Unitat 5

5Nombres positiusi negatiusIntroduccióEl concepte de nombre negatiu és un dels més difícils pera l’alumnat, per la qual cosa són necessàries representacionselementals de la vida ordinària:temperatures,guanysi pèrdues, dates històriques abans i després de Crist, altitudsper damunt i per davall del nivell del mar, etc.El càlcul amb nombres negatius també planteja problemesa molts d’alumnes. Les principals dificultats són l’úsdel mateix símbol per a designar el nombre negatiu i l’operadorde la subtracció,la justificació de la regla dels signesper a la multiplicació, etc.Una reflexió històrica sobre els nombres negatius tal vegadapugui aclarir les dificultats i els errors dels nostresalumnes, i permeti comprendre que els conceptes, fins itot els més simples en aparença, són el resultat de seglesde titubejos. La introducció conceptual dels nombres negatiusha estat un procés d’una lentitud sorprenent. Nopot haver-hi, certament, nombre negatiu sense la presènciad’un zero;però,a Europa,el zero va aparèixer en el segleXIV,i fins al final del segle XV no apareixen els nombresnegatius, que, no obstant això, no seran completamentconsiderats com a nombres. Per a molts de matemàticseren nombres absurds.És acceptat que la noció de nombre negatiu va néixer denecessitats comptables (guanys i pèrdues). Pareix que elsxinesos varen utilitzar des del primer segle de la nostraera els nombres negatius. En les taules de càlcul, sovintsón representats per varetes negres; les varetes vermellesrepresenten els positius. No obstant això, apareixen noméscom a auxiliars de càlcul; no hi ha nombres negatiusen els enunciats dels problemes, tampoc n’hi ha en lesrespostes.Continguts mínimsEls nombres positius i els nombres negatius.Representació en la recta numèrica.Comparació.Suma de nombres positius o negatius.Suma de nombres positius amb negatius.Altres recursos i materialsDiferents classes de termòmetres per a prendre temperaturesi fer comparacions.Gràfics i taules de temperatures.Paper mil·limetrat.Relació de fets històrics o personatges d’abans i de desprésde Crist.Plantilles de rectes numèriques i del quadre de comandamentsd’un ascensor.Mapa de fusos horaris.Resolució de problemesEs presenten estratègies de resolució de problemes queserveixen de guia als alumnes i a les alumnes per a resoldre’nd’altres de similars.Continguts previsSignificats dels nombres: identificar, quantificar, ordenar,comparar, etc.Ordenació dels nombres naturals en la recta numèrica.Comparació de nombres naturals.Significat dels parèntesis.Prioritat de les operacions elementals amb nombres naturals.Sumes i restes amb nombres naturals.Competències bàsiquesComunicació lingüística. Incorporar els nombres entersal llenguatge habitual, com a elements amb valor expressiui interpretar missatges que contenen nombres enters.Matemàtica. Reconèixer els diferents usos i significatsdels nombres, elaborant i utilitzant codis numèrics per aidentificar situacions, objectes, etc.Tractament de la informació i competència digital.Proporcionar destreses associades a l’ús dels nombres.90

Esquema de la unitatREGLESDELS NOMBRESRepresentació gràfica.Comparació i ordenació.NOMBRESPOSITIUSI NEGATIUSSumes del mateix signe.OPERATIVASumes de signe diferent.91

COMPETÈNCIESComunicació lingüística Respondre en petit grup les preguntes dels apartats «Parlam del text» i «Ensfeim preguntes», ressaltant la comprensió de les situacions descrites.Matemàtica Utilitzar els signes «+» i «–» en situacions quotidianes susceptibles de ser representadesnumèricament.Aprendre a aprendre Verbalitzar les diferents situacions analitzades diferenciant-les en situacions«positives» o per damunt de zero, i situacions «negatives» o per davall de zero.Social i ciutadana Desenvolupar, a través de la lectura i de les seves preguntes, actituds saludablesi de cura i respecte del medi ambient.Solucions1 Es diferencien en funció del signe.Per a representar cinc metres sobreel nivell del mar, utilitzam +5 m o,simplement, 5 m; per a representarcinc metres per davall el nivell delmar utilitzam –5 m.2 El signe menys indica que són mesuresper davall del nivell del mar.3 La temperatura seria de set grausper davall de zero.Anotacions93

