<strong>de</strong> hecho, el último paso <strong>de</strong> este eventual hecho ocurre cuando sólo quedan dos <strong>de</strong> diferentecolor y el resto tienen el tercer color y por en<strong>de</strong>, cuando estos dos se encuentren se convertiránal tercer color, quedando todos iguales. Pasa exactamente lo mismo cuando se tengan dosgrupos <strong>de</strong> diferente color con la misma cantidad <strong>de</strong> camaleones. Por tanto, todo se reduce acomprobar si es posible, o no, <strong>de</strong> que en algún momento se tengan dos grupos <strong>de</strong> diferentecolor con la misma cantidad <strong>de</strong> camaleones. Para esto, jemos i = 0, j = 0 y k = 0, lasvariables que nos serviran para contar, <strong>de</strong> manera que cada vez que ocurre un encuentroentre dos camaleones, se tiene que:• i = i + 1 : Si se encuentran un camaleon ver<strong>de</strong> con uno rojo.• j = j + 1 : Si se encuentran un camaleon ver<strong>de</strong> con uno amarillo.• k = k + 1 : Si se encuentran un camaleon amarillo con uno rojo.Por tanto, <strong>de</strong>spués <strong>de</strong> i + j + k encuentros, se tiene que hay:• 13 − i + 2j − k camaleones rojos• 15 − i − j + 2k camaleones ver<strong>de</strong>s• 17 + 2i − j − k camaleones amarillosPor lo tanto, tenemos sólo tres posibilida<strong>de</strong>s, la primera es si los camaleones rojos se igualanen cantidad, con los ver<strong>de</strong>s:13 − i + 2j − k = 15 − i − j + 2k⇒ 3(j − k) = 2lo cual es imposible, es <strong>de</strong>cir, no existen i, j y k tal que se cumpla esa ecuación, la segundaes si los camaleones rojos se igualan en cantidad con los amarillos:13 − i + 2j − k = 17 + 2i − j − k⇒ 3(j − i) = 4lo cual también es imposible dado que 4 no es múltiplo <strong>de</strong> 3, por último, tenemos la terceraposibilidad que es cuando los camaleones ver<strong>de</strong>s se igualan en cantidad a los amarillos, eneste caso se tiene:15 − i − j + 2k = 17 + 2i − j − k⇒ 3(k − i) = 2y estariamos como en el primer caso. Por tanto concluimos que nunca se tendrán todoslos camaleones <strong>de</strong>l mismo color. Por último, les sugerimos comprobar que si en vez <strong>de</strong> 17amarillos, hubiesemos tenido <strong>19</strong>, entonces si hubiese sido posible.2
<strong>PRUEBA</strong> <strong>NACIONAL</strong><strong>19</strong> ◦ <strong>Olimpiada</strong> <strong>de</strong> MatemáticasPrueba <strong>de</strong> Nivel Menores. Segunda Parte 25 <strong>de</strong> Agosto 2007Tiempo: 2 horas4. Sea n un número natural. Se sabe que po<strong>de</strong>mos escribir n 3 como la suma <strong>de</strong> n númerosnaturales impares consecutivos. Por ejemplo1 3 = 12 3 = 3 + 53 3 = 7 + 9 + 114 3 = 13 + 15 + 17 + <strong>19</strong>Determine el primero y el último <strong>de</strong> los 72 números impares consecutivos que se usan pararepresentar 72 3 como arriba.SOL:La i<strong>de</strong>a es escribir 72 3<strong>de</strong>cir,como la suma <strong>de</strong> 72 números naturales consecutivos e impares, es72 3 = (a + 0) + (a + 2) + (a + 4) + · · · + (a + (2 × 72 − 2))= (a + a + · · · + a) + (2 + 4 + · · · + 142)71 × 72= 72 × a + 22= 72 × a + 72 × 71<strong>de</strong> don<strong>de</strong> a = 72 2 − 71 = 5113 , por lo tanto, nos queda5. Sea a un digito entre 1 y 9. Denotaremos por72 3 = 5113 + 5515 + · · · + 5255 .aa . . . a } {{ }n vecesal número cuya expresión <strong>de</strong>cimal está formada por n digitos a.(a) Demuestre que la i<strong>de</strong>ntidadaa } {{ . . . a}= a nn vecesno se satisface para ningún entero n.(b) Para ningún n > 1 pue<strong>de</strong> ser aa } {{ . . . a}un cuadrado perfecto.n vecesSOL:(a) Basta ver queaa . . . a ≥ a × 10 n−1 > a n .3