Taller 6 - Universidad de Talca

Universidad de Talca Taller de Matemática 2009Estudiantes de Enseñanza MediaTaller 6IntroducciónDesde niños (as) sabemos como dibujar una estrella sin levantar el lápiz ni pasar dosveces por el mismo trazo.Si no la han hecho nunca vean que es posible.Un desafío que muchas veces se plantea consiste en, dibujar sin levantar el lápiz nipasar dos veces por la misma línea, el siguiente dibujoConocido como el sobre abierto.Problema 1. Sobre abiertoDibuja el sobre abierto con las condiciones requeridas.¿De cuantas maneras distintas se puede trazar este dibujo?, Una, dos, más que dos?Problema 2. Sobre cerrado¿Qué pasa si consideramos un sobre cerrado?Este tipo de problemas se relaciona con el problema que entretenía a los habitantes deKönigsberg, Prusia (1770) (actualmente Kalingrado, Rusia) , a saber: Por la ciudadpasa el río Pregel y en el río hay dos islas que se conectan con el resto de la ciudad porsiete (7) puentes como muestra la figura.

Universidad de Talca Taller de Matemática 2009Estudiantes de Enseñanza MediaLos puentes se muestran entre las líneas negras. La entretención de los habitantes de laciudad consistía en tratar de encontrar un recorrido que partiera en alguna parte de laciudad y que pasara por todos los puentes (los 7) sin pasar por ninguno de ellos mas queuna vez. Leonard Euler, uno de los mas grandes matemáticos que ha existido, seintereso por el problema cuando vivió en esta ciudad y lo resolvió. Lo primero que sedio cuenta es que en este problema las distancias no tienen ninguna importancia y lorealmente crucial es la manera en que las porciones de tierra están conectadas unas conotras.De esta manera hizo una abstracción del problema, asignando a cada porción de tierraun “vértice” y a cada puente una “arista”, obteniendo el siguiente esquema:Problema 3. Una explicacióna) Explica como los problemas anteriores se relacionan con este.b) Trata de encontrar un recorrido que realice lo pedido. (Puede ser útil asociar a cadavértice un nombre (por ej. a,b,c, etc. o 1,2,3,tec.)Estas consideraciones llevan a hacer la siguiente definición:DefiniciónUn grafo es un diagrama que consiste de puntos llamados vértices unidos por líneas,llamadas aristas, donde cada arista une exactamente dos vértices.Gráficamente representaremos los vértices por puntos y las aristas por líneas que losunen. Un vértice puede tener 0 o más aristas, pero toda arista debe unir exactamente 2vértices.Ejemplos:Para los dibujos de la primera página tenemos:

Universidad de Talca Taller de Matemática 2009Estudiantes de Enseñanza MediaProblema 4. Dibujando grafosDibujar los grafos correspondientes al sobre abierto y al cerrado.Como usamos estos esquemas para poder decir algo sobre los problemas que nosinteresan. Observamos que en un grafo se pueden contar el número de vértices y elnúmero de aristas. Mas aún podemos contar el numero de aristas que inciden (llegan osalen) de cada vértice. Es natural entonces la siguienteGradoDefinición: Si v es un vértice de un grafo entonces su grado, denotado gr(v), es elnúmero de aristas incidentes en él.Ejemplo:cbdaEl vértice a tiene grado 1, el vértice b tiene grado 3, los vértices c y d tienen grado 2 c/u.Problema 5. Hallando gradosPara los grafos anteriores encuentre los grados. Que puede decir para aquellos dondeUd. puede realizar un dibujo sin levantar el lápiz y sin pasar por una arista más de unavez.Problema 6. Más … gradosRealice tres dibujos de la manera descrita, asóciele un grafo, vea que puede decir sobrelos grados.Otras definiciones‣ Definición: Un recorrido en un grafo es una sucesión de vértices y aristasalternadas, que comienza con un vértice y termina con otro vértice: v 1 e 1 v 2 e 2 ….e k v kEl vértice v 1 se llama inicio y v k se llama final. Exigimos además que las aristas seandistintas‣ Definición: Un circuito es un recorrido que comienza y termina en el mismo vértice.‣ Definición: Un recorrido es de Euler si es un recorrido que pasa por todos las aristasdel grafo‣ Definición: Un circuito es de Euler si es un circuito que es un recorrido de Euler

