Formacion de estructura con campos escalares: la ... - Cinvestav

Un modelo de materia oscura escalar: lavisión hidrodinámicaTesis de maestría:Alberto Hernández AlmadaAsesores:Dr. Tonatiuh Matos ChassinCinvestav-IPNDr. Mario Alberto Rodriguez MezaININ

ResumenEn este trabajo se presenta el estudio de un modelo de halo galáctico que se construyea partir de la acción de Einstein-Hilbert acoplado con un campo escalar. Aplicando elprincipio de mínima acción se llegan a las ecuaciones de campo, las cuales adquieren laforma de un sistema Schrödinger-Poisson en el límite de campo newtoniano. Mediante unatransformación, dicho sistema adopta la forma de la dinámica de un fluido, en donde intervieneun potencial auto-gravitante y un potencial cuántico que depende no linealmentede la densidad del fluido. En este marco teórico se hace un análisis de inestabilidad deJeans, el cual sirve para determinar el tamaño mínimo para que el sistema sea inestable, esdecir, perturbaciones del campo escalar no formen estructuras. Finalmente, como primeraaproximación, se resuelve la ecuación de Schrödinger en la versón hidrodinámica despreciandodicho potencial cuántico usando el método de diferencias finitas. En particular,hacemos énfasis en estudiar dos casos: la partícula libre y el oscilador armónico.

AbstractIn this thesis we present the Einstein-Hilbert action coupled to scalar field complex. Usingthe minimum action principle we obtain the field equations, in the newtonian limit iscalled Schrödinger-Poisson system. Applying a transformation, it take the form of hydrodynamicsequations, where are a self-interacting potential and a quantum potential thatdepends no lineal of density of fluid. In this theorical frame we study an analysis of Jeans’inestability, which is useful for finding the minimum size of the system be instable, inother words, perturbations of scalar field can not form galactic structure. Finally, as firstapproximation, we solve the Schrödinger equation in the hydrodynamics version withoutquantum potential using the finite difference method. In particular, we study two cases:the free particle and the harmonic oscillator.

Indice generalIndice generalIIntroducción 11. Modelo de Einstein-Hilbert 71.1. La acción de Einstein-Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2. La ecuación de Klein-Gordon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.3. Campo débil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.4. La ecuación de tipo Schrödinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122. Modelo hidrodinámico 152.1. Versión hidrodinámica de la ecuaciónde tipo Schrödinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.2. Hidrodinámica: Schrödinger-Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173. Inestabilidad de Jeans 193.1. Ecuaciones hidrodinámicas linealizadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203.2. Análisis de inestabilidad de Jeans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.3. Estimación de la masa del campo escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234. Método de diferencias finitas para EDP 254.1. Método de diferencias finitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254.1.1. Método de coeficientes indeterminados . . . . . . . . . . . . . . . . 264.1.2. Método conservativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284.2. Condiciones a la frontera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294.3. Viscosidad Artificial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304.4. Pruebas de convergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31i

iiINDICE GENERAL5. Hidrodinámica: solución numérica 355.1. Código numérico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355.2. La ecuación de advección . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365.3. La ecuación de Burgers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405.4. Potencial cuadrático . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 446. Colapso esférico 496.1. Ecuación de continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 506.2. Ecuación de momentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 516.3. Simetría esférica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52Conclusiones 53A. Derivación de las ecuaciones de Einstein 55B. Aproximaciones en diferencias finitas 57Bibliografía 59

IntroducciónEn los últimos años se ha vivido una revolución en el conocimiento humano debidoa la aparición de dos nuevos problemas fundamentales en la cosmología moderna, ambosrelacionados con la formación de estructura en el Universo. El primero es una componentenecesaria para la formación de estructura, es decir, para la formación de galaxias, cúmulosde galaxias, etc. Este primer ingrediente es al menos el 23 % de la materia del cosmos y esgeneralmente llamada materia oscura. La segunda componente es vital para inhibir en loshechos la formación excesiva de dicha estructura, una componente que acelera el Universoconstantemente. Esta última se le conoce como energía oscura y corresponde al 73 % dela materia del Universo y tan sólo el 4 % corresponde a la materia bariónica. Desde laaparición de estos dos ingredientes, una gran cantidad de científicos se han concentradoen analizar decenas de hipótesis sobre su posible naturaleza y origen, sin embargo, losresultados no son del todo satisfactorios, y el misterio hasta ahora continúa.Una diferencia sustancial entre la materia oscura y la energía oscura es que la primeraes gravitacionalmente atractiva mientras que la segunda es repulsiva, lo cual es extremadamenteextraño. En el marco del modelo estándar de partículas, no se conoce ningunapartícula elemental que su interacción gravitacional sea de naturaleza repulsiva. Por lotanto las preguntas más importantes a resolver son ¿Qué son estos compontentes oscurosque dominan en el Universo? ¿Cuál es la naturaleza de estas componentes? Existen variashipótesis que quieren dar una respuesta a estas interrogantes como por ejemplo la propuestamás popular es que la materia oscura es una clase de partículas supersimétricasllamadas WIMP’s, por su siglas en inglés “Weak Interacting Massive Particle”. Para laenergía oscura, el candidato más popular es sin duda la constante cosmológica, denotadapor Λ. Sin embargo ambos cantidatos tienen problemas. Por ejemplo los WIMP’s siemprese comportan como polvo en la galaxia, por lo que no hay un mecanismo real queimpida que se formen halos de galaxias de cualquier tamaño y no hay nada que impida1

INTRODUCCIÓN 3manera de obtener galaxias con caracteristicas tan semejantes como las que se observan,después de una serie de choques y fusiones de halos de forma prácticamente aleatoria. Esmucha casualidad que dos galaxias del mismo tamaño sean tan semejantes, después deque ambas tuvieron un historial de choques y fusiones que podrían ser completamentedistinto. Con la hipótesis del modelo jerárquico estas semejanzas son muy difíciles de explicar.Más aun, recientemente se encontró que la fuerza de gravedad de la materia oscurade todas las galaxias a un radio determinado es la misma para todas las galaxias [2], unasemejanza universal dificil de explicar con el modelo jerarquico.La segunda observación consiste en examinar galaxias con los nuevos telescopios gigantesde reciente construcción. Según el modelo jerárquico, las galaxias más grandestardaron un tiempo en formarse, simulaciones numéricas demuestran con gran detalle eltamaño de las galaxias que se formaron en cada etapa del Universo. Al hacer una comparaciónde estas simulaciones con algunas galaxias formadas en tiempos correspondientesa z = 1.3, en [3] encuentran una gran discrepancia entre lo observado y lo predicho. Estaobservación apunta al hecho de que las galaxias se formaron más temprano a lo predichopor la hipótesis de la materia oscura fría.La tercera anomalía es sobre la velocidad de dispersión de galaxias a corrimientos alrojo muy grande, z = 2.186, es decir galaxias muy viejas. Los autores [4] observan quela dispersión de las velocidades del gas y de las estrellas de estas galaxias, indican quelas galaxias ya tenían la masa que actualmente tienen, pero las galaxias que estaban másconcentradas eran más pequeñas. De nuevo, las galaxias parecen haberse formado muytemprano, aunque estas observaciones sobre la dispersión de velocidades indican que eranmás compactas. Si estas observaciones se confirman, indicarían una fuerte contradiccióncon el modelo de materia oscura fría. De cualquier forma, si se descubre alguna partículasupersimétrica que pueda servir de sosten a la materia oscura fría, este modelo deberá resolvertodas estas anomalías existentes con las observaciones.Materia oscura escalarDebido a tantas fallas en el modelo de materia oscura fría, han surgido alternativas,entre las que se encuentran la hipótesis de materia oscura escalar [5, 6, 7]. Esta teoría

4 INTRODUCCIÓNtiene algunas características muy interesantes que podrían resolver algunas anomalías dela materia oscura fría. A pesar de que la hipótesis de la materia oscura escalar es casiidéntica al modelo de materia oscura fría a escalas cosmológicas, tiene fuertes diferencias aescalas galácticas. La idea de este modelo es la siguiente. En un principio existía un campoescalar con una masa muy ligera del orden de m φ ∼ 10 −23 eV, esparcido homogéneamenteen el Universo. Debido a la inflación del Universo, este campo escalar se condensó a diferentesescalas y de alguna manera inició un colapso gravitacional. Aquí surge la primeradiferencia sustancial con el modelo de materia oscura fría. Debido a que las semillas delos halos de las galaxias se formaron por condensación, estos halos se esperan de todoslos tamaños. Las fluctuaciones primordiales inician el proceso de colapso gravitacionalde estos halos en un tiempo muy temprano y por eso vamos a ver halos bien formadosen tiempos anteriores a los predichos por la materia oscura fría. Este esquema es sóloteórico, uno de los objetivos de este proyecto es ver si este es el caso. Se espera entoncesque el campo escalar evolucione, ya sabemos que en la época de fluctuaciones linealeseste campo se comporta exactamente como materia oscura fría [8], pero el colapsarse yformar halos de galaxias es un proceso muy diferente al paradigma en boga. Este estudioya se ha elaborado para un halo esférico, la idea es llevar a cabo un estudio numéricocompleto, que nos pueda dar una guía completa para ver si este modelo es correcto odebemos modificarlo.Los antecedentes descritos nos llevan a plantearnos como objetivo general de investigaciónel estudio de la formación de estructura de gran escala y formación de halosgalácticos en el marco de teorías de la gravedad con campos escalares acoplados a lamétrica.En este trabajo de tesis vamos a tratar de dar una pequeña aportación al modelode materia oscura escalar para estudiar halos de materia oscura de galaxias. Para estecaso, se sabe que la dinámica tanto del campo escalar como de la geometría del espaciotiempose describen bien en el límite newtoniano y el sistema resultante se le conocecomo Schrödinger-Poisson [6]. Algunos estudios de este sistema los podemos encontrar en[6, 9, 10]. Sin embargo, uno de los inconvenientes de resolver la ecuación de Schrödingerrecide en su naturaleza de tipo parabólico, lo cual la hace complicada de resolver numéricamente.Esta complicación consiste en que se necesitan métodos implícitos para estabilidadnumérica. Por ello, proponemos hacer uso de la transformación de Madelung [11]

