28 abril 2010

EjerciciosSucesiones de números realesEEjercicio 3.17.Solución 3.17.Ejercicio 3.18.Calcula el siguiente límite( ) ( )cos(1) + cos √2 1+ · · · + cos √n 1− nlimn→∞log ( n 3 + 1 ) .FALTASean a, b ∈ R + ; estudiar el carácter de la sucesión{(a n + b n ) 1/n} .Solución 3.18.Aplicando el criterio de la raíz, tendríamos que estudiar el límitea n+1 + b n+1limn→∞ a n + b n .Para ello es más cómodo distinguir varios casos.a) Si a > b, dividimos numerador y denominador por a n y nos queda que( )a n+1 + b n+1a n+1a + bn+1 a + b b nlimn→∞ a n + b n = limn a na= lim ( ) n→∞ a na + bn n→∞ n a n1 + b n = a,ausando que lim n→∞ x n = 0 siempre que |x| < 1.b) Si b > a, las mismas cuentas del apartado anterior nos dan quea n+1 + b n+1limn→∞ a n + b n = b.c) Por último, si a = b entonces no es necesario utilizar ningún criterio y(lim a n + b n ) 1/n (= lim 2an ) 1/n = 1.n→∞n→∞En cualquiera de los casos, llegamos a la conclusión de que lim n→∞ (a n + b n ) 1/n = max{a, b}.3.6.3 Ejercicios complementariosEjercicio 3.1.Sea {x n } n∈N una sucesión de números reales y x un número real. Probar que silim n→∞ x 2n = x y lim n→∞ x 2n+1 = x, entonces lim n→∞ x n = x.Ejercicio 3.2.Sea A un conjunto no vacío de números reales y sea x un mayorante de A. Probarque x = sup(A) si, y sólo si, existe una sucesión de elementos de A convergente a x.Ejercicio 3.3. Estudiar la convergencia de las siguientes sucesiones:{ }a) n2 ,{ n }b) 2 n +n3 n −n .)Ejercicio 3.4. Sea a ∈ R + y consideremos la siguiente sucesión: x 1 = a, x n+1 = 1 2(x n + a x n,para cualquier n ∈ N. Pruébese que {x n } n∈N es convergente y que su límite, x, verifica x 2 = a.Ejercicio 3.5.ln(1 · 2 · · · n)Calcula el límite lim.n→∞ n ln(n)Ejercicio 3.6. Calcula los siguientes límites.1 + √ 2 + 3√ 3 + . . . n√ na) lim n→∞ n 2 ,– 48 –