28 abril 2010

DiferenciabilidadEjerciciosEjercicio 11.7.Determinar la dirección respecto de la cual, la derivada direccional de la funciónf (x, y, z) = xy 2 + yz + z 2 x 2 en el punto (1, 2, −1), tenga un valor máximo.Solución 11.7.La derivada siempre es máxima en la dirección del gradiente. El gradiente de f es∇f (x, y, z) = (y 2 + 2xz 2 , 2xy + z, y + 2x 2 z), y en el punto (1, 2, −1) nos queda ∇f (1, 2, −1) =(6, 3, 0).Ejercicio 11.8. Dada la función f (x, y) = 1x 2 +y , hallar en el punto (2, 3) la derivada según la2dirección definida por y = 2 3 x y el valor máximo de la derivada direccional.(Solución 11.8. La diferencial de la función es Df (x, y) =(2, 3) queda Df (2, 3) =√v = (1, 2 3 ) que tiene módulo 1 + 4 √9 = 133 . Por tanto,)−2x −2y(x 2 +y 2 ) 2 (x 2 +y 2 ) y, en el punto2(− 413 − 62 13). Un vector director de la recta y = 2 2 3 x es, por ejemplo,D v f (2, 3) = 3 √13〈Df (2, 3),(1, 2 )= −243 13 2√ 13 .Por último, el valor máximo de la derivada direccional es ∥ ∥ ∇f (2, 3)∥ ∥ =√52169 .Ejercicio 11.9. Dada f : R 2 → R diferenciable, con f (0, 0) = 0 y derivadas direccionales en (0, 0)en las direcciones v 1 = (1, 2) y v 2 = (1, −1) que valen 1 y −1 respectivamente, hallar el gradientede f en el origen.Solución 11.9. Sabemos que Df (0, 0)(v 1 ) = 1 y Df (0, 0)(v 2 ) = −1. Notemos e 1 = (1, 0), e 2 =(0, 1) a la base canónica de R 2 . Entonces e 1 = 1 3 v 1 + 2 3 v 2, y e 2 = 1 3 v 1 − 1 3 v 2. La linealidad deDf (0, 0) nos da que(∂f1∂x (0, 0) =Df (0, 0)(e 1) = Df (0, 0)3 v 1 + 2 2)3 v= 1 3 Df (0, 0)(v 1) + 2 3 Df (0, 0)(v 2) = 2 3 − 1 3 = 1 3 , y que(∂f1∂y (0, 0) =Df (0, 0)(e 2) = Df (0, 0)3 v 1 − 1 2)3 v= 1 3 Df (0, 0)(v 1) − 1 3 Df (0, 0)(v 2) = 1 3 + 1 3 = 2 3 .Ejercicio 11.10.Una función f definida en un abierto del plano se dice que es armónica si∂ 2 f∂x 2 (x, y) + ∂2 f(x, y) = 0∂y2 en todo punto de su( dominio. ) ¿Son armónicas las siguientes funciones?a) f (x, y) = arctan xy , ∀(x, y) ∈ R 2 \ {y = 0}.b) g(x, y) = e −x cos(y) + e −y cos(x), ∀(x, y) ∈ R 2 .Solución 11.10.a) Las derivadas parciales respecto a x son:1∂f∂x (x, y) = yy( )1 + x 2 =x 2 + y 2 ,y∂ 2 f(x, y) =−2xy∂x2 (x 2 + y 2 ) 2 .Las derivadas parciales respecto a y son:– 279 –