SUGGERIMENTS METODOLÒGICS En nombroses situacions de la vidaes troben nombres positius i nombresnegatius. Per exemple, les temperatureses mesuren amb referènciaa la temperatura de fusió del gel,que és de zero graus centígrads; l’altitudes mesura amb referència al nivelldel mar; per a indicar la data dedeterminats fets històrics, es prencom a referent l’any del naixementde Crist, etc. Els nombres positius expressen situacionsper damunt del valor zero,com, per exemple, l’altura d’unamuntanya. Els negatius representenvalors per davall de zero.OBJECTIUS I CRITERIS D’AVALUACIÓObjectiu Diferenciar nombres positius de nombres negatius.Criteris d’avaluació• Distingeix i coneix els nombres positius i negatius.• Entén la utilitat dels nombres enters per a representar situacions en què és necessariel signe del nombre.SOLUCIONS DE LES ACTIVITATS1 a) –3 ºC c) +4b) +5 m d) +5 €2 La temperatura és de quatre grausper davall de zero 8 –4 ºC.El globus vola a 50 metres d?altura8 +50 m.Estic a nou metres per davall de lasuperfície 8 –9 m.He estalviat 25 euros 8 +25 €.3 Resposta oberta. Per exemple:+7 8 La temperatura és de set grauscentígrads. Es troba a set metressobre el nivell del mar.–5 8 Estic en el soterrani cinc. Elcofre està cinc metres per davalldel nivell del mar.+3 8 En Lluís viu en el tercer pis.Eltrampolí està a tres metres delterra.–4 8 Vaig baixar en l’ascensor al soterraniquatre. Aquest matí latemperatura era de quatregraus sota zero.4 a) +5 b) 0 c) +3 d) +2e) +6 f) –4 g) –25 a) Hi ha 7 plantes per damunt de laplanta baixa. Hi ha 4 plantes perdavall de la planta baixa.b) Hem de pujar 10 plantes.c) Hem de baixar 8 plantes.d) Ha de pujar 5 plantes.6 a) A la nit marca –5 ºC. Durant el diamarca 4 ºC.b) Hi ha 9 °C de diferència.Càlcul mental280 660300 720320 750360 780420 1 35094

COMPETÈNCIESComunicació lingüística Adquirir precisió en l’ús del llenguatge, traduint a llenguatge matemàtic situacionsen què es necessiten els nombres enters per a representar-los.Matemàtica Reconèixer la utilitat dels nombres enters per a representar i diferenciar situacionspositives i negatives.Coneixement i interacció amb el món físic Utilitzar els nombres enters per a enfrontar-se a situacions quotidianes en quèutilitzar les matemàtiques fora de l’aula.ACTIVITATS DE REFORÇ1 Classifica en positius i en negatiusaquests nombres:–6 +3 +8 0 –5 +22 Expressa aquestes situacions utilitzantnombres positius o negatius:a) Set metres per davall el nivell delmar.b) Quinze graus per davall de zero.c) Segon soterrani.d) Tres graus per davall de zero.Solucions1 Positius 8 +3, +8, +2Negatius 8 –6, –52 a) +7 c) –2b) –15 ºC d) –3 ºCACTIVITATS D’AMPLIACIÓ1 Expressa amb nombres negatius.a) El termòmetre marca 4 graus perdavall de zero.b) Pitàgores va néixer l’any 572abans de Crist.c) Na Irene ha aparcat en el tercersoterrani.d) Trenta-cinc metres per davall delnivell del mar.2 Un ascensor que està en la terceraplanta baixa cinc pisos. En quinaplanta es troba ara?3 Estàs en el tercer soterrani d’unaparcament. Quantes plantes has depujar per a sortir per la planta zero?Solucions1 a) –4 °C c) –3b) –572 d) –35 m2 Es troba en el soterrani dos.3 He de pujar tres plantes.REFERÈNCIES AL QUADERN DETRACTAMENT DE LA DIVERSITAT Com a reforç,es proposen les activitats1 i 2 de la unitat 5 del quadern. Per a ampliar,es proposa l’activitat 1del mateix quadern.Anotacions95