INTRODUCCIÓN 5para expresar nuestro sistema en una forma hidrodinámica, en la cual están presentes unpotencial de auto-interacción y un potencial tipo cuántico 2 que depende no linealmente dela densidad. Esta representación es de tipo hiperbólico, y es posible implementar métodosnuméricos explícitos en forma de las leyes de conservación, lo cual no es tan costoso computacionalmentecomo los implícitos. Otra alternativa es usar la técnica de hidrodinámicade partículas suavizadas (SPH por sus siglas en ingles), que fue diseñada para resolver lasecuaciones de Navier-Stokes. Otra ventaja de esta representación, es que podemos obtenerde manera sencilla un criterio en que el sistema Schrödinger-Poisson es estable.Con estos objetivos en mente, dividimos este trabajo como sigue. En el capítulo 1se deduce el sistema Schrödinger-Poisson a partir del modelo de materia oscura escalar.En el capítulo 2 expresamos dicho sistema en su formulación hidrodinámica usando latransformación de Madelung. En el capítulo 3 hacemos el estudio del análisis de inestabilidadde Jeans, el cual nos da un criterio para ver bajo qué condiciones el sistemaSchrödinger-Poisson es inestable. En el capítulo 4 se hace un breve resumen del métodode diferencias finitas enfocado a esquemas numéricos en forma conservativa. En elcapítulo 5 presentamos, como primera aproximación, los resultados numéricos obtenidoscuando se resuelve las ecuaciones hidrodinámicas sin considerar el término cuántico. Enel capítulo 6 expresamos las ecuaciones hidrodinámicas del sistema Schrödinger-Poissonpara el caso de simetría esférica, lo que nos permitirá estudiar nuestro modelo para halosgalácticos. Despúes de las conclusiones, hemos agregado un par de apéndices donde sepuede profundizar un poco más en los detalles técnicos de los capítulos 1 y 4.2 En la representación hidrodinámica de la ecuación de Schrödinger, en el único término donde aparecela constante de planck es en el potencial cuántico y por ello su nombre.

6 INTRODUCCIÓN

Capítulo 1El modelo de Einstein-HilbertEn este capítulo se presenta el modelo de Einstein-Hilbert acoplado a un campo escalarcomplejo. También, se hace su aproximación de campo débil y luego el límite newtoniano.En el régimen newtoniano, las ecuaciones de Einstein se reducen a la ecuación de Poissony la ecuación que rige la dinámica del campo escalar se aproxima a una ecuación de tipoSchrödinger.1.1. La acción de Einstein-HilbertLa acción de Einstein-Hilbert es∫S[g µν , φ] =d 4 x 1 ∫√ −gR +κd 4 xL m , (1.1)donde κ es una constante la cual se usará para recuperar el límite newtoniano, g = det(g µν )es el determinante de la métrica del espacio-tiempo g µν , R es el escalar de curvatura deRicci. La segunda integral es el término de materia que curva el espacio-tiempo. En nuestrocaso tomaremos la densidad lagrangiana asociada con un campo escalar complejo, dadaporL m = −2√ 1 [−g 2 ∇ µ φ∇ µ φ ∗ + m 2 c 2 φφ ∗] . (1.2)donde ∇ µ es la derivada covariante compatible con la métrica g µν , es la constante dePlanck, m es la masa del campo escalar y c la velocidad de la luz 1 . El primer término esun término cinético y el segundo es el potencial. Aplicando un principio variacional a (1.1)1 Hemos puesto estas constantes en la densidad lagrangiana por conveniencia para futuros estudios delmodelo.7

espacio-tiempo 2 G µν ≡ R µν − 1 2 g µνR = κ 2 T µν , (1.3)8CAPÍTULO 1. MODELO DE EINSTEIN-HILBERTrespecto a la métrica g µν obtenemos las ecuaciones de campo asociada a la geometría deldonde G µν se le conoce como el tensor de Einstein, R µν es el tensor de Ricci y T µν es eltensor energía-momento dado porT µν = 2 ∇ (µ φ∇ ν) φ ∗ − 1 2 g [µν 2 ∇ α φ∇ α φ ∗ + m 2 c 2 φφ ∗] . (1.4)donde ∇ (µ φ∇ ν) φ ∗ = (∇ µ φ∇ ν φ ∗ + ∇ ν φ∇ µ φ ∗ )/2. Cabe mencionar que tanto el tensor deEinstein como el tensor energía-momento son simétricos, esto es, G µν = G νµ y T µν = T νµ .1.2. La ecuación de Klein-GordonPara obtener la ecuación de movimiento que rige al campo escalar complejo φ aplicamosun principio variacional a la acción (1.1) respecto al campo φ ∗ . Esto es,δS[φ ∗ ] = 1 ∫d 4 x √ −g ( 2 g µν ∇ µ φδ∇ ν φ ∗ + m 2 c 2 φδφ ∗) , (1.5)2Considerando que se cumple δ∂ ν φ ∗ = ∂ ν δφ ∗ e integrando por partes obtenemos∫(δS[φ ∗ ] = − d 4 x∇ √ ν 2−gg µν ∇ µ φδφ ∗)∫+ d 4 xδφ ∗√ −g ( 2 ∇ µ (g µν ∇ ν φ) − m 2 c 2 φ ) = 0 , (1.6)donde la primera integral es un término de frontera y de la segunda integral obtenemosla ecuación de movimiento para el campo escalar, la cual es∇ µ ∇ µ φ −( mc) 2φ = 0 . (1.7)Esta ecuación es llamada ecuación de Klein-Gordon. Cuando se hace la variación de laacción respecto a φ se obtiene la respectiva ecuación para φ ∗ , o bien, calcular el complejoconjugado de 1.7. Una manera alternativa de obtener la ecuación de Klein-Gordon lapodemos ver en [12, 13].2 En el apéndice A se encuentra el cáculo detallado para la obtención de las ecuaciones de Einstein.

1.3. CAMPO DÉBIL 91.3. Aproximación de campo débil de las ecuacionesde EinsteinDado que en relatividad general, al campo gravitacional se le asocia con la curvaturadel espacio-tiempo, entonces campos gravitacionales débiles corresponderán a espaciostiemposaproximadamente planos. En tal caso consideremosg µν = η µν + h µν (1.8)con |h µν | ≪ 1 y η µν = diag(−1, 1, 1, 1) la métrica de Minkowski. Esto es la métrica delespacio-tiempo g µν es la métrica plana más una perturbación.La inversa de g µν a primer orden en h µν esg µν = η µν − h µν , (1.9)Obtengamos las ecuaciones de campo linealizadas. Para ello, partimos del tensor deRiemannR α βµν = 2∂ [µ Γ α ν]β + 2Γ α ρ[µΓ ρ ν]β (1.10)dondeΓ α µν = 1/2g αβ (∂ ν g βµ + ∂ µ g βν − ∂ β g µν ) (1.11)son los símbolos de Christoffel. Entendamos por los paréntesis cuadrados lo siguiente:∂ [µ f ν] = (∂ µ f ν − ∂ ν f µ )/2. A primer orden en h µν el tensor de Riemann es claro que sereduce aR α βµν (1) = 2∂ [µ Γ α ν]β . (1.12)Usando (1.8) y (1.11) la aproximación del tensor de Riemann la escribimos comoR (1) αβµν = ∂ µ ∂ [β h α]ν + ∂ ν ∂ [α h β]µ . (1.13)Ahora el tensor de Ricci a primer orden en h µν esR βν(1)= η αµ R αβµν ,= ∂ µ ∂ (β h ν)µ − 1 2 (∂µ ∂ µ h βν + ∂ ν ∂ β h) , (1.14)donde hemos definido ∂ µ ≡ η µν ∂ νy h ≡ h µ µ. Ahora calculemos el escalar de Ricci aprimer orden en h µνR (1) = R ν(1) ν = η βν R (1) βν ,= η βν ∂ µ ∂ (β h ν)µ − 1 2 (∂µ ∂ µ η βν h βν + η βν ∂ β ∂ ν h) ,= η βν ∂ µ ∂ (β h ν)µ − ∂ µ ∂ µ h . (1.15)

