Computational Logic Chapter 5. Intuitionistic Logic

Computational Logic
Chapter 5. Intuitionistic Logic
Pedro Cabalar
Dept. Computer Science
University of Corunna, SPAIN
January 18, 2011
P. Cabalar ( Dept. Ch5. Computer Intuitionistic ScienceLogic University of Corunna, SPAIN January ) 18, 2011 1 / 13

Outline
1 Lógica intuicionista
P. Cabalar ( Dept. Ch5. Computer Intuitionistic ScienceLogic University of Corunna, SPAIN January ) 18, 2011 2 / 13

Intuicionismo
Lógica intuicionista
Intuicionismo (L. E. J. Brouwer, 1920’s) es un tipo de
constructivismo matemático.
Todo objeto matemático es una construcción mental. Debe existir,
por tanto, una forma o método para construirlo.
Hay muchas propiedades matemáticas no resueltas. Ejemplos:
Conjetura de Goldbach: todo número par es suma de dos primos
¿Contiene π nueve nueves seguidos Sea A(n) = “el n-ésimo
número de π está precedido por 8 nueves”
P. Cabalar ( Dept. Ch5. Computer Intuitionistic ScienceLogic University of Corunna, SPAIN January ) 18, 2011 3 / 13

Intuicionismo
Lógica intuicionista
Intuicionismo (L. E. J. Brouwer, 1920’s) es un tipo de
constructivismo matemático.
Todo objeto matemático es una construcción mental. Debe existir,
por tanto, una forma o método para construirlo.
Hay muchas propiedades matemáticas no resueltas. Ejemplos:
Conjetura de Goldbach: todo número par es suma de dos primos
¿Contiene π nueve nueves seguidos Sea A(n) = “el n-ésimo
número de π está precedido por 8 nueves”
. Cabalar ( Dept. Ch5. Computer Intuitionistic ScienceLogic University of Corunna, SPAIN January ) 18, 2011 3 / 13

Intuicionismo
Lógica intuicionista
Intuicionismo (L. E. J. Brouwer, 1920’s) es un tipo de
constructivismo matemático.
Todo objeto matemático es una construcción mental. Debe existir,
por tanto, una forma o método para construirlo.
Hay muchas propiedades matemáticas no resueltas. Ejemplos:
Conjetura de Goldbach: todo número par es suma de dos primos
¿Contiene π nueve nueves seguidos Sea A(n) = “el n-ésimo
número de π está precedido por 8 nueves”
. Cabalar ( Dept. Ch5. Computer Intuitionistic ScienceLogic University of Corunna, SPAIN January ) 18, 2011 3 / 13

Intuicionismo
Lógica intuicionista
Como resultado: es más restrictivo que el razonamiento clásico.
Decir que existe un objeto ∃xφ(x) no equivale a probar su no
existencia ¬∀x¬φ(x).
No acepta la ley del tercero excluido φ ∨ ¬φ. Ejemplo
∃xA(x) ∨ ¬∃xA(x)
No acepta el principio de doble negación ¬¬φ ≡ φ. Ejemplo:
¬¬(∃xA(x) ∨ ¬∃xA(x)) es válido.
Una de las leyes de de Morgan falla ¬(φ ∧ ψ) ↛ ¬φ ∨ ¬ψ.
P. Cabalar ( Dept. Ch5. Computer Intuitionistic ScienceLogic University of Corunna, SPAIN January ) 18, 2011 4 / 13