SUGGERIMENTS METODOLÒGICS Amb la recta numèrica a la pissarra,els alumnes observen que els nombresenters positius es representen ala dreta del zero. La recta numèricaens serveix per a representar i compararnombres positius i nombresnegatius. Destacarem que el zero noés ni positiu ni negatiu. Indicar que per a comparar dosnombres hem de tenir en compteque qualsevol nombre positiu ésmajor que qualsevol nombre negatiui que un nombre negatiu és menorquant major sigui la distànciaque el separa del zero; és a dir, commés a l’esquerra de la recta numèricaestigui. La comparació i ordenació de nombrespositius i negatius sol presentaralgunes dificultats per als escolars,sobretot en els casos en què el nombremés gran està més prop del zero.OBJECTIUS I CRITERIS D’AVALUACIÓObjectius Representar els nombres positius i els nombres negatius en la recta numèrica. Ordenar nombres positius i negatius.Criteris d’avaluació• Representa nombres positius i negatius en la recta numèrica.• Situa els nombres negatius a l’esquerra i baix de la recta numèrica i els positiusa la dreta i dalt de la recta.• Compara nombres positius i nombres negatius.• Ordena nombres positius i nombres negatius.SOLUCIONS DE LES ACTIVITATS1 +7 > +6 > +2 > –1 > –3 > –4 > –5 > –72–7 –5 –3 –1 +1 +3 +5–6 –4 –2 0 +2 +43 +5 > –3 +4 < +6–2 > –8 +7 > –14 Dec 3 € 8 –35Em deuen 5 € 8 +5Ni tenc ni dec res 8 0Tenc 7 € 8 +7–8 –6 –2 +5 +9–9 –5 0 +2 +6 +86a) +7b) –9c) –2,–1,0,1,2,3–8 –6 –4 –2 0 +2+8 +6 +4 +2 0 –2–4 –3 –2 –1 0 +17 a) +9 > +8 > +2 > –4 > –6 > –8b) +12 > +7 > +4 > 0 > –5 > –6ACTIVITATS DE REFORÇ1 Representa en una recta numèricaaquests nombres:+4 +1 –3 –6 02 Ordena aquests nombres de menora major:+7 +5 –2 0 +9 +4 –396

COMPETÈNCIESComunicació lingüística Traduir al llenguatge matemàtic situacions en què intervenguin nombres enters.Matemàtica Utilitzar la recta numèrica com a estratègia per a representar nombres entersi així poder comparar-los i ordenar-los.Coneixement i interacció amb el món físic Utilitzar els nombres enters per a enfrontar-se a situacions quotidianes en quèemprar les matemàtiques fora de l’aula.Tractament de la informació i competència digital Desenvolupar destreses associades a l’ús dels enters per a un millor maneigdels nombres.3 Escriu els quatre termes següents decada sèrie:a) 6,4,2,…b) –11,–9,…Solucions1–6 –3 +1 +402 –3 < –2 < 0 < +4 < +5 < +7 < +93 a) 6, 4, 2, 0, –2, –4, –6b) –11, –9, –7, –5, –3, –1ACTIVITATS D’AMPLIACIÓ1 Escriu l’oposat de cada un d’aquestsnombres:+4 –2 +5 +8 –32 Ordena de més fred a més caloraquestes temperatures:–3 ºC +5 ºC –2 ºC 0 ºC +9 ºC3 Escriu els nombres que falten entreel primer i l’últim de cada sèrie:a) –6 < .....< +2b) +3 > .....> –4c) –9 < .....< –5Solucions1 –4 +2 –5 –8 +32 –3 ºC < –2 ºC < 0 ºC < +5 ºC < +9 ºC3 a) –6 < –5 < –4 < –3 < –2 < –1 < 0 +2 > +1 > 0 > –1 > –2 > –3 >> –4c) –9 < –8 < –7 < –6 < –5REFERÈNCIES AL QUADERN DETRACTAMENT DE LA DIVERSITAT Com a reforç,es proposen les activitats3, 4, 5 i 6 de la unitat 5 del quadern. Per a ampliar, es proposen les activitats2, 3 i 4 del mateix quadern.CD-ROM DE RECURSOS Per a completar l’estudi d’aquestadoble pàgina,es pot proposar la realitzacióde l’activitat:5-1. Representació i comparació.Anotacions97