10CAPÍTULO 1. MODELO DE EINSTEIN-HILBERTUsando (1.14) y (1.15) calculamos el tensor de Einstein a primer orden en h µνG βν(1)= R βν (1) − 1 2 η βνR (1) ,= ∂ µ ∂ (β h ν)µ − 1 2 (∂µ ∂ µ h βν + ∂ β ∂ ν h) ,− 1 2 η βν(η αγ ∂ µ ∂ (α h γ)µ − ∂ µ ∂ µ h) . (1.16)Para simplificar la expresión (1.16) hagamos¯h µν = h µν − 1 2 η µνh . (1.17)Sustituyendo en la ecuación (1.16) obtenemosG (1) βν = ∂ µ ∂ (β¯hν)µ − 1 2 (∂µ ∂ µ¯hβν + η βν ∂ α ∂ γ¯hαγ ) . (1.18)Ahora consideremosx¯µ = x µ + ξ µ (1.19)siendo |∂ ν ξ µ | ≪ 1. La matriz Jacobiana esΛ¯µν = ∂ ν x µ + ∂ ν ξ µ= δ µ ν + ∂ ν ξ µ . (1.20)A primer orden de ξ µ , la inversa de la matriz Jacobiana esΛ ν ¯µ = δ ν µ − ∂ µ ξ ν . (1.21)Entonces la métrica transformag¯µ¯ν = Λ¯µ α Λ¯ν β g αβ ,= h µν + η µν − 2∂ (µ ξ ν) . (1.22)A la transformaciónh ′ µν = h µν − 2∂ (µ ξ ν) (1.23)se le conoce como transformación de norma. A continuación veamos cómo transforma ¯h µν¯h ′ µν = h ′ µν − 1 2 η µνh ′ ,= h ′ µν − 1 2 η µνη αβ h ′ αβ , a primer orden de h αβ ,= h µν − 1 2 η µνh − 2∂ (µ ξ ν) + η µν ∂ α ξ α ,= ¯h µν − 2∂ (µ ξ ν) + η µν ∂ α ξ α . (1.24)

1.3. CAMPO DÉBIL 11Ahora notemos lo siguiente∂ ν¯h′νµ= ∂ ν¯hνµ − 2∂ ν ∂ (µ ξ ν) + η µν ∂ ν ∂ α ξ α ,= ∂ ν¯hνµ − ∂ ν ∂ ν ξ µ . (1.25)Aquí estamos en la libertad de poner una norma para ¯h µν . Si pedimos que∂ ν ∂ ν ξ µ = ∂ ν¯hνµ(1.26)lo cual es una ecuación de onda para ξ µ con fuente ∂ ν¯hνµ . Tenemos que∂ νµ ν¯h′ = 0 , (1.27)asumiendo esta norma, las ecuaciones de Einstein quedan∂ α ∂ α¯hβν = −κT βν , (1.28)donde ∂ α ∂ α es el operador d’alambertiano en el espacio plano, es decir, es el operador deonda. Estas son las ecuaciones de campo para un campo gravitacional débil en su formaestándar. A esta expresión se le conoce como límite de campo débil.Una aplicación particularmente importante de la aproximación de campo débil esel límite newtoniano de la relatividad general. Este límite no sólo corresponde a camposdébiles sino también a pequeñas velocidades de las fuentes, lo cual implica que la densidadde energía T 00 es mucho más grande que la densidad de energía y de esfuerzos. En tal casopodemos considerar sólo la componente ¯h 00 e ignorar los demás términos [14]. Para unanálisis detallado de la aproximación newtoniana de las ecuaciones de Einstein ver [15],la cual es la referencia de donde nos basaremos para presentar los siguientes resultados.Las ecuaciones de campo se reducen entonces a∂ α ∂ α¯h00 = − 16πGc 2 m 2 φφ ∗ , (1.29)donde hemos tomado κ = 16πG/c 4 y T 00 ≈ m 2 c 2 φφ ∗ . Además, para velocidades pequeñasimplica que la derivada temporal en el operador d’alambertiano son mucho más pequeñasque las derivadas espaciales, así que la ecuación se reduce a∇ 2¯h00 = − 16πGc 2 m 2 φφ ∗ , (1.30)donde el operador ∇ 2 es el laplaciano 3-dimensional. Comparando este resultado con laecuación de campo de Newton ∇ 2 U = 4πGρ concluimos que en este límite ¯h 00 = −4U/c 2

12CAPÍTULO 1. MODELO DE EINSTEIN-HILBERTy ¯h i0 = ¯h ij = 0 (para i ≠ j, i, j = 1, 2, 3) y m 2 φφ ∗ corresponde a la fuente. Regresando a ladefinición de ¯h αβ en términos de h αβ , tenemos que h 00 = h ii = −2U/c 2 . La expresión finaldel limite newto-niano de las ecuaciones de Einstein la presentaremos en (1.37) debidoque aun nos falta ver cómo se reduce φ en este límite y lo mostraremos en la siguientesección.La métrica del espacio-tiempo en la aproximación newtoniana esds 2 = −(c 2 + 2U)dt 2 + (1 − 2U/c 2 )d⃗r · d⃗r , (1.31)donde d⃗r · d⃗r = dx 2 + dy 2 + dz 2 . Cabe mencionar que el parámetro que tomaremos parahacer expasión en series es la cantidad adimensional U/c 2 ≪ 1, lo cual es la aproximacióna campo débil.1.4. La ecuación de tipo SchrödingerEn esta sección haremos la aproximación newtoniana de la ecuación de Klein-Gordondando lugar a una ecuación tipo Schrödinger. Por simplicidad tomemos en los cálculos deesta sección c = = 1 y retomaremos las unidades correctas del resultado bajo ciertoscambios que abajo daremos. Sustituyendo (1.31) en (1.7)g 00 ∂ 0 ∂ 0 φ + g ii ∂ i ∂ i φ − m 2 φ = 0−(1 + 2U) −1 ∂ 2 t φ + (1 − 2U) −1 ∇ 2 φ − m 2 φ = 0(1 − 2U)∂ 2 t φ − (1 + 2U)∇ 2 φ + m 2 φ ≈ 0 . (1.32)Como ansatz para hacer de manera correcta el límite newtoniano de la ecuación deKlein-Gordon tomemos 3 [12]φ = ψ(⃗x, t)e −imt . (1.33)Sustituyendo en (1.32) y teniendo en cuenta que U ≪ 1, obtenemos− 12m ¨ψ + i ˙ψ + 12m ∇2 ψ − mUψ = 0 (1.34)donde ¨ψ = ∂ 2 t ψ y ˙ψ = ∂ 2 t ψ. Para un campo que varía lentamente en el tiempo se tieneque ¨ψ ≈ 0, por lo quei ˙ψ = − 12m ∇2 ψ + mUψ , (1.35)3 Una alternativa para realizar la aproximación newtoniana de la ecuación de Klein-Gordon se puedever en la referencia [15].

1.4. LA ECUACIÓN DE TIPO SCHRÖDINGER 13Regresando a las unidades del SI hacemos m −→ mc 2 /, ∇ 2 −→ c 2 ∇ 2 y U −→ U/c 2para obteneri ˙ψ = − 22m ∇2 ψ + mUψ , (1.36)la cual es una ecuación que tiene la forma de la ecuación de Schrödinger y por ende lallamaremos ecuación de tipo Schrödinger.La razón del por qué se dice que la ecuación (1.36) es de tipo Schrödinger y no laecuación de Schrödinger que describe la mecánica cuántica es muy simple, la naturalezadel campo φ en (1.7) es clásico y por lo tanto también lo es ψ. Sin embargo, los métodosde solución que se usan para resolver la ecuación de Schrödinger son válidos aplicarlos.Usando el ansatz (1.33) las ecuaciones de campo de Einstein (1.30) se reducen a laecuación de Poisson∇ 2 U = 4πGρ , (1.37)siendo U el potencial gravitacional debido al campo escalar con fuente ρ = m 2 ψψ ∗ . Alconjunto acoplado dado por (1.36) y (1.37) se le conoce en la literatura como sistemaSchrödinger-Poisson. Algunos estudios de este sistema lo podemos ver en [6, 9, 10].

