repaso de fundamentos matemáticos - QueGrande

PÁG. 16 DE 24 TEMA 0: REPASO FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS
0.2.7. DERIVADA PARCIAL (DERIVADA APLICADA A FUNCIONES MULTIVARIABLES)
Si consideramos una función de muchas variables (PREGUNTA: ¿qué era una función multivariable, si
no lo recuerdas, repasa el tema 0.2.5 en la página 9), entonces se puede derivar respecto de cada una de
ellas.
Q) ¿Qué es una derivada parcial Es una generalización de la derivada absoluta: es el cociente entre
el cambio del valor de la función respecto del cambio de una de sus variables, considerando las otras
variables como constantes.
C) ¿Cómo se representa matemáticamente la idea de derivada parcial
Tienes una función w que depende de tres variables x, y, z; es decir w=w(x,y,z) (observa esta
notación: hemos simplificado un poco utilizando la misma letra: w a la izquierda y w a la derecha, en lugar
de w=g(x,y,z), por ejemplo). La derivada parcial de w respecto de x se representa y define así:
Cambio
678
en x
w w( x +Dx , yz , )-wxyz
( , , )
= lim
x D x®
0
Dx
(T0. 29)
es decir: partimos del valor de la función w en (x,y,z), y luego desplazamos x a x+Dx, sin cambiar y ni z, y
comparamos los cambios de w y de x. Luego hacemos Dx muy pequeña.
Las derivadas parciales respecto de las otras dos variables se definen de modo análogo:
w wxy ( , +Dyz , )-wxyz
( , , )
= lim
y
y
D y ® 0
D
w wxyz ( , , +Dz) -wxyz
( , , )
= lim
z D z ® 0
Dz
(T0. 30)
(T0. 31)
Observa: sólo hemos considerado el cambio en y en (T0. 30), y el cambio en z en (T0. 31).
¿Cómo se calcula una derivada parcial Como si fuese una derivada absoluta respecto de una de sus
variables, manipulando las otras como si fuesen provisionalmente constantes.
EJEMPLO 0. 26: Si tienes w=2.x 2 .y+4.z 3 −3.z.ln(y), derivas con respecto a x, considerando y y z
constantes:
}
}
const.
const.
const.
64748
2 3 3
w ( 2xy + 4z - 3zlny)
(2 yx ( )
2 ) 4z ( 3zlny)
= = + - =
x x x x x
2
( x )
w
= 2y + 0- 0 = 2 y(2 x) = 4xy Þ = 4xy
x
x
(T0. 32)
Derivas parcialmente respecto de y, esta vez “aislando” x y z:
} }
const.
const.
const.
2 3 }
( + - 2
) (
3
w 2xy 4z 3zlny (2 x y) 4z
) (3z ln y)
= = + - =
y y y y y
( )
y
2 (ln y) 2 æ 1ö
w 2 3z
= 2x + 0- 3z = 2x -3zç ÷ Þ = 2x
-
y y èy ø y y
(T0. 33)
J. BRÉGAINS APUNTES COMPLEMENTARIOS DE FMC