COMPETÈNCIESComunicació lingüística Descriure verbalment els raonaments i processos que intervenen en la sumade nombres enters del mateix signe.Matemàtica Utilitzar la suma de nombres enters del mateix signe en la resolució de situacionsproblemàtiques.Tractament de la informació i competència digital Desenvolupar destreses associades a l’ús de la suma amb nombres enters pera un millor maneig dels nombres.ACTIVITATS D’AMPLIACIÓ1 Escriu el sumand que hi falta.a) (–5) + (.....) = –11b) (+4) + (.....) = + 9c) (–3) + (.....) = –15d) (+2) + (.....) = +122 La temperatura d’avui és tres grausmenor que la d’ahir i ahir va ser tresgraus menor que la de dimecres.Si dimecresel termòmetre marcava –2 ºC,quina temperatura fa avui?3 Un ascensor que està situat en laplanta segona puja cinc pisos. Aquin pis arriba?Solucions1 a) (–5) + (–6) = –11b) (+4) + (+5) = +9c) (–3) + (–12) = –15d) (+2) + (+10) = +122 Avui la temperatura és de –8 ºC.3 Arriba al 7è pis.REFERÈNCIES AL QUADERN DETRACTAMENT DE LA DIVERSITAT Com a reforç,es proposa l’activitat 7de la unitat 5 del quadern. Per a ampliar,es proposa l’activitat 5del mateix quadern.CD-ROM DE RECURSOS Per a completar l’estudi d’aquestadoble pàgina,es pot proposar la realitzacióde l’activitat:5-2. Suma de nombres del mateixsigne.Anotacions99

SUGGERIMENTS METODOLÒGICS La suma de nombres enters de signediferent es recolza gràficament per afacilitar-ne la comprensió. No obstantaixò, a la postil·la s’explica queper a sumar nombres de signe diferent,primer, restam el menor delmajor sense tenir en compte els signes;després, al resultat que hem obtengutli afegim el signe del sumandque estigui més lluny del zero. Convé recolzar aquestes sumes tambéamb representacions sobre larecta numèrica.OBJECTIUS I CRITERIS D’AVALUACIÓObjectiu Conèixer la suma de nombres enters amb signe diferent.Criteri d’avaluació• Realitza sumes de nombres enters amb signe diferent.100SOLUCIONS DE LES ACTIVITATS1 a) –1 d) –42b) 0 e) +4c) +6 f) –1003 En Jordi té el cotxe en el segonsoterrani.4 a) (+7) + (+3) = +4b) (+1) + (–5) = –4c) (–3) + (+4) = +1d) (–5) + (+7) = +2e) (+6) + (–5) = +1f) (–5) + (+5) = 05 a) (+5) + (–8) = –3b) (–4) + (+9) = +56 a) (–2) + (+8) = +6b) (–9) + (+5) = –4c) (+5) + (–3) = +27 El peix estava un metre per davalldel nivell del mar.8 El termòmetre marca quatre grausper davall de zero.ACTIVITATS DE REFORÇ1 Realitza.(+8)+(–5)–2 –1 +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7 +8 +9 +10 +11–9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 +1 +2(–7)+(+3)(+5)+(–6)–3 –2 –1 +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7 +8a) (–5) + (+2) d) (–1) + (+2)b) (–6) + (+5) e) (–3) + (–2)c) (–4) + (+5) f) (+10) + (–3)2 Expressa cada un dels nombres següentscom a suma d’un nombrepositiu i d’un altre nombre negatiu:a) –9 b) –10 c) –63 El termòmetre marca 8 ºC desprésd’haver pujat dotze graus. Quina erala temperatura inicial?0

