repaso de fundamentos matemáticos - QueGrande

PÁG. 20 DE 24 TEMA 0: REPASO FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS
Traduzcamos esta ecuación: partimos del punto x=x 0 =a, y allí calculamos el valor de f, es decir f(x 0 ).
Este resultado lo multiplicamos por Dx. A continuación, avanzamos en x una distancia Dx, es decir, pasamos
a x 0 +Dx, y, luego de calcular f(x 0 +Dx), lo multiplicamos por Dx, y sumamos a la multiplicación anterior, así
continuamos con x 0 +2Dx, x 0 +3Dx, hasta alcanzar x 0 +NDx=x N =b. Esta suma, entonces, recorre la función con
la variable yendo x desde a hasta b (avanzando en pequeñas porciones Dx). El proceso puede refinarse
haciendo Dx más pequeña, aumentando a su vez el número de divisiones N. En el límite, esta suma está
compuesta por infinitos términos (N®¥), pero como los límites a y b son fijos, entonces Dx tiene que
hacerse muy pequeña, de modo que se cumpla b−a=N.Dx. Con esa condición de límite se dice que se
obtiene la integral definida de f(x) entre a y b, y eso se representa por:
N
xN
å ( 0
+ D ) D = ò = ò
lim f x n x x f( x) dx f( x)
dx (T0. 43)
D x® 0
N®¥
n = 0
x0
a
Una vez que hemos presentado el concepto, el cómo de la definición, presentamos la técnica para
resolver estas integrales en la práctica.
¿Cómo se calcula
El cálculo de la integral definida consiste en tres pasos: i) Obtener la primitiva (la antiderivada) F(x)
del integrando f(x); ii) Calcular la F(x) en los extremos, es decir, obtener F(a) y F(b); iii) Finalmente, realizar
la diferencia F(b)−F(a): ése es el resultado de la integración, como lo indica la ecuación (T0. 44).
b
b
ò
a
dF( x)
f( x) dx = Fb ( )- Fa ( ); teniendo en cuenta que = f( x).
dx
(T0. 44)
ACLARACIÓN: el resultado final de una integral definida puede ser una función o puede ser un número,
eso depende, fundamentalmente, de los valores que se asignen a los extremos a y b.
EJEMPLO 0. 31: Calcula la integral definida entre x=a y x=b de f(x)=cos(x). Seguimos la secuencia
descrita anteriormente:
b
b
òcos( x) dx = sen( x) = sen( b) -sen( a )
(T0. 45)
a 1442443
a
Paso i): Obtener la
primitiva de cos(x):
Pasos ii) y iii): Calcular el valor de la
primitiva en los extremos y restar ambos
XVI
Cuando se realizan cálculos por ordenador de estas integrales definidas, se realizan sumas finitas. El cálculo
numérico de integrales es un tema que está fuera del alcance de este repaso, y que tampoco utilizaremos en esta
asignatura.
J. BRÉGAINS APUNTES COMPLEMENTARIOS DE FMC