Taller 8 - Universidad de Talca

Universidad de TalcaTaller de MatemáticaInstituto de Matemática y Física 2006Taller 8Fórmula de PickLa figura muestra una malla de puntos obtenidos de intersecciones de rectas horizontalesparalelas entre sí y verticales paralelas entre si, tales que la distancia entre dos rectashorizontales, o dos verticales consecutivas, es la misma.Las mallas cuadriculadas de puntos proporcionan un interesante ambiente para trabajar conpolígonos.Nota. En una malla cuadriculada de puntos se representarán polígonos, atendiendo a losiguiente:• Todo polígono tendrá sus vértices en puntos de la malla.• Dos figuras serán distintas si no son congruentes.• Unidad de longitud: la medida de un segmento menor de la malla.Unidad de área: el área de un cuadrado mínimo de la malla (cuadrado unitario).• En todo polígono, se distinguen:Puntos interiores: puntos de la malla que se encuentran en el interior polígono (si es queexisten).Puntos frontera: puntos de la malla que son vértices o se encuentran en los lados del polígono.Tales polígonos son llamados Polígonos de Pick.Por ejemplo:

Universidad de TalcaTaller de MatemáticaInstituto de Matemática y Física 2006PARTE 1. Contando puntosActividad 1. Cuadrados de Pick, especiales.En esta actividad se trabajará sólo con cuadrados, como el de la figura:1. En un cuadrado de lado 13 unidades de longitud, ¿cuántos puntos hay en el interior delcuadrado?, ¿cuántos puntos hay en la frontera del cuadrado?, y ¿cuántos puntos seencuentran en una diagonal?.2. Si en el interior de un cuadrado hay 81 puntos ¿Cuántos puntos hay en la frontera delcuadrado?, y ¿cuántos puntos se encuentran en una diagonal?.3. Si en una diagonal de un cuadrado hay m puntos. ¿Cuántos puntos hay en la fronteradel cuadrado?, y en el interior del cuadrado?.4. Al contar los puntos interiores de dos cuadrados disjuntos (no tienen puntos comunes),se obtiene una cantidad de 193 puntos. ¿Cuántos puntos en total (puntos interiores ypuntos frontera) tiene cada cuadrado?.Actividad 2. Rectángulos de Pick, especiales.En esta actividad de trabajará sólo con rectángulos (cuadrados o rectángulos) como el de lafigura:

Universidad de TalcaTaller de MatemáticaInstituto de Matemática y Física 20061. En el rectángulo que se encuentra a la izquierda, de lados 6 unidades y 9 unidades delongitud:(a) ¿Cuántos puntos se encuentran en interior del rectángulo?(b) ¿Cuántos puntos de la malla se encuentran en una de las diagonales delrectángulo?2. ¿Cuántos puntos interiores, y cuántos puntos frontera, hay en un rectángulo (de losconsiderados en esta actividad) cuyos lados miden 149 unidades de longitud por 71unidades de longitud.3. ¿Cuántos rectángulos no congruentes entre si (de los considerados en esta actividad),tienen 3 puntos en el interior?, 5 puntos en el interior?, p puntos en el interior, siendo pun número primo?. Identificarlos según las longitudes de sus lados (en unidades delongitud), o por la cantidad de puntos por lado.4. ¿Cuántos rectángulos no congruentes entre si, (de los considerados en esta actividad,incluyendo cuadrados), tienen 4 puntos en el interior?, 6 puntos en el interior?, 12puntos en el interior?. Identificarlos según las longitudes de sus lados (en unidades delongitud), o por la cantidad de puntos por lado.PARTE II. Área de polígonos de Pick. (Unidad de área = área de un cuadrado unitario =1)Actividad 3.1. Calcular el área de cada polígono:Y completar la siguiente tabla:

Universidad de TalcaTaller de MatemáticaInstituto de Matemática y Física 20062. Calcular el área de cada triángulo y completar la tabla:3. Hallar el área de cada polígono, y completar la tabla:Actividad 4.Dibujar cuatro polígonos de área 3 unidades cuadradas (polígonos equivalentes), y completarla tabla:

Universidad de TalcaTaller de MatemáticaInstituto de Matemática y Física 2006Actividad 5. Conjeturando la fórmula de PickDenotar por B al número de puntos en la frontera del polígono, y por N al número de puntosen el interior del polígono.1. Para cada figura, considerada en la actividad 3, determinar: N + B/22. ¿Qué puede conjeturar?. Dibujar otros polígonos y determinar si se cumple la conjetura.Fórmula de PickUna relación entre el número de puntos interiores y puntos frontera y el área de un polígono(cuyos lados no se cortan) fue establecida a fines del siglo XIX, por el matemático austriacoGeorge Alexander Pick (1859-1943).Dada una malla cuadriculada, un polígono P es un polígono de Pick relativo a dicha mallacuando todos los vértices del mismo son puntos de la malla.El teorema de Pick afirma que:Dado un polígono de Pick, su área es: A =donde N es el número de puntosde la malla interiores al polígono y B es el número de puntos de la malla pertenecientes a lafrontera del mismo.

Universidad de TalcaTaller de MatemáticaInstituto de Matemática y Física 2006Actividad 6. Problemas adicionales1. En una malla cuadrada de 5 puntos por lado se construyen segmentos cuyos extremos sonpuntos de la malla. ¿Cuántos segmentos distintos (de distinta longitud) se pueden formar?.Y, ¿cuántos en una malla cuadrada de n puntos por lado?.2. En un plano, coordenado con ejes perpendiculares entre si, se construye un segmento OAtal que O = (0, 0) y A = (96, 120) ¿Cuántos puntos (a, b) tales que a b son números enterosyacen en el segmento dado?. Y, en un segmento OB tal que B=(m, n), siendo m y nnúmeros enteros positivos?.3. Sea el polígono ABCDEF en el plano cartesiano de vértices A = (2, 0), B = (4, 2), C = (7,3), D = (5, 6), E = (2, 6), F = (0, 4). Calcular el área del polígono, y luego, verificar elteorema de Pick.