14CAPÍTULO 1. MODELO DE EINSTEIN-HILBERT

Capítulo 2Modelo hidrodinámico del sistemaSchrödinger-PoissonTomando como motivación la formulación hidrodinámica de la ecuación de Schrödingerque rige la mecánica cuántica debida a Madelung y de Broglie [11], posteriormente ampliadapor de Broglie y Bohm [16], expresaremos (1.36) en una representación de tipohidrodinámico. En esta formulación de Madelung, la ecuación de Schrödinger, la cual esuna ecuación diferencial lineal y compleja, se reemplaza por una densidad de probabilidady su campo de velocidades.2.1. Versión hidrodinámica de la ecuaciónde tipo SchrödingerAplicando la transformación de Madelung [11]donde R y S son funciones reales, enψ = R(⃗r, t)e iS(⃗r,t) , (2.1)i ∂ψ∂t = − 22m ∇2 ψ + mU(⃗r, t)ψ , (2.2)y después de algo de álgebra se obtiene una ecuación compleja donde la parte imaginariaestá dada por∂ t R = 2 22∇S · ∇R −2m 2m R∇2 S , (2.3)15

16CAPÍTULO 2. MODELO HIDRODINÁMICOy la correspondiente parte real es−R∂ t S = mUR + 22m ∇2 R − 22m R(∇S)2 , (2.4)Es conveniente definir las siguientes variables de campo⃗v = ∇S ,m(2.5)ρ = m 2 R 2 . (2.6)Ahora, multiplicando (2.3) por R y usando la identidad 2R∇S · ∇R = ∇ · (R 2 ∇S) −R 2 ∇ 2 S y las definiciones (2.5) y (2.6) obtenemos la ecuación de continuidad∂ t ρ + ∇ · (ρ⃗v) = 0 , (2.7)siendo ρ una densidad y ρ⃗v un flujo de la densidad ρ que entra o sale de una región.Ahora dividiendo por R y luego multiplicando por el gradiente la ecuación (2.4) y usandola identidad ∇(∇S · ∇S) = 2(∇S · ∇)∇S y las definiciones (2.5) y (2.6) obtenemos∂ t ⃗v + (⃗v · ∇)⃗v = −∇(U − 2 ∇ 2√ )ρ√ . (2.8)2m 2 ρLas ecuaciones (2.7) y (2.8) son la formulación hidrodinámica de la ecuación de campode tipo Schrödinger. Estas ecuaciones indican que la evolución temporal del campo ψ(⃗r, t)es equivalente al flujo de un “fluido” de densidad ρ(⃗r, t) cuyas partículas de masa m, semueven con una velocidad ⃗v(⃗r, t) sujetos a una fuerza derivada de un potencial externoU(⃗r, t) más una fuerza adicional debido a un potencial cuántico 1 Q(⃗r, t), el cual dependede la densidad del fluido [11, 17, 18] definido comoQ(⃗r, t) ≡ − 22m 2 ∇ 2√ ρ√ ρ. (2.9)De (2.1) es inmediato ver que el campo escalar es invariante ante un cambio de faseS ′ = S + 2πn, y por lo tanto,∮∮m⃗v · d⃗r = ∮∇S · d⃗r = dS = 2πn , (2.10)con n = 0, ±1, ±2, . . . . Este resultado es una condición de compatibilidad entre la versiónhidrodinámica (2.7) y (2.8) y la ecuación de tipo Schrödinger, esto es, una solución (ρ, ⃗v)le corresponde una ψ bien definida y de manera unívoca.No obstante, el “fluido” descrito por (2.7) y (2.8) tiene una diferencia esencial respectoa un fluido ordinario: En un movimiento rotacional, ⃗v decrece cuando la distancia al centrocrece, y viceversa. Esto es debido a la condición de compatibilidad (2.10).1 Dado que es en el único término donde aparece la constante de Planck se le llamó potencial cuántico

2.2.HIDRODINÁMICA: SCHRÖDINGER-POISSON 172.2. Hidrodinámica: Schrödinger-PoissonComo se vió en la sección anterior, la dinámica del campo escalar se convierte en unsistema de forma hidrodinámica, constituido por las ecuaciones semejantes que describena un fluido no viscoso. Entonces, el conjunto Schrödinger-Poisson en esta formulación es∂ t ρ + ∇ · (ρ⃗v) = 0 (2.11)∂ t ⃗v + (⃗v · ∇)⃗v = −∇(U − 2 ∇ 2√ )ρ√ (2.12)2m 2 ρ∇ 2 U = 4πGρ . (2.13)Este sistema representa la dinámica de un “fluido” autogravitante equilibrado con unpotencial tipo cuántico. Haciendo una analogía estructural de las ecuaciones nos damoscuenta que no tenemos un término de presión por lo que es razonable pensar que estamostratando con una “ecuación de estado” constante. En la literatura cuando p = 0 se diceque el sistema es polvo, y aunque no es muy realista, es buena aproximación en algunoscasos especiales.Entre las aplicaciones que tiene esta ecuación de estado están: modelar una colecciónde particulas frías no colisionante, en cosmología es usado para una distribución uniformede materia y en el contexto astrofísico es útil para la estructura de rotación de anilloso discos de partículas y para el colapso de una cáscara de materia inicialmente en reposo(conocido como colapso de Oppenheimer-Snyder). Puesto que no hay presión, elmovimiento de los elementos de fluidos es a lo largo de geodésicas del espacio-tiempo. Entérminos de partículas, podemos pensar en el polvo como un conjunto de partículas quetienen exactamente la misma velocidad a nivel local (conocido como flujo laminar), demodo que no hay una componente aleatoria [19].Sin embargo, dado que la fuerza cuántica es opuesta a la fuerza auto-gravitante podemospensar que es debido a la presión del fluido y expresarla como−∇Q = 1 ρ ∇p q(ρ) , (2.14)donde p q ≠ 0 juega el papel de una ecuación de estado.

18CAPÍTULO 2. MODELO HIDRODINÁMICO

Capítulo 3Inestabilidad de JeansEn este capítulo estudiamos en el régimen lineal la estabilidad del sistema Schrödinger-Poisson en su forma hidrodinámica. Este análisis está basado en el estudio de la inestabilidadde Jeans para el colapso gravitacional de un gas protoestelar.James Jeans demostró que a partir de un fluido homogeneo e isotrópico, pequeñasfluctuaciones en la densidad y en la velocidad se podrían generar [20]. Sus cálculos fueronhechos en el contexto de un fluido estático. En particular, él mostró que las fluctuacionesde densidad pueden crecer en el tiempo si los efectos de inestabilidad de presión es menorque la autogravedad de una fluctuación de densidad para inducir el colapso. No es sorprendenteque tal efecto exista porque la gravedad es una fuerza atractiva, así que, las fuerzasde presión son despreciables, una región con mayor densidad que la de fondo se esperaque atraiga más materia de sus alrededores, entonces llega a ser más denso. Mientras másdensa es la región, más materia atraerá, resultando el colapso de una fluctuación de ladensidad a un objeto ligado gravitacionalmente. El criterio simplemente consiste en versi una fluctuación que crecerá con el tiempo es de la longitud típica de una fluctuacióndebería ser más grande que la longitud de Jeans para el fluido.Antes de calcular la longitud de Jeans en detalles matemáticos, hagamos un cálculo deorden de magnitud para ver su significado físico. Consideremos que en un instante dado,hay una fluctuación esférica de radio λ, homogenea, densidad positiva ρ 1 > 0 y masaM situado en un medio de densidad media ρ 0 . Las fluctuaciones crecerán si la fuerzaautogravitante por unidad de masa, F g , excede la fuerza opuesta por unidad de masa que19

20CAPÍTULO 3. INESTABILIDAD DE JEANSsurge de la presión F pF g ≈ GMλ 2≈ Gρλ3λ 2> F p ≈ pλ2ρλ 3 ≈ v2 sλ , (3.1)donde v s es la velocidad del sonido, esta relación implica que la fluctuación crece si λ >v s (Gρ) −1/2 . Esto establece la existencia de la longitud de Jeans λ J ≈ v s (Gρ) −1/2 .3.1. Ecuaciones hidrodinámicas linealizadasPara hacer el estudio de la inestabilidad de Jeans es necesario linealizar el sistemahidrodinámico∂ t ρ + ∇ · (ρ⃗v) = 0 , (3.2)∂ t ⃗v + (⃗v · ∇)⃗v = −∇(U − 2 ∇ 2√ )ρ√ , (3.3)2m 2 ρ∇ 2 U = 4πGρ . (3.4)Este sistema de ecuaciones admite la solución estática con ρ = ρ 0 , ⃗v = 0 y ∇U = 0.Sin embargo, si ρ ≠ 0, el potencial gravitacional debería variar espacialmente, es decir,una distribución homogénea de ρ no puede ser estacionario y debería estar globalmenteexpandiéndose o contrayéndose. La incompatibilidad de un universo estático con el principiocosmológico es aparentemente en gravedad newtoniana pero este mismo efecto estambién la razón del por qué el universo estático de Einstein es inestable. De cualquiermodo, cuando consideramos un universo en expansión, los resultados de Jeans no cambiancualitativamente. A pesar de que esta teoría es inconsistente, puede ser reinterpretadapara dar resultados correctos. Para ello, busquemos una solución al sistema hidrodinámico(3.2)-(3.4) que representa una pequeña perturbación a la solución estáticaρ ≈ ρ 0 + ɛρ 1 , ⃗v ≈ ɛ⃗v 1 , U ≈ U 0 + ɛU 1 , (3.5)donde las variables de perturbación ρ 1 , ⃗v 1 y U 1 son funciones del espacio y tiempo y ɛ ≪ 1.Sustituyendo (3.5) en (3.2)-(3.4) y tomando los términos a primer orden de ɛ obtenemosel respectivo conjunto linealizado∂ t ρ 1 + ρ 0 ∇ · ⃗v 1 = 0 , (3.6)∂ t ⃗v 1 = ∇U 1 + 24m ∇ [ ∇ 2 (ρ 2 1 /ρ 0 ) ] , (3.7)∇ 2 U 1 = 4πGρ 1 . (3.8)