COMPETÈNCIESComunicació lingüística Descriure verbalment els raonaments i processos que intervenen en la sumade nombres enters de signe diferent.Matemàtica Utilitzar la suma de nombres enters de signe diferent en la resolució de situacionsproblemàtiques.Tractament de la informació i competència digital Desenvolupar destreses associades a l’ús de la suma amb nombres enters pera un millor maneig dels nombres.Solucions1 a) –3 d) +1b) –1 e) –5c) +1 f) +72 Resposta oberta. Per exemple:a) (+10) + (–1)b) (–11) + (+1)c) (–7) + (+1)3 La temperatura inicial va ser –4 ºC.ACTIVITATS D’AMPLIACIÓ1 Contesta.a) Quin nombre augmentat en 15dóna 10?b) Quin nombre disminuït en 15 dóna–10?2 La suma d’un nombre positiu i unnombre negatiu és 0. Com sónaquests nombres?3 Un besuc està en la nevera a 18 ºCper davall de zero. Es cuina al fornfins a aconseguir una variació detemperatura de 98 ºC. A quinatemperatura està ara el besuc?Solucions1 a) –5 b) +52 Són nombres oposats.3 El besuc està a 80 ºC.REFERÈNCIES AL QUADERN DETRACTAMENT DE LA DIVERSITAT Com a reforç,es proposen les activitats8, 9 i 10 de la unitat 5 del quadern. Per a ampliar, es proposen les activitats6,7 i 8 del mateix quadern.CD-ROM DE RECURSOS Per a completar l’estudi d’aquestadoble pàgina,es pot proposar la realitzacióde l’activitat:5-3. Suma de nombres de signe diferent.Anotacions101

REPÀS LA UNITATRESUMESCNombres positiusi nombres negatiusEls nombres que estan per damunt o ala dreta del zero són els nombres positius.Elsnombres que estan per davall oa l’esquerra del zero són els nombresnegatius.OBJECTIUS Diferenciar nombres positius de nombres negatius. Representar els nombres positius i els nombres negatius en la recta numèrica. Ordenar nombres positius i negatius. Conèixer la suma de nombres enters amb el mateix signe i amb signe diferent.Ordenació i comparacióde nombres entersUn nombre enter és major que un altrecom més a la dreta de la recta numèricaes trobi i és menor com més a l’esquerraestigui.Suma de nombres entersdel mateix signe(+4) + (+3) = (+7) (–5) + (–1) = –6Suma de nombres entersde signe diferent(–3) + (+7) = (+4) (+6) + (–8) = (–2)102REFORÇ1 a) +6 c) –3b) +4 d) 02 a) +3 d) +2b) –4 e) –5c) –43 A = –6 B = –2 C = +3 D = +74–7 –4 –1 +2 +5+60a) A la dreta del zero queden:+2,+5,+6.A l’esquerra queden:–1,–4,–7.b) El major és +6. El menor és –7.5 –4 ºC < –3 ºC < –1 ºC < 0 ºC < 5 ºC –6 –3 < +5 –2 < +2–6 < –4 +8 > –3 +4 > –57 A = +4 B = –2 C = –58 –5 –4 –3 –2 –1 +1 +2 +3 +4+509 a) +8 d) –6b) –9 e) +7c) +8 f) –510 a) (–6) + (+4) = –2b) (–8) + (+11) = +3c) (–3) + (–6) = –9d) (+4) + (–3) = +1e) (+2) + (-6) = –4f) (+5) + (–5) = 011 Na Llúcia ha de pitjar el botó (–2).

