Taller 8 - Universidad de Talca

Universidad de TalcaTaller de MatemáticaInstituto de Matemática y Física 2008Taller 8AritméticaIntroducciónEmpecemos con algo de historia de la Matemática.Es bien sabido que la ecuación2 2 2a + b = ctiene infinitas soluciones con a , b,c números enteros, llamados Triples Pitagóricos (verejercicios). Para un matemático resulta entonces natural preguntarse qué pasa sireemplazamos la potencia 2 por otra potencia mayor.Es decir preguntarse: Qué soluciones en números enteros podemos encontrar para ecuaciones:3 3 3a + b = c4 4 4a + b = c5 5 5a + b = cetc.En general qué soluciones en enteros hay para:n n na + b = c , con n > 2La respuesta es NO HAY NINGUNA, no existe ninguna solución entera de las ecuacionesanteriores. Sólo es posible resolver la ecuación con cuadrados.Esta afirmación se conoce como "Ultimo Teorema de Fermat o Teorema de Fermat".

Universidad de TalcaTaller de MatemáticaInstituto de Matemática y Física 2008Alrededor de 1637, Pierre de Fermat demostró que no hay solución para exponente = 4.Durante los siglos 18 y 19, Karl Friedrich Gauss y Leonard Euler demostraron que no haysolución para exponente 3 y Lejeune Dirichlet y Adrien Legendre lo demostraron paraexponente 5.Este problema para n ≥ 5 se transformó en un problema central de la Teoría de Números y delas matemáticas en general durante 350 años.Desde que lo enunció Fermat hasta su solución por Andrew Wiles en 1995.La historia al respecto se inicia cuando Fermat escribió en el margen de un libro que leía enese momento:Es imposible separar un cubo en dos cubos, una cuarta potencia en dos cuartas potencias, o engeneral cualquier potencia superior en dos potencias iguales.He descubierto una solución verdaderamente notable de esta afirmación pero el margen deeste libro es muy pequeño para escribirla.Cubum autem in duos cubos, aut quadrato quadratum in duosquadratos et generaliter nullam in infinitum ultra quadratumpotestatem in duos ejusdem nominis fas est dividiere; cujus reidemonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas noncaperet.Pocos matemáticos creen hoy que Fermat tenia un prueba correcta de la afirmación. Lahistoria del Teorema de Fermat es fascinante y cientos de matemáticos han trabajado en él.Esta historia llenaría un libro completo.Veamos solamente algunos hitos importantes de esta historia.• Una de las primeras luces en la demostración final fue dada porSophie Germain en 1823. Ella demostró lo siguiente:p p pSi p y 2p+1 son ambos primos, entonces a + b = c no tienesolución en enteros tal que p no divide abc . Pregunta: Hayprimos tal que p y 2p+1 son ambos primos?.• A. Wieferich en 1909 demostró un resultado similar:

Universidad de TalcaTaller de MatemáticaInstituto de Matemática y Física 2008p p ppa + b = c no tiene solución si la cantidad 2 − 22no es divisible por p .• Mientras tanto, durante la última parte del siglo 19 matemáticoscomo Richard Dedekind, Leopold Kronecker y especialmente Ernst Kummer,intentando demostrar el Teorema de Fermat desarrollaron una nuevaárea de las metamáticas llamada Teoría Algebraica de Números yusaron esta teoría para demostrar que el Teorema es cierto para listasy listas de potencias particulares aunque siempre estas listasconsideraban una cantidad finita de posibles exponentes.• En 1985, L.M. Adleman, D.R. Heath-Brown y E. Fouvry usaron losargumentos de Sophie Germain junto con argumentos analíticos muycomplicados para demostrar que:Existen infinitos primos p tal quesolución y p no divide a abc.p p pa + b = c no tiene• En 1986, Gerhard Frey sugirió una nueva manera de aproximar elTeorema de Fermat usando una idea llamada modularidad. Jean PierreSerre, Ken Ribet, Goro Shimura y Yukata Taniyama demostraron que siuna cierta propiedad de modularidad era verdadera, entonces el Teoremade Fermat también era cierto.• Finalmente en 1995 Andrew Wiles demostró que esta propiedad demodularidad ERA CIERTA demostrando así el TEOREMA DE FERMAT.Ejercicioa) Decidir si las siguientes son ternas pitagóricas: 5, 12, 13; 7, 24, 25b) ¿Qué puede decir de la siguiente secuencia de ternas:3 4 533 44 55333 444 5553333 4444 5555...c) Encontrar un triángulo pitagórico con un lado 84.d) Verificar que para m y n enteros positivos, con m >n,como en la figura, se obtienen ternas pitagóricas.

Universidad de TalcaTaller de MatemáticaInstituto de Matemática y Física 2008EJERCICIOS RELACIONADOSEjercicio 1. Demuestre que si s > t ≥ 1 son enteros impares sin factores comunes,2 2 2 2s − t s + tentonces a = st,b = , c = no tienen factores comunes.22Ejercicio 2. Demuestre que los valores de a, b y c dados anteriormente2 2 2son soluciones de a + b = c .2 2 2Ejercicio 3. Por lo anterior sabemos que la ecuación a + b = c tieneinfinitas soluciones enteras. Mientras que según el Teorema de Fermat la ecuación3 3 3a + b = c no tiene soluciones en enteros.3 3 2Busquemos ahora soluciones enteras para la ecuación a + b = c (*)La terna (2, 2, 4) es solución de esta ecuación.Encuentre tres soluciones más.Ayuda: Busque soluciones del tipo ( a , b,c)= ( xz,yz,z ) . No toda terna de esta forma essolución de la ecuación. Debe comprobar cuales de ellas si funcionan.2Ejercicio 4. Si (A, B, C) es una solución de (*) y n es un entero, demuestre que2 2 3( n A, n B,n C)es también una solución de (*). Decimos que una solución es2 2 3n A, n B,n C con n ≥ 2 .PRIMITIVA si NO es del tipo ( )Ejercicio 5. Escribe cuatro soluciones primitivas diferentes de (*). Es decirhay que rehacer 3.Ejercicio 6. La solución (2, 2, 4) tiene a=b. Encuentre todas las soluciones primitivas quetienen a=b.Ejercicio 7. Encuentre una solución primitiva de (*) que tenga a > 10000.