3.2.ANÁLISIS DE INESTABILIDAD DE JEANS 213.2. Análisis de inestabilidad de JeansEstudiemos las soluciones del sistema linealizado (3.6)-(3.8) buscando soluciones en laforma de ondas planasδu i = δ i0 e i(⃗ k·⃗r+ωt) , (3.9)donde las perturbaciones δu i con i = 1, 2, 3 corresponden a ρ 1 , ⃗v 1 y U 1 , y las correspondientesamplitudes δ 0i a D, ⃗ V y U, respectivamente. El vector ⃗r es el vector posición, ⃗ k es elvector de onda y ω es la frecuencia angular de oscilación, el cual en general es complejo.Usando (3.9) en (3.6)-(3.8) y definiendo δ 0 ≡ D/ρ 0 obtenemosωδ 0 + ⃗ k · ⃗V = 0 (3.10)ωV ⃗ + U ⃗ k + 24m δ 0k 2 ⃗ k 2 = 0 , (3.11)k 2 U + 4πGρ 0 δ 0 = 0 . (3.12)Brevemente consideremos las soluciones con ω = 0, es decir, las que no dependen deltiempo. Es evidente de (3.10), que el vector de onda ⃗ k es perpendicular a la velocidad ⃗v 1y se cumple que ∇ × ⃗v 1 ≠ 0. Juntando estas expresiones obtenemos( ) 16πGρ0 m 2 1/4k =. (3.13) 2Ahora tratemos las soluciones dependientes del tiempo, ω ≠ 0. Derivemos (3.6) respectoa t y considerando que ⃗v 1 es una función suave tal que ∂ t ∇ ·⃗v 1 = ∇ · (∂ t ⃗v 1 ), y luegosustituimos las expresiones (3.7) y (3.8) para obtener∂ 2 t ρ 1 − 4πGρ 0 ρ 1 + 24m 2 ∇2 ∇ 2 ρ 1 = 0 . (3.14)Sustituyendo (3.9) en (3.14) se llega a la relación de dispersiónω 2 =24m 2 k4 − 4πGρ 0 . (3.15)Esta relación de dispersión es análoga a la que encontró Jeans [20], siendo la diferenciaque la forma del potencial cuántico hace que la magnitud del vector de onda tengaexponente 4. Para soluciones estables, pedimos que ω > 0, lo cual implica( ) 16πGρ0 m 2 1/4k > k J ≡, (3.16) 2

22CAPÍTULO 3. INESTABILIDAD DE JEANSdonde definimos el vector de onda de Jeans k J . En base a este resultado la longitud deonda de Jeans, λ J = 2π/k J , está dada por( ) π 3 2 1/4λ J =. (3.17)Gρ 0 m 2Entonces para longitudes de onda mayores que la longitud de onda de Jeans tenemosque la perturbación crecen o decrecen exponencialmente. En base a la definición de lalongitud de Jeans, reescribimos la relación de dispersión comoω = ± 2m k2 [1 −( λλ J) 4] 1/2. (3.18)Recordemos que la velocidad del sonido en la teoría de Jeans se define como vs2 ≡dp/dρ. No siendo aquí el caso definimos una cantidad que llamaremos la velocidad delsonido comoṽ s ≡De (3.9), (3.10)-(3.12) y (3.19) obtenemos2m k . (3.19)ρ 1ρ 0= δ 0 e i(⃗ k·⃗r±|ω|t) , (3.20)⃗v 1 = ∓ ⃗ kk ṽsδ 0[1 −( λλ J) 4] 1/2e i(⃗ k·⃗r±|ω|t) , (3.21)U 1 = −δ 0 ṽ 2 s( λλ J) 4e i(⃗ k·⃗r±|ω|t) . (3.22)Cuando λ > λ J la frecuencia ω es imaginariaω = ±i(4πGρ 0 ) 1/2 [1 −En este caso las expresiones anteriores quedan( ) ] 4 1/2λJ. (3.23)λρ 1= δ 0 e i⃗k·⃗r±|ω|t , (3.24)ρ 0⃗v 1 = ∓i ⃗ [ ( ) ] 4 1/2kk δ 0(4πGρ 2 0 ) 1/2 λJ1 −e i⃗k·⃗r±|ω|t , (3.25)λU 1 = −δ 0 ṽ 2 s( λλ J) 4e i⃗ k·⃗r±|ω|t . (3.26)

3.3.ESTIMACIÓN DE LA MASA DEL CAMPO ESCALAR 23lo cual representan una solución de ondas estacionarias, cuyas amplitudes crecen o decresenen el tiempo. El tiempo de escala característico para la evolución de esta amplitud sedefine comoτ ≡ |ω| −1 = (4πGρ 0 ) −1/2 [1 −( ) ] 4 −1/2λJ. (3.27)λPara escalas λ ≫ λ J , el tiempo característico τ coincide con el tiempo de colapso decaída libre 1 , τ ff ≈ (Gρ 0 ) −1/2 , pero cuando λ −→ λ J , este tiempo diverge.Se define la masa de Jeans como la masa contenida en una esfera de radio λ J /2 ydensidad media ρ 0 , esto esM J = 1 6 πρ 0( π 3 2Gρ 0 m 2 ) 3/4. (3.28)La masa de Jeans es la masa mínima de la perturbación para que ésta aumente conel tiempo.Un estudio de la inestabilidad de Jeans tanto en el contexto cosmológico como el localreferente al modelo de axiones para materia oscura es [21]. En este trabajo menciona que enel régimen lineal, los condensados de Bose-Einstein de axiones y CDM son indistinguiblespara todas las escalas de interés observacional. Sin embargo en el régimen no lineal deformación de estructura, estas dos teorías difieren en el potencial cuántico.3.3. Estimación de la masa del campo escalarDespejando la masa del campo escalar de la ecuación (3.17) obtenemos( ) π 3 2 1/2m =,Gρ 0 λ 4 J(3.29)Hagamos un cálculo de orden de magnitud para la masa del campo escalar, así que ∼ 10 −34 J · s −→ 2 ∼ 10 −68 J 2 · s 2 , (3.30)G ∼ 10 −11 m 3 /Kg · s 2 (3.31)1 El tiempo de colapso libre es el tiempo necesario para que un sistema colapse bajo su propia atraccióngravitacional en ausencia de fuerzas opuestas.

24CAPÍTULO 3. INESTABILIDAD DE JEANSSegún la teoría de formación de estructrura estándar, un valor de la longitud de Jeansλ J puede ser fijado para la época en que la radiación y la materia son iguales teniendo unfactor de escala a ≃ 1/3200. En este tiempo, ρ ≃ 3 × 10 10 M ⊙ a −3 /Mpc 3 [22], y la longitudde Jeans ∼ O(10 2 )pc [23]. Aquí M ⊙ = 1,9891 × 10 30 Kg es la masa del sol.Entonces tomando la densidad ρ 0 ∼ 10 −14 Kg/m 3 y λ J ∼ 10 2 pc tenemosm 2 2∼Gρ 0 λ 4 J(3.32)∼ 10 −114 Kg 2 (3.33)m ∼ 10 −57 Kg (3.34)En unidades de eV/c 2 tenemos quem ∼ 10−57 Kg10 16 m 2 /s 2c 2 = 10 −41 J/c 2 = 10 −22 eV/c 2 . (3.35)Por lo tanto, con el cálculo de la estabilidad de Jeans, obtenemos que la masa del campoescalar es ∼ 10 −22 eV/c 2 , lo cual es un resultado obtenido en [24, 25]. De la definición dela masa de Jeans obtenemosM J ∼ 10 10 M ⊙ . (3.36)

Capítulo 4Método de diferencias finitas paraEDPLas ecuaciones diferenciales parciales asociadas a teorías físicas son en general complicadasde resolver analíticamente excepto en casos muy idealizados. Esta dificultad puedetener diversos orígenes, desde la presencia de fronteras irregulares, a la existencia detérminos no lineales en las ecuaciones mismas. Para resolver este tipo de ecuaciones ensituaciones dinámicas generales resulta inevitable utilizar aproximaciones numéricas.En este capítulo hacemos un breve resumen de la esencia del método de diferenciasfinitas para resolver ecuaciones diferenciales parciales. Por simplicidad, lo trataremos enuna dimensión espacial y la temporal.4.1. Método de diferencias finitasCuando se estudia un campo en un espacio-tiempo continuo, se ve en la necesidadde considerar un número infinito (y no contable) de variables desconocidas: el valor delcampo en todo punto del espacio y a todo tiempo. Para encontrar el valor del campoutilizando aproximaciones numéricas primero se debe reducir el número de variables auna cantidad finita.La idea básica de las diferencias finitas es sustituir al espacio-tiempo continuo por unconjunto discreto de puntos. Este conjunto de puntos se conoce como la “malla” o “redcomputacional”. Las distancias entre los puntos en el espacio en general no son uniformes,pero aquí supondremos que lo son por simplicidad. El paso de tiempo entre dos niveles25