Universidad de Talca Taller de Matemática 2009Estudiantes de Enseñanza MediaCon estas definiciones vemos que nuestro problema de trazar un dibujo se reduce aencontrar un recorrido que pase por todas las aristas del grafo correspondiente. Observeel grafo siguiente:Problema 7. Un grafo especialConsiderar el grafo anterior. Compruebe que es posible realizar este dibujo (con lasreglas = sin levantar el lápiz y sin pasar 2 veces por la misma arista). ¿Sirve cualquiervértice como inicio? ¿Se puede dibujar trazando un circuito?Al estudiar el problema de los puentes de Königsbeg, Euler concluyó que para encontrarel camino que pasara por todos los puentes y sin repetirse ninguno se debería tener queen cada vértice interior (esto es diferente al de partida y llegada) al que se llegaradebería haber una manera de salir de ese vértice por otra arista (= puente) que nohubiese sido usado.Resumiendo si se llega a un vértice vía una arista se debería salir del vértice vía otraarista no usada. Por lo tanto, siempre que cada vértice interior tiene grado par seríaposible salir de ese vértice usando una arista no usada. Euler también se dio cuenta quesi el recorrido empieza y terminan en vértices distintos, estos vértices deben tener gradoimpar.Problema 8. RazonandoUsando el razonamiento de Euler compruebe que es imposible realizar un recorrido quepase por todos los puentes de Königsbeg con las condiciones planteadas. Compruebeque es imposible para el sobre cerrado y que si es posible para el sobre abierto. ¿Quépuede decir del sobre abierto en ambos extremos.?Problema 9. …Para los grafos completa la tabla siguiente

Universidad de Talca Taller de Matemática 2009Estudiantes de Enseñanza MediaGrafo Cantidad devértices de gradoimparCantidad devértices de gradoparHay recorrido deEuler =REHay circuito deEuler =CE1 2Se puede demostrar lo siguiente:3 4Teorema 1.Un grafo conexo G admite un circuito de Euler si y solo si todo vértice tiene grado par.Además, un grafo conexo tiene un recorrido de Euler si y solo si tiene exactamente dosvértices de grado impar.Conexo significa que el grafo cosiste de “una sola pieza”, esto es siempre dos vérticesestán unidos por un recorridoProblema 10. Circuitos de EulerEncontrar todos los circuitos de Euler para el sobre abierto.Como encontrar un circuito de Euler para un grafo que lo permite.Algoritmo de Fleury.Si G es un grafo euleriano siempre es posible seguir la siguiente construcción de uncircuito euleriano. Se empieza por un vértice arbitrario y se recorren las aristasarbitrariamente sometida a dos condiciones:1) Se borran las aristas a medida que son atravesadas, obteniendo un nuevografo2) Solo se recorre una arista de separación (del grafo resultante si no queda otraalternativa, repetir.

Universidad de Talca Taller de Matemática 2009Estudiantes de Enseñanza MediaPasos Grafo marcado Grafo reducidoElegir cualquier vértice (ej. F)Ir deF a C(Elección arbitraria)Ir de C a D(arbitrario)Ir de D a A(arbitrario)Ir de A a C(No se puede elegir ir a B: es unaarista de separación del graforesultante, y hay 2 otras opciones,elegimos una de ellas)El resto del recorrido es obvio y el recorrido completo es (F, C, D, A, C, E, A, B, D, F)Problema 11. …Para los siguientes grafos, usando el algoritmo de Fleury, encuentre un circuito deEuler.

Universidad de Talca Taller de Matemática 2009Estudiantes de Enseñanza MediaGrafos aparecen en diversos contextos, un resultado interesante es el llamado Teoremadel saludo.Teorema 2La suma de los grados de los vértices es igual al doble del número de aristasDemostraciónAl realizar la suma de los grados de todos los vértices, como cada arista tiene 2extremos se cuenta exactamente 2 veces.Por tanto la suma de los grados de los vértices es igual al doble del número de aristasProblema 12. …Supongamos que en una reunión se encuentran 5 personas, las que se saludanmutuamente, (dándose la mano o besos, etc.) Modele esta situación en un grafo.¿Cuántos saludos se realizaron? ¿Qué pasa si el número de personas es 6,7, 8? ¿Hay unaformula general? Ayuda, trate de usar el Teorema anterior.Problema 13. …Supongamos que en una clase hay 30 estudiantes. Se afirma que 9 de los estudiantestienen 3 amigos (de la clase) cada uno, once de los alumnos tienen 4 amigos cada uno yque diez estudiantes tienen 5 amigos cada uno. ¿Es esto posible?Problema 14. ….Supongamos que cada uno de los 102 estudiantes de Algebra I, tiene al menos 68conocidos en el curso de Algebra I. Pruebe que hay al menos cuatro estudiantes quetienen el mismo número de conocidos.Problema 15. ….Michael viene llegando de Never-Never-Land dice que vio un lago encantado dondehay 7 islas donde a cada una de ellas llevaban 1, 3 o 5 puentes. ¿es cierto que al menosuno de estos puentes llevaba a la orilla del lago?Con los grafos podemos representar entre muchas otras cosas los sólidos Platónicos.