Intuicionismo
Lógica intuicionista
Como resultado: es más restrictivo que el razonamiento clásico.
Decir que existe un objeto ∃xφ(x) no equivale a probar su no
existencia ¬∀x¬φ(x).
No acepta la ley del tercero excluido φ ∨ ¬φ. Ejemplo
∃xA(x) ∨ ¬∃xA(x)
No acepta el principio de doble negación ¬¬φ ≡ φ. Ejemplo:
¬¬(∃xA(x) ∨ ¬∃xA(x)) es válido.
Una de las leyes de de Morgan falla ¬(φ ∧ ψ) ↛ ¬φ ∨ ¬ψ.
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Intuicionismo
Lógica intuicionista
Como resultado: es más restrictivo que el razonamiento clásico.
Decir que existe un objeto ∃xφ(x) no equivale a probar su no
existencia ¬∀x¬φ(x).
No acepta la ley del tercero excluido φ ∨ ¬φ. Ejemplo
∃xA(x) ∨ ¬∃xA(x)
No acepta el principio de doble negación ¬¬φ ≡ φ. Ejemplo:
¬¬(∃xA(x) ∨ ¬∃xA(x)) es válido.
Una de las leyes de de Morgan falla ¬(φ ∧ ψ) ↛ ¬φ ∨ ¬ψ.
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Intuicionismo
Lógica intuicionista
Como resultado: es más restrictivo que el razonamiento clásico.
Decir que existe un objeto ∃xφ(x) no equivale a probar su no
existencia ¬∀x¬φ(x).
No acepta la ley del tercero excluido φ ∨ ¬φ. Ejemplo
∃xA(x) ∨ ¬∃xA(x)
No acepta el principio de doble negación ¬¬φ ≡ φ. Ejemplo:
¬¬(∃xA(x) ∨ ¬∃xA(x)) es válido.
Una de las leyes de de Morgan falla ¬(φ ∧ ψ) ↛ ¬φ ∨ ¬ψ.
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Intuicionismo
Lógica intuicionista
Como resultado: es más restrictivo que el razonamiento clásico.
Decir que existe un objeto ∃xφ(x) no equivale a probar su no
existencia ¬∀x¬φ(x).
No acepta la ley del tercero excluido φ ∨ ¬φ. Ejemplo
∃xA(x) ∨ ¬∃xA(x)
No acepta el principio de doble negación ¬¬φ ≡ φ. Ejemplo:
¬¬(∃xA(x) ∨ ¬∃xA(x)) es válido.
Una de las leyes de de Morgan falla ¬(φ ∧ ψ) ↛ ¬φ ∨ ¬ψ.
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Lógica intuicionista
Lógica Intuicionista
Formalización del intuicionismo: Arend Heyting 1930. Veamos
axiomatización del caso proposicional (IPC).
Cálculo positivo de Hilbert (HPC)
p → (q → p)
(p → (p → q)) → (p → q)
(p → q) → ((q → r) → (p → r))
(p ∧ q) → p
(p ∧ q) → q
p → (q → (p ∧ q))
p → p ∨ q
q → p ∨ q
(p → q) → ((q → r) → (p ∨ q → r))
más las reglas de Modus Ponens y Sustitución Uniforme.
P. Cabalar ( Dept. Ch5. Computer Intuitionistic ScienceLogic University of Corunna, SPAIN January ) 18, 2011 5 / 13

Lógica intuicionista
Lógica Intuicionista
Formalización del intuicionismo: Arend Heyting 1930. Veamos
axiomatización del caso proposicional (IPC).
Cálculo positivo de Hilbert (HPC)
p → (q → p)
(p → (p → q)) → (p → q)
(p → q) → ((q → r) → (p → r))
(p ∧ q) → p
(p ∧ q) → q
p → (q → (p ∧ q))
p → p ∨ q
q → p ∨ q
(p → q) → ((q → r) → (p ∨ q → r))
más las reglas de Modus Ponens y Sustitución Uniforme.
. Cabalar ( Dept. Ch5. Computer Intuitionistic ScienceLogic University of Corunna, SPAIN January ) 18, 2011 5 / 13

Lógica intuicionista
Lógica Intuicionista
El cálculo proposicional intuicionista se define como
IPC=HPC + los axiomas de negación
(p → ¬p) → ¬p
¬p → (p → q)
El cálculo proposicional clásico se puede definir como
PC=IPC + tercio excluido p ∨ ¬p
PC=HPC + (¬p → ¬q) → (q → p).
HPC se usa en otras lógicas de negación más débil que la
intuicionista. Ejemplo: Lógica Minimal de Johansson
JPC=HPC+(p → q) → (¬q → ¬p)+¬(p ∧ ¬p)
P. Cabalar ( Dept. Ch5. Computer Intuitionistic ScienceLogic University of Corunna, SPAIN January ) 18, 2011 6 / 13

Lógica intuicionista
Lógica Intuicionista
El cálculo proposicional intuicionista se define como
IPC=HPC + los axiomas de negación
(p → ¬p) → ¬p
¬p → (p → q)
El cálculo proposicional clásico se puede definir como
PC=IPC + tercio excluido p ∨ ¬p
PC=HPC + (¬p → ¬q) → (q → p).
HPC se usa en otras lógicas de negación más débil que la
intuicionista. Ejemplo: Lógica Minimal de Johansson
JPC=HPC+(p → q) → (¬q → ¬p)+¬(p ∧ ¬p)
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Lógica intuicionista
Lógica Intuicionista
El cálculo proposicional intuicionista se define como
IPC=HPC + los axiomas de negación
(p → ¬p) → ¬p
¬p → (p → q)
El cálculo proposicional clásico se puede definir como
PC=IPC + tercio excluido p ∨ ¬p
PC=HPC + (¬p → ¬q) → (q → p).
HPC se usa en otras lógicas de negación más débil que la
intuicionista. Ejemplo: Lógica Minimal de Johansson
JPC=HPC+(p → q) → (¬q → ¬p)+¬(p ∧ ¬p)
P. Cabalar ( Dept. Ch5. Computer Intuitionistic ScienceLogic University of Corunna, SPAIN January ) 18, 2011 6 / 13