26CAPÍTULO 4. MÉTODO DE DIFERENCIAS FINITAS PARA EDPespaciales se denota por ∆t y la distancia entre dos puntos adyacentes en el espacio por∆x. La figura 4.1 es una representación gráfica de la red computacional.t∆x. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .∆txFigura 4.1: Discretización del espacio-tiempo utilizando diferencias finitas.Una vez establecida la malla computacional, el siguiente paso es sustituir las ecuacionesdiferenciales por un sistema de ecuaciones algebraicas. Esto se logra aproximando losoperadores diferenciales por diferencias finitas entre los valores de las funciones en puntosadyacentes de la malla. De esta forma se obtiene una ecuación algebraica en cada puntode la malla por cada ecuación diferencial. Estas ecuaciones involucran los valores de lasfunciones en el punto considerado y en sus vecinos más cercanos, y se puede resolver demanera sencilla, sin embargo, el precio que se ha pagado es que se tiene un número grandede ecuaciones algebraicas, por lo que se requiere utilizar una computadora.4.1.1. Método de coeficientes indeterminadosUna manera de derivar las correspondientes fórmulas discretizadas de los operadoresdiferenciales de una ecuación diferencial a resolver es usar la serie de Taylor y el métodode coeficientes indeterminados. Para ello veamos un ejemplo, supongamos que queremosaproximar la derivada de la función u(x) basados en u(x), u(x − ∆x) y u(x − 2∆x) en laformaDu(x) = au(x) + bu(x − ∆x) + cu(x − 2∆x) (4.1)donde ∆x ≪ 1. Usando la expansión de series de Taylor de u(x − ∆x) y u(x − 2∆x)obtenemosDu(x) = (a + b + c)u(x) − (b + 2c)∆x u ′ (x) + 1 2 (b + 4c)(∆x)2 u ′′ (x)+ O((∆x) 3 ) , (4.2)

4.1.MÉTODO DE DIFERENCIAS FINITAS 27donde ( ′ ) denota d/dx. Igualando Du(x) = u ′ (x) obtenemosa + b + c = 0 ,b + 2c = − 1∆x , (4.3)b + 4c = 0 .Además se pide que los coeficientes de términos de orden superior sean cero. Resolviendoel sistema (4.3) obtenemos a = 3/2∆x, b = −2/∆x y c = 1/2∆x. Por lo tanto,la primera derivada de u(x) la aproximamos comoDu(x) = 1 [3u(x) − 4u(x − ∆x) + u(x − 2∆x)] . (4.4)2∆xEl error en esta aproximación esDu(x) − u ′ (x) = − 1 6 (b + 8c)(∆x)3 u ′′′ (x) + · · · ,= 1 12 (∆x)2 u ′′′ (x) + O(∆x) 3 . (4.5)De manera similar podemos aproximar la segunda derivada de u(x), usando las expresionesen series de Taylor de u(x+∆x), u(x) y u(x−∆x) y resolviendo el correspondientesistema algebraico, obtenemosD 2 u(x) =1[u(x + ∆x) − 2u(x) + u(x − ∆x)] , (4.6)(∆x)2= u ′′ (x) + 1 12 (∆x)2 u ′′′ (x) + O(∆x) 4 , (4.7)donde es claro que el error en esta aproximación es del orden de (∆x) 2 .Es conveniente adoptar la siguiente notación, nos referiremos al i-ésimo punto espacialde la malla computacional como x i = i∆x, donde i = 0, 1, 2, . . . y el valor de una funciónen dicho punto como u i = u(x i ). Por lo tanto, u i+1 representa el valor de u(x) en el puntox i+1 = (i + 1)∆x. En base a esta convención, escribimos de una manera compacta lasexpresiones (4.4) y (4.6) evaluados en el punto x iDu(x i ) =D 2 u(x i ) =12∆x (3u i − 4u i−1 + u i−2 ) , (4.8)1(∆x) (u 2 i+1 − 2u i + u i−1 ) . (4.9)En el caso de una función que depende de una dimensión espacial y del tiempo denotaremosel n-ésimo tiempo por t n = n∆t, así que, u n i= u(x i , t n ) representa la función

28CAPÍTULO 4. MÉTODO DE DIFERENCIAS FINITAS PARA EDPu(x, t) evaluado en el punto x i al tiempo t n .Una vez conocido el procedimiento para calcular aproximaciones de derivadas de funciones,basta con mencionar los coeficientes de las combinaciones lineales para calcularoperadores diferenciales de primero y segundo orden, centrados y balanceados con distintosórdenes de precisión. Ver apéndice B.4.1.2. Método conservativoPara resolver ecuaciones hidrodinámicas es necesario escribir los algoritmos en formade las leyes de conservación [26], lo cual significa que tiene la formaU n+1i = U n i − ∆t∆x [F (U n i−p, U n i−p+1, . . . , U n i+q) − F (U n i−p−1, U n i−p, . . . , U n i+p−1)] , (4.10)para alguna función F de p + q + 1 argunentos. A dicha función F se le conoce comofunción de flujo numérico. En el caso más simple p = 0 y q = 1, F es una función de dosvariables, así queū n iU n+1i = U n i − ∆t∆x [F (U n i , U n i+1) − F (U n i−1, U n i )] . (4.11)Esta forma es muy natural si vemos U n idefinido porcomo una aproximación a una celda promedioū n i ≡ 1 ∫ xi+1/2dx u(x, t n ) , (4.12)∆x x i−1/2donde u(x, t) es la solución exacta al problema y satisface la forma integral de la ley deconservación,∫ xi+1/2x i−1/2dx u(x, t n+1 ) =∫ xi+1/2x i−1/2∫ ti+1−t ndx u(x, t n ) −[∫ ti+1t ndt f(u(x i+1/2 , t))]dt f(u(x i−1/2 , t)) . (4.13)donde f(u(x i , t)) corresponde al flujo físico en el punto x i para todo tiempo t. Dividiendopor ∆x y usando la definición (4.12) se tieneū n+1i = ū n i − 1∆x[∫ ti+1t ndt f(u(x i+1/2 , t)) −∫ ti+1t n]dt f(u(x i−1/2 , t)) . (4.14)Comparando esta expresión con (4.11), vemos que el flujo numérico F (U i , U i+1 ) juegael papel de un flujo promedio a través de x i+1/2 en el intervalo de tiempo [t n , t n+1 ]F (U i , U i+1 ) ∼ 1 ∆t∫ tn+1t ndt f(u(x i+1/2 , t)) . (4.15)

4.2. CONDICIONES A LA FRONTERA 29Como ejemplo veamos un caso sencillo, consideremos la ecuación escalar no lineal,∂ t u + ∂ x (u 2 /2) = 0 , (4.16)llamada ecuación de Burgers. En base a (4.11), identificamos el flujo numérico comoF (U i ) = U 2 i /2. Por lo tanto, la forma conservativa discretizada de la ecuación de BurgersesU n+1i = U n i − ∆t∆x [U 2 i /2 − U 2 i−1/2] . (4.17)Esto tambien puede ser visto, si discretizamos la derivada temporal como∂ t U ≈ U n+1i − Uin∆t, (4.18)y la derivada espacial por∂ x U ≈ U 2 i /2 − U 2 i−1/2∆x. (4.19)Debido a estas discretizaciones es claro que (4.17) es una aproximación a primer ordenen ∆x. Antes de finalizar esta sección mencionaremos el siguiente teorema (1960):teorema de Lax-Wendroff. Para sistemas hyperbólicos de leyes de conservación,una aproximación numérica escrita en forma conservativa, si es convergente, convergeráa una solución débil del sistema original.Para fines prácticos entendamos por solución débil a una solución físicamente aceptable.Para una definición matemática podemos ver la referencia [26].4.2. Condiciones a la fronteraCuando resolvemos ecuaciones diferenciales mediante métodos numéricos es necesarioimponer condiciones a la frontera al sistema debido a que el dominio de las variablesindependientes es finito. A continuación damos una breve explicación de las condicionesa la frontera típicamente usadas.Condición a la frontera saliente. Se trata de una condición que se impone paramodelar fronteras abiertas que permiten el flujo afuera del dominio de las solucionespero no hacia dentro. La manera de implementar esto es hacer simplemente unaextrapolación de la función con los puntos interiores de la red computacional.

