28 abril 2010

Funciones elementalesNúmeros complejosSe prueba fácilmente que e z+w = e z e w para todos z, w ∈ C. Se deduce que para todo z ∈ C ytodo k ∈ Z es e z = e z+2kπi . Lo que nos dice que la exponencial compleja es una función periódicacon período 2πi. Naturalmente, esto supone una gran diferencia con la exponencial real que esuna función inyectiva. Observa que la exponencial no se anula nunca pues |e z | = e Re(z) > 0.Justificación¿Por qué hemos definido la función exponencial de esta forma? En un principio sólo tenemosla restricción de que su valor coincida con el de la función exponencial que ya conocemos en losnúmeros reales. Si queremos que se siga cumpliendo que e x e y = e x+y , podemos avanzar algo. Siz ∈ C, debería cumplirse quePor tanto, sólo nos hace falta definir e ite z = e Re(z)+i Im(z) = e Re(z) e i Im(z) .con t real. ¿Por que hemos elegido cómo definicióne it = cos(t) + i sen(t)? Una posible justificación es que la definición está hecha así para que lasderivadas vayan bien: si(e it) ′= ie it = i (cos(t) + i sen(t)) = − sen(t) + i cos(t),entonces coincide con(cos(t) + i sen(t)) ′ = − sen(t) + i cos(t).El segundo motivo necesita conocer el desarrollo de Taylor de la las funciones exponencial, senoy coseno. En la Sección 8.6.1 tienes los detalles.2.5.3 Logaritmos complejosEl comportamiento periódico de la exponencial compleja se va a traducir, como vamos a verenseguida, en que la ecuación e w = z, donde z es un número complejo no cero, va a tener infinitassoluciones w ∈ C. Comoe w = e Re(w) (cos(Im(w)) + i sen(Im(w))) .LogaritmoLogaritmo principalPara que e w = z es necesario y suficiente que:a) |e w | = |z|, esto es, e Re(w) = |z|, es decir, Re(w) = log |z| (logaritmo natural del número realpositivo |z|).b) Arg (e w ) = Arg (z), esto es, Im(w) ∈ Arg(z) y esto se cumple si, y sólo si Im(w) = arg(w)+2kπ,con k ∈ Z.Hemos probado que {w ∈ C : e w = z} = {log |z| + i(arg(z) + 2kπ), k ∈ Z}. Por tanto, existeninfinitos números complejos w que satisfacen la ecuación e w = z. Cualquiera de ellos se llama unlogaritmo de z. El conjunto de todos ellos lo representaremos por Log(z). De entre todos elloselegimos uno, llamado logaritmo principal, definido porlog(z) = log |z| + i arg(z),para todo z ∈ C ∗ . Observa que cualquier otro logaritmo de z es de la forma log(z) + i2kπ paraalgún entero k.Observación 2.14. Es importante que nos demos cuenta de que la igualdad log(zw) = log(z) +log(w), que es válida para números reales positivos, no es siempre cierta cierta para númeroscomplejos. Por ejemplo:– 24 –