Lógica intuicionista
Lógica Intuicionista
En primer orden añadimos los axiomas:
ϕ(t) → ∃xϕ(x)
∀xϕ(x) → ϕ(t)
y las reglas
ψ → ϕ(x)
ψ → ∀ϕ(x)
ϕ(x) → ψ
∃xϕ(x) → ψ
con x no libre en t o en ψ.
Todas las conectivas ∧, ∨, →, ⊥, ∃, ∀ son necesarias. Tan sólo
podemos definir ¬ϕ como ϕ → ⊥.
P. Cabalar ( Dept. Ch5. Computer Intuitionistic ScienceLogic University of Corunna, SPAIN January ) 18, 2011 7 / 13

Lógica intuicionista
Lógica Intuicionista
En primer orden añadimos los axiomas:
ϕ(t) → ∃xϕ(x)
∀xϕ(x) → ϕ(t)
y las reglas
ψ → ϕ(x)
ψ → ∀ϕ(x)
ϕ(x) → ψ
∃xϕ(x) → ψ
con x no libre en t o en ψ.
Todas las conectivas ∧, ∨, →, ⊥, ∃, ∀ son necesarias. Tan sólo
podemos definir ¬ϕ como ϕ → ⊥.
P. Cabalar ( Dept. Ch5. Computer Intuitionistic ScienceLogic University of Corunna, SPAIN January ) 18, 2011 7 / 13

Lógica Intuicionista
Lógica intuicionista
Cálculo de secuentes intuicionista. Basta con modificar el caso
clásico del siguiente modo:
Los secuentes sólo tienen una fórmula al lado derecho Γ, α ⊢ β
Cambiamos la regla
Γ, α ⊢ ∆ Γ ′ , β ⊢ ∆ ′
Γ, Γ ′ , α ∨ β ⊢ ∆, ∆ ′ ∨L
por la nueva:
Γ, α ⊢ ϕ Γ ′ , β ⊢ ϕ
Γ, Γ ′ , α ∨ β ⊢ ϕ
∨L
P. Cabalar ( Dept. Ch5. Computer Intuitionistic ScienceLogic University of Corunna, SPAIN January ) 18, 2011 8 / 13

Lógica Intuicionista
Lógica intuicionista
Para primer orden (al igual que en clásico) añadimos las reglas:
Γ, α(y) ⊢ ∆
Γ, ∃xα(x) ⊢ ∆ (∃L) Γ ⊢ α(t), ∆
Γ ⊢ ∃xα(x), ∆
(∃R)
Γ, α(t) ⊢ ∆
Γ, ∀xα(x) ⊢ ∆ (∀L) Γ ⊢ α(y), ∆
Γ ⊢ ∀xα(x), ∆
(∀R)
ojo (∃L), (∀R) sólo cuando y no aparece en ninguna otra fórmula.
P. Cabalar ( Dept. Ch5. Computer Intuitionistic ScienceLogic University of Corunna, SPAIN January ) 18, 2011 9 / 13

Lógica intuicionista
Lógica Intuicionista: semántica Kripke
Semántica Kripke para cálculo intuicionista proposicional.
Muy similar a modal, tenemos 〈W , ≤, V 〉 con W conjunto de
mundos, ≤ accesibilidad y V : W × Atoms → {0, 1}.
. . . pero además:
1 Condición de persistencia: si w ≤ u y V (w, p) = 1 entonces
V (u, p) = 1.
2 ≤ es una relación de orden parcial (transitiva, reflexiva).
P. Cabalar ( Dept. Ch5. Computer Intuitionistic ScienceLogic University of Corunna, SPAIN January ) 18, 2011 10 / 13

Lógica intuicionista
Lógica Intuicionista: semántica Kripke
Semántica Kripke para cálculo intuicionista proposicional.
Muy similar a modal, tenemos 〈W , ≤, V 〉 con W conjunto de
mundos, ≤ accesibilidad y V : W × Atoms → {0, 1}.
. . . pero además:
1 Condición de persistencia: si w ≤ u y V (w, p) = 1 entonces
V (u, p) = 1.
2 ≤ es una relación de orden parcial (transitiva, reflexiva).
. Cabalar ( Dept. Ch5. Computer Intuitionistic ScienceLogic University of Corunna, SPAIN January ) 18, 2011 10 / 13

