥1.28 ⇔ X≥ 11.6
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β=p(Error tipo II) = H 1
(C)
⎛ X − 15
⎜
11,6 − 15 ⎞
≤
p = p µ=15( X ≤ 11, 6)
= ⎟ µ = 15
⎜
⎝ 1.25 1.25 ⎠
p
=Φ(-2.72)=0.0033
β=0.0033
H 0 H 1
α=0.1
µ=10 µ=15
λ α =11,6
R. Aceptación Región crítica
Si α=p(Error tipo I) disminuye ⇒ aumenta β=p(Error tipo II)
β=0.0465
H 0 H 1
α=0.01
µ=10 µ=15
λ α =12,9
R. Aceptación Región crítica
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La única forma de reducir ambos errores simultáneamente es aumentar n
Si n=100 ⇒Bajo H 0 : X → N(10,5/ 100 ); Bajo H 1 : X → N(15,5/ 100 ) ⇒ ↓α ↓β
H 0 H 1
β
α
11.6
R. Aceptación Región crítica
Alejar H 1 de H 0 ⇒ β↓ ⇒ aumenta la potencia: es más fácil discernir entre dos
hipótesis “alejadas” que entre dos hipótesis “cercanas”
β=0
H 0 H 1
α=0.1
µ=10 µ=20
λ α =11,6
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4.4. CONCEPTO DE P-VALOR: CÁLCULO E INTERPRETACIÓN
Limitaciones de la selección del nivel de significación:
Ejemplo 6: (continuación)
Estadístico: Z*=
H 0 : µ=10
H 1 : µ=15
X
−10
1.25
⎯ H ⎯→
0
X − 10
N(0,1) ⇒ Si α=0.10 ⇒ Rechazo H 0 si Z*= 1.25
≥1.28
a) Si x obs =15 ⇒ z obs =
15− 10
1.
25
=4 ≥ 1.28
⇒ Rechazo H 0 al 10% (z obs “significativo” al 10%)
12.5
− 10
b) Si x obs =12.5 ⇒ z obs =
1.25 =2≥1.28
⇒ Rechazo H 0 al 10% (z obs “significativo” al 10%)
Misma decisión, pero…¿poseen las dos muestras la misma evidencia contra H 0 ?
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El p-valor se define, para una muestra concreta, como la probabilidad de
observar, bajo H 0 , un valor del estadístico de contraste igual o más extremo
(en la dirección de la alternativa) que el observado en la muestra ⇔
probabilidad de obtener más discrepancia con H 0 que la obtenida con la muestra
Cuanto menor el p-valor ⇒ más extremo el resultado muestral ⇒ más evidencia contra H 0
Ejemplo 6: (continuación)
a) x obs =15 ⇒ z obs =4 ⇒ p-valor = p(Z* ≥ z obs ) = p(N(0,1) ≥ 4) = 0.00003
Obtener el valor observado, z obs , o alguno mayor es casi imposible bajo la
hipótesis nula ⇒ rechazo H 0 (no creo que H 0 haya generado mis datos).
b) x obs =12.5 ⇒ z obs =2 ⇒ p-valor = p(Z* ≥ z obs ) = p(N(0,1) ≥ 2) = 0,0228
El valor observado tiene una probabilidad de aparecer muy pequeña si H 0 es cierta,
pero no es tan improbable como antes ⇒ rechazo H 0 pero con “menos garantías”.
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p-valor muy pequeño ⇒ sería muy improbable observar lo
observado si H 0 hubiera generado mis datos ⇒ los datos
proporcionan evidencia suficiente en contra de H 0 ⇒ rechazo H 0
p-valor grande ⇒ nuestros datos no proporcionan evidencia
suficiente en contra de H 0 (es probable que H 0 haya generado
mis datos) y no rechazo.
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RELACIÓN ENTRE “nivel de significación” y “p-valor”
¿Qué ocurriría en el ejemplo anterior si el nivel de significación fuera α=0.01?
X −10
⇒ El valor crítico sería z α =2.33 ⇒ rechazaríamos H 0 si Z*= 1.25 ≥ 2.33
⇒ Si x obs =12.5 ⇒ z obs =2 < 2.33 ⇒ No rechazo al 1% (Si rechazaba al 10%)
α=0.10
p-valor=0.0218
1-α α=0.01
1.28 2 2.33
Rechazo H 0 al 1%
Rechazo H 0 al 10%
Rechazamos H 0 para niveles α ≥ p-valor
No rechazamos H 0 para niveles α< p-valor
p-valor = menor nivel
de significación al
que se rechaza H 0
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4.5. ETAPAS EN LA REALIZACIÓN DE UN CONTRASTE
1. Describir el modelo y formular la hipótesis nula y la alternativa
2. Definir un estadístico de contraste que cuantifique la discrepancia entre
los datos y la hipótesis nula, y cuya distribución sea conocida bajo H 0
3. Definir la región crítica: ¿Qué valores del estadístico de contraste
rechazan H 0 ?
4. Determinar el valor crítico para un nivel de significación α dado
5. Tomar los datos y calcular el valor del estadístico de contraste
4.' Tomar los datos y calcular el valor del estadístico de contraste
5.' Calcular el p-valor
6. Tomar la decisión de rechazar o no H 0
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BIBLIOGRAFÍA BÁSICA
Canavos, G.C. (2001), Probabilidad y estadística: aplicaciones y
métodos, Madrid: McGraw-Hill.
Secciones 9.1-9.3, 9.5
Casas, J.M. (1997), Inferencia estadística (incluye ejercicios
resueltos). 2ª ed. Madrid: Centro de Estudios Ramón Areces.
Capítulo 5
BIBLIOGRAFÍA COMPLEMENTARIA:
Peña, D. (2008), Fundamentos de estadística, Madrid : Alianza
Secciones 10.1 – 10.3
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