30CAPÍTULO 4. MÉTODO DE DIFERENCIAS FINITAS PARA EDPCondiciones a la frontera periódicas. En este caso, el dominio es tal que el extremoderecho del dominio espacial se identifica con el extremo izquierdo. La condición essimplemente pedir que f(x 0 , t) = f(x N , t).4.3. Viscosidad ArtificialPara simular problemas de hidrodinámica, se requieren técnicas numéricas para permitirque los algoritmos sean capaces de modelar ondas de choque. Sin ello, la simulacióndesarrollará oscilaciones no físicas en los resultados numéricos alrededor de la región dechoque. La aplicación de las leyes de conservación de la masa, del momento y de la energíaa través de una onda de choque requiere la simulación de la transformación de energíacinética en energía calorífica. En otras palabras, la transformación de energía puede serrepresentada como una forma de disipación debido a una viscosidad del sistema. Estaidea llevó al desarrollo de la viscosidad artificial de Von Neumann-Richtmyer [27] queestá dada por⎧⎪⎨ a 1 ∆x 2 ρ(∇ · ⃗v) 2 si ∇ · ⃗v < 0Π 1 =⎪⎩ 0 si ∇ · ⃗v ≥ 0y sólo necesita estar presente durante la compresión del sistema. Aquí a 1(4.20)> 0 es unaconstante adimensional arbitraria, ρ es la densidad, ⃗v la velocidad y ∆x es el intervaloen la discretización espacial. Note que esta viscosidad es una expresión cuadrática de ladivergencia de la velocidad.Una alternativa de viscosidad artificial que desaparece más lentamente para cambiospequeños en ⃗v, es⎧⎪⎨ a 2 ∆xρ|∇ · ⃗v| si ∇ · ⃗v < 0Π 2 =⎪⎩ 0 si ∇ · ⃗v ≥ 0(4.21)con a 2 > 0 es un coeficiente constante arbitrario. Una forma más genérica de viscosidadartificial es proponer la suma de éstasΠ = a 1 ∆x 2 ρ(∇ · ⃗v) 2 + a 2 ∆xρ|∇ · ⃗v| . (4.22)Los valores de las constantes a 1 y a 2 son ajustados según la simulación, siendo típicamentea 2 un orden de magnitud más pequeño que a 1 . Note que la viscosidad lineal Π 2 es

4.4. PRUEBAS DE CONVERGENCIA 31del orden de ∆x mientras que Π 1 introduce un error del orden de (∆x) 2 .No obstante, los términos de vicosidad artificial son usualmente añadidos al términode presión física, y ayuda a contribuir a la difusión de variaciones bruscas en el flujo y ladisipación de la energía en las regiones de choque.4.4. Pruebas de convergenciaCualquier cálculo numérico hecho a una sóla resolución (es decir para un sólo valor de∆x y ∆t) sin estudiar cómo la solución se comporta cuando la resolución aumenta carecede credibilidad [14]. Debemos recordar que los cálculos numéricos son aproximaciones auna ecuación diferencial. A menos que se tenga alguna idea de la magnitud del error quese comete en estas aproximaciones, no hay manera de saber si el resultado del cálculonumérico tiende a la solución correcta.Con el fin de cuantificar el error mencionado debemos llevar a cabo lo que se conocecomo prueba de convergencia. La idea clave detrás de ésto es la observación hecha porRichardson [28] de que una aproximación en diferencias finitas estable se puede interpretarcomo una función continua expandida en una serie de potencias del parámetro ∆f ∆ (x, t) = f(x, t) + ∆ɛ 1 (x, t) + ∆ 2 ɛ 2 (x, t) + · · · , (4.23)donde f(x, t) es la solución a la ecuación diferencial original, y los ɛ i (x, t) son las funcioneserror en órdenes de ∆. Para una aproximación de primer orden, nos esperamos que ɛ 1 ≠ 0,para una precisión de segundo orden tenemos ɛ 1 = 0 y ɛ 2 ≠ 0, etc.Asumamos por un momento que conocemos la solución exacta al problema. Parahacer el cálculo de la prueba de convergencia necesitamos hacer el cálculo numérico condos resoluciones diferentes ∆ 1 y ∆ 2 , con r ≡ ∆ 1 /∆ 2 > 1, y calcular el error de la soluciónen cada casoɛ ∆1 = f − f ∆1 , ɛ ∆2 = f − f ∆2 . (4.24)En la práctica, este error sólo puede ser calculado en los puntos correspondientes de lared computacional que se esté considerando. Entonces calculamos alguna norma del errorde la solución y calculamos la razón de ambas normasc(t) ≡ ||ɛ ∆ 1||||ɛ ∆2 || . (4.25)

32CAPÍTULO 4. MÉTODO DE DIFERENCIAS FINITAS PARA EDPEsta razón es evidentemente una función del tiempo, y se le conoce como prueba deconvergencia. En este trabajo tomaremos la forma discreta de la norma L 1 del error||ɛ ∆k || =N∑∆x i |ɛ i ∆ k| . (4.26)i=1También se suele calcular la norma sin el factor ∆x i . Si tenemos una aproximaciónen diferencias finitas de orden n, podemos hacer uso de la expansión de Richardson paraencontrar que en el límite continuo, la convergencia será( ) nlím c(t) = ɛ∆1≡ r n . (4.27)∆→0 ɛ ∆2Típicamente las pruebas de convergencia se hacen con r = 2, así que nos esperamosque c(t) ∼ 2 n . En la práctica, se resuelve la ecuación diferencial usando varias resolucionesy observando el comportamiento de c(t) a medida que incrementamos la resolución. Sies cerrado al valor esperado decimos que estamos en el régimen de convergencia. Sinembargo, este procedimiento sólo es válido cuando se conoce la solución exacta, lo cualno es viable para problemas sin solución analítica. En estos casos, es necesario probarque la solución numérica converge a alguna función continua. Con la finalidad de haceresto necesitamos usar al menos tres diferentes resoluciones ∆ 1 > ∆ 2 > ∆ 3 , y entoncescalculamos los errores entre estas precisiones y definimos el factor de convergencia comoc(t) ≡ ||f ∆ 1− f ∆2 ||||f ∆2 − f ∆3 || , (4.28)donde las diferencias entre las soluciones deberían ser calculadas en los puntos donde la redcomputacional coincide. En el límite continuo, nos esperamos que el factor de convergenciase comporte comolím c(t) = ∆n 1 − ∆ n 2. (4.29)∆→0 ∆ n 2 − ∆ n 3Es usual tomar ∆ 1 /∆ 2 = ∆ 2 /∆ 3 ≡ r, con lo cual se reduce alím c(t) =∆→0 rn . (4.30)Dado que estamos tomando la norma de los errores, la prueba de convergencia quehemos descrito se le conoce como prueba de convergencia global. Es posible llevar a cabopruebas de convergencia local simplemente calculando los errores relativos f ∆1 − f ∆2f ∆2 −f ∆3 y compararlos. Para un esquema de orden n, la expansión de Richardson implicaque tanto estos errores serán proporcionales a ɛ n (x, t), nos esperamos que si los erroresy

4.4. PRUEBAS DE CONVERGENCIA 33relativos son reescalados apropiadamente “deberian” coincidir.Otros conceptos del análisis numérico que se tienen que tener en cuenta y que estánrelacionados con la convergencia son la consistencia y la estabilidad. Para referencias másdetalladas de estos conceptos ver [26, 29, 30]. Brevemente hablemos de estos conceptos.Un esquema de diferencias finitas es consistente con una ecuación diferencial si en el límiteen que ∆x −→ 0 y ∆t −→ 0 recuperamos la ecuación diferencial original.El concepto de estabilidad esta relacionado con la siguiente idea. Si un esquema esconvergente, es decir, a medida que f n i converge a f(x, t), entonces f n i está ligado a tendera un valor. No obstante, para esquemas explicitos de diferencias finitas de la forma (4.11)se ha encontrado que son estables bajo la condición [30]|u max | ∆t∆x ≤ 1 , (4.31)la cual es llamada condición de Courant-Friedichs-Lewy. En el caso de las ecuacioneshidrodinámicas unidimensionales |u max | es el valor máximo de la velocidad para cadatiempo. Típicamente se calcula el paso de tiempo ∆t introduciendo un factor C, llamadofactor de Courant, como∆t = C ∆x . (4.32)u maxdonde C ≤ 1. No obstante, se sabe que no hay esquemas explícitos de diferencias finitas desistemas hiperbólicos que sean incondicionalmente estables, y hacer un estudio del análisisde estabilidad de un esquema es complicado para sistemas no lineales. Para sistemaslineales es posible hacerlo mediante el análisis de Von Neumann.Debido a la dificultad del estudio de estabilidad, es de vital importancia el teoremade equivalencia de Lax-Richtmyer:Teorema de equivalencia de Lax-Richtmyer. Un esquema de diferencias finitasconsistente para una ecuación diferencial parcial para un problema bien planteado esconvergente si y sólo si es estable.Para la prueba de este teorema ver [29].

34CAPÍTULO 4. MÉTODO DE DIFERENCIAS FINITAS PARA EDP

Capítulo 5Hidrodinámica: solución numéricaEn este capítulo presentamos los resultados numéricos de la forma hidrodinámica dela ecuación de tipo Schrödinger, en la cual no se consideró el potencial cuántico. La razónde ello es por su dependencia cuadrática de la constante de Planck, lo cual hace razonabledicha consideración. En esta primera aproximación, se resolvieron tres casos de interés:la ecuación de advección (U = 0), la ecuación de Burgers (U = 0) y por último el casoU = kx 2 /2. Para el primero, además de ser la ecuación diferencial lineal más simple de tipohiperbólico, ésta tiene solución analítica y figura a la partícula libre en mecánica cuántica.La ecuación de Burgers es la ecuación diferencial no lineal más sencilla de naturalezahiperbólica, la cual se obtiene de la ecuación de momentos del sistema hidrodinámicopara U = 0. En el caso U = kx 2 /2, nuestro interés es ver qué sucede cuando le damos alsistema condiciones iniciales cercanas al del estado base del oscilador armónico cuántico,es decir, queremos ver qué pasa cuando despreciamos el término cuántico. Finalmente, sehicieron las pruebas de convergencia que nos darán credibilidad en los resultados.5.1. Código numéricoPara realizar los casos mencionados, hemos elaborado un código de primer orden tantoen la discretización espacial como en la temporal que resuelve el sistema∂ t ρ + ∂ x (ρv) = 0 , (5.1)∂ t v + ∂ x (v 2 /2) = −αkx , (5.2)donde es evidente que ambas expresiones están en forma conservativa, siendo f ρ = ρv elflujo en la ecuación de continuidad y f v = v 2 /2 y S v = kx el flujo y fuente en la ecuación35

5.2. LA ECUACIÓN DE ADVECCIÓN 37la cual es la ecuación diferencial parcial de tipo hiperbólica más sencilla y tiene soluciónexacta. Para nuestro caso, la solución exacta esρ(x, t) = Ae −(x−x 0−v 0 t) 2 /σ 2 + ρ 0 (5.9)v(x, t) = v 0 , (5.10)En la figura 5.1, se muestran los resultados obtenidos usando precisiones del orden10 −5 en la discretización de la malla computacional. El error es ɛ = ρ N − ρ E , donde ρ N esla solución numérica y ρ E es la solución exacta. En la figura 5.2 están los resultados delanálisis de convergencia. Se calculó la norma L 1 dado en (4.26) usando dos resoluciones∆x 2 = 2 × 10 −5 y ∆x 1 = 1 × 10 −5 y la razón es el factor de convergencia.