Lógica intuicionista
Lógica Intuicionista: semántica Kripke
La satisfactibilidad se define como
w |= p si V (p, w) = 1
w |= ϕ ∨ ψ si w |= ϕ o w |= ψ
w |= ϕ ∧ ψ si w |= ϕ y w |= ψ
w |= ϕ → ψ si para todo u tal que w ≤ u, u ̸|= ϕ o u |= ψ.
w ̸|= ⊥
Ejemplos: probar la no validez de ϕ ∨ ¬ϕ o de ¬¬ϕ → ϕ.
P. Cabalar ( Dept. Ch5. Computer Intuitionistic ScienceLogic University of Corunna, SPAIN January ) 18, 2011 11 / 13

Lógica intuicionista
Lógica Intuicionista: semántica Kripke
La satisfactibilidad se define como
w |= p si V (p, w) = 1
w |= ϕ ∨ ψ si w |= ϕ o w |= ψ
w |= ϕ ∧ ψ si w |= ϕ y w |= ψ
w |= ϕ → ψ si para todo u tal que w ≤ u, u ̸|= ϕ o u |= ψ.
w ̸|= ⊥
Ejemplos: probar la no validez de ϕ ∨ ¬ϕ o de ¬¬ϕ → ϕ.
P. Cabalar ( Dept. Ch5. Computer Intuitionistic ScienceLogic University of Corunna, SPAIN January ) 18, 2011 11 / 13

Lógica intuicionista
Lógica Intuicionista: semántica Kripke
En primer orden la cosa se complica. El dominio o universo no
tiene por qué ser fijo. Tenemos D w para cada w ∈ W .
La persistencia implica ahora que, si w ≤ u entonces D w ⊆ D u ,
los átomos ciertos en D w lo son también en D u y las
correspondencias de functiones en w se mantienen en u.
Por lo demás, es similar a clásico
w |= ∀xϕ(x) si para todo d ∈ D w , w |= ϕ(d)
w |= ∃xϕ(x) si para algún d ∈ D w , w |= ϕ(d)
P. Cabalar ( Dept. Ch5. Computer Intuitionistic ScienceLogic University of Corunna, SPAIN January ) 18, 2011 12 / 13

Lógica intuicionista
Lógica Intuicionista: semántica Kripke
En primer orden la cosa se complica. El dominio o universo no
tiene por qué ser fijo. Tenemos D w para cada w ∈ W .
La persistencia implica ahora que, si w ≤ u entonces D w ⊆ D u ,
los átomos ciertos en D w lo son también en D u y las
correspondencias de functiones en w se mantienen en u.
Por lo demás, es similar a clásico
w |= ∀xϕ(x) si para todo d ∈ D w , w |= ϕ(d)
w |= ∃xϕ(x) si para algún d ∈ D w , w |= ϕ(d)
. Cabalar ( Dept. Ch5. Computer Intuitionistic ScienceLogic University of Corunna, SPAIN January ) 18, 2011 12 / 13

Lógica intuicionista
Lógica Intuicionista: semántica Kripke
En primer orden la cosa se complica. El dominio o universo no
tiene por qué ser fijo. Tenemos D w para cada w ∈ W .
La persistencia implica ahora que, si w ≤ u entonces D w ⊆ D u ,
los átomos ciertos en D w lo son también en D u y las
correspondencias de functiones en w se mantienen en u.
Por lo demás, es similar a clásico
w |= ∀xϕ(x) si para todo d ∈ D w , w |= ϕ(d)
w |= ∃xϕ(x) si para algún d ∈ D w , w |= ϕ(d)
. Cabalar ( Dept. Ch5. Computer Intuitionistic ScienceLogic University of Corunna, SPAIN January ) 18, 2011 12 / 13

Lógica intuicionista
Lógica Intuicionista: correspondencia con S4
Podemos traducir fórmulas intuicionistas a S4 (Gödel 1933)
⊥ ′ := ⊥
p ′ := Lp
(ϕ ∧ ψ) ′ := ϕ ′ ∧ ψ ′
(ϕ ∨ ψ) ′ := Lϕ ′ ∨ Lψ ′
(ϕ → ψ) ′ := Lϕ ′ → Lψ ′
(¬ϕ) ′ := ¬Lϕ ′
ϕ es un teorema en IPC sii ϕ ′ es un teorema en S4.
P. Cabalar ( Dept. Ch5. Computer Intuitionistic ScienceLogic University of Corunna, SPAIN January ) 18, 2011 13 / 13