COMPETÈNCIESComunicació lingüística Desenvolupar la comprensió,l’esperit crític i la millora de les habilitats comunicatives,incorporantgradualment al seu vocabulari la terminologia dels nombresenters.12+–1–4–5–5–6+3+2–2–3+6+5–3 –7 –8 0 –5 +3+2 –2 –3 +5 0 +8–2 –6 –7 +1 –4 +4+4 0 –1 +7 +2 +10Matemàtica Utilitzar els continguts treballats per a enfrontar-se a situacions en què emprarles matemàtiques fora de l’aula.Coneixement i interacció amb el món físic Transmetre informacions precises sobre aspectes quantificables de l’entorn.Aprendre a aprendre Fomentar l’autonomia, la perseverança i l’esforç per a abordar la resolució desituacions problemàtiques.I FAIG UN PAS MÉS13 a) (+2) + (–4) = –2b) 0 + (+5) = +5c) (+3) + (–2) = +1d) (+4) + (–6) = –214 Es troba a 18 metres de profunditat.15 El traster està en el soterrani dos.Anotacions103

LES MEVES COMPETÈNCIESAPRENC A PENSAR: Desenvolupl’atenció1 a) –7 c) –6 e) –2b) –4 d) +42 Recorr 10 metres fins a arribar al’helicòpter.3 El submarinista del vestit negre had’ascendir 5 metres.El submarinista del vestit blau had’ascendir dos metres.4 El pop es queda a sis metres deprofunditat.5 (–8) + (+5) = –3DESENVOLUPAMENT DE LA COMPETÈNCIA Partint de la il·lustració que es presenta sobre la pesca submarina,es plantegendiverses activitats que tenen com a punt de partida el nivell del mar.A travésde les preguntes que es fan entorn de la il·lustració,es pretén que els alumnesi les alumnes aprenguin a pensar i resolguin enigmes logicomatemàtics relacionatsamb situacions pròximes a la seva vida quotidiana. L’objectiu que es vol aconseguir amb aquesta activitat és que l’alumnat siguicapaç, després d’interioritzar els continguts relatius als nombres enters treballatsen la unitat, d’adaptar-los i utilitzar-los en la resolució de situacions problemàtiques. Es poden proposar uns altres problemes sobre la il·lustració perquè els alumnesi les alumnes descriguin verbalment els processos de raonament lògic quehan de dur a terme per a poder resoldre’ls.TORN ENREREREPÀS EL QUE HE APRÈS1 Quaranta-sis milions cent cinquanta-setmil vuit-cents habitants.2 a) 800 000 c) 200 000b) 200 000 d) 5 800 0003 774324 > 774323 > 773432 > 77334242 07 61 3 3 8 5+ 6 3 81 4 1 1 95 a) 40 120b) 1 282 140c) 207d) 7306 a) 5 3 c) 25 4b) 15 2 d) 8 77 a) 56, 64, 72, 80, 88, 96b) 1, 3, 5, 15c) 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 308 Té 206 bitllets.9 Varen escriure 168 pàgines entreels dos.10 Na Sara tendrà 12 anys.11 No està liquidat el deute. Perquèencara li deu 1 €.12 Dotze paquets de 4.Vuit paquets de 6 iogurts.Quatre paquets de 12 iogurts.13 Els nombres són 6, 7, 8 i 9.3 8 2 17 9 6+ 8 0 3 41 2 6 5 1104RESOLUCIÓ DE PROBLEMES Dins del procés de resolució deproblemes, algunes vegades eltempteig (provant i descartant diversessolucions fins a trobar la correcta)resulta a vegades el mètodemés senzill.

CONTINGUTS• Lectura de nombres.• Aproximació de nombres.• Comparació de nombres.• Sumes, restes, multiplicacions i divisions.• Potències.• Múltiples i divisors.• Problemes.T’AJUDAM AMB UN ALTRE PROBLEMAResolem per tempteigCOST3 Ò 2,15 + 4 Ò 1,65 = 6,45 + 6,6 =13,054 Ò 2,15 + 3 Ò 1,65 = 8,6 + 4,95 =13,555 Ò 2,15 + 2 Ò 1,65 = 10,75 + 3,3 = 14,05Escrivim la solucióHa comprat 5 quaderns grans i 2 de petits.ARA RESOL TU1 Hi ha 24 girafes i 12 estruços.2 Mon pare en té 48 i jo en tenc 12.38 256 241281616432Anotacions105