5.2. LA ECUACIÓN DE ADVECCIÓN 39(a)(b)Figura 5.2: Ecuación de advección. En 5.2a se está la norma L 1 del error entre la soluciónnumérica y la exacta como función del tiempo. En 5.2b se muestra el factor de convergenciarespecto al tiempo.

40CAPÍTULO 5. HIDRODINÁMICA: SOLUCIÓN NUMÉRICA5.3. La ecuación de BurgersAhora presentamos los resultados obtenidos de (5.4) y (5.5) con las condiciones inicialesρ(x, 0) = ρ 0 , (5.11)v(x, 0) = Ae −(x−x 0) 2 /σ 2 + u 0 . (5.12)con ρ 0 = 2 y u 0 = 0. La ecuación (5.5) es la ecuación diferencial no lineal de tipohiperbólico más sencilla y es llamada ecuación de Burgers. Esta tiene solución analíticasi le es añadido un término de disipación, esto es∂ t f + f∂ x f = ν∂xf 2 (5.13)con ν arbitraria y mediante una transformación de Cole-HopfΘ(y, t) = e − 1 R y2ν α dξf(ξ,t) , (5.14)donde α es una constante arbitraria, se convierte en una ecuación de difusión lineal∂ t Θ = ν∂ 2 xΘ . (5.15)La solución a (5.15) esΘ(x, t) =∫1 ∞√πνt−∞dyΘ(y, 0)G(x, y) , (5.16)G(x, y) = e − (y−x)24νt , (5.17)siendo G(x, y) la función de Green. Entonces la solución a (5.13) esf(x, t) =∫ ∞dy(y − x)Θ(y, 0)G(x, y)−∞t ∫ ∞dyΘ(y, 0)G(x, y) . (5.18)−∞Para un estudio numérico a partir de la transformacion de Cole-Hopf ver [31]. Sinembargo, la solución analítica no es sencillo de tratar y por ello, nos limitaremos a hacer elanálisis de convergencia. En las gráficas 5.3, 5.4 y 5.5 se muestran los resultados obtenidosusando las resoluciones ∆x 1 = 1 × 10 −4 ∆x 2 = 2 × 10 −4 y ∆x 3 = 4 × 10 −4 . Se calculó lanorma L 1 de los errores |ɛ 12 | = |f 1 − f 2 | y |ɛ 23 | = |f 2 − f 3 | (f = ρ, v) y el factor deconvergencia dadas en (4.28).

5.3. LA ECUACIÓN DE BURGERS 41(a)(b)Figura 5.3: Solución numérica de la velocidad y densidad respectivamente para el sistema(5.4)-(5.5) con condiciones iniciales (5.11)-(5.12) usando ∆x 1 = 1 × 10 −4 .

42CAPÍTULO 5. HIDRODINÁMICA: SOLUCIÓN NUMÉRICA(a)(b)Figura 5.4: En 5.4a se muestra la L 1 de los errores |ɛ 12 | y |ɛ 23 | de la velocidad como funcióndel tiempo. En 5.4b están las respectivas para la densidad.

5.3. LA ECUACIÓN DE BURGERS 43(a)(b)Figura 5.5: En 5.5a se muestra el factor de convergencia de la velocidad y en 5.5b elrespectivo de la densidad, ambos como función del tiempo.

44CAPÍTULO 5. HIDRODINÁMICA: SOLUCIÓN NUMÉRICA5.4. Potencial cuadráticoesto esFinalmente vamos a resolver las ecuaciones hidrodinámicas usando un potencial cuadrático,con las condiciones iniciales∂ t ρ + ∂ x (ρv) = 0 , (5.19)∂ t v + v∂ x v = −∂ x( 12 kx2 ). (5.20)ρ(x, t) = Ae −(x−x 0) 2 /σ 2 + ρ 0 , (5.21)v(x, t) = 0 . (5.22)donde hemos tomado una gaussiana como condición inicial para la densidad para acercarselo más posible al estado base del oscilador armónico cuántico siendo una diferencia queestá subida una cantidad ρ 0 . La velocidad inicial se tomó igual a cero por la siguienterazón. La función de onda del oscilador cuántico unidimensional la conocemos y esψ(x, t) = C n H n (x)e −x2 /2 e −iEnt/ , (5.23)donde E n = ω(n + 1/2), con ω la frecuencia del oscilador y n = 0, 1, 2, . . .. Entonces,usando la definición (2.5) y S = E n t/ obtenemos que v = 0.En la gráfica 5.6 se muestrán las soluciones numéricas de la velocidad y densidad endistintos tiempos tomando una resolución de ∆ 1 = 1 × 10 −4 . Las normas L 1 se calcularoncomo||ɛ 12 || = ||f ∆x1 − f ∆x2 || y ||ɛ 23 || = ||f ∆x2 − f ∆x3 || (f = ρ, v) , (5.24)donde ∆ 1 = 1 × 10 −4 , ∆ 2 = 2 × 10 −4 y ∆ 3 = 4 × 10 −4 son las discretizaciones de la mallacomputacional, ver gráfica 5.7 y el factor de convergencia comoc(t) = ||ɛ 23||||ɛ 12 || . (5.25)por lo que nos esperamos que éste sea alrededor de dos. En la gráfica 5.8 se muestra elfactor de convergencia para la velocidad y densidad.

5.4. POTENCIAL CUADRÁTICO 45(a)(b)Figura 5.6: En 5.6a y 5.6b se muestran los resultados de la velocidad y densidad, respectivamente,para el sistema hidrodinámico con potencial cuadrático en distintos tiempos.

46CAPÍTULO 5. HIDRODINÁMICA: SOLUCIÓN NUMÉRICA(a)(b)Figura 5.7: En 5.7a y 5.7b se grafican la norma de los errores de la velocidad y densidad,respectivamente, como función del tiempo para el sistema con potencial cuadrático.

5.4. POTENCIAL CUADRÁTICO 47(a)(b)Figura 5.8: En 5.8a y 5.8b se grafica el factor de convergencia de la velocidad y densidadcomo función del tiempo para el sistema con potencial cuadrático.

48CAPÍTULO 5. HIDRODINÁMICA: SOLUCIÓN NUMÉRICA

Capítulo 6Colapso esféricoEn este capítulo se expresa el sistema hidrodinámico Schrödinger-Poisson para el casode simetía esférica con lo que daremos inicio a estudiar los halos de materia oscura escalarpara la formación de estructura. Para ello partiremos de la forma integral de éstas. Enlos cálculos realizados nos basamos en las cantidades de la figura 6.1.A(r+dr)A(r)r+dr/2rr+drFigura 6.1: En este gráfico, se muestra la representación de tres esferas concéntricas deradios r, r + dr/2 y r + dr, y cuya áreas A(r), A(r + dr/2) y A(r + dr), respectivamente.La cantidad ¯r = r + dr/2 es el valor medio.49

50CAPÍTULO 6. COLAPSO ESFÉRICO6.1. Ecuación de continuidadLa ecuación de continuidad sin fuentes en forma integral es∫ ∮∂ρdV + ρvdA = 0 . (6.1)∂tVLa primera integral la podemos aproximar tomando la densidad en el valor medio ¯rEntonces,Sρ(¯r) = ρ(r + dr/2) ≈ ρ(r) + 1 2 (∂ rρ)dr . (6.2)∫∂ρdV ≈ ∂ ((ρ + 1 )∂t V ∂t 2 ∂ rρdr)Adr . (6.3)Tomando los terminos a primer orden en dr, se tiene que∫∂ρdV ≈ ∂ (ρA)dr . (6.4)∂t ∂tVPara el segundo término, es claro que en las fronteras tanto la densidad ρ como lavelocidad v son cero. Así que la integral de superficie la calculamos evaluando la contribuciónde la esfera de radio r y en la esfera de radio r + dr, esto es, la esfera inferior y lasuperior respectivamente. Por lo que∫ρvdA = ρ(r + dr)v(r + dr)A(r + dr) − ρ(r)v(r)A(r) (6.5)S= (ρ + ∂ r ρdr)(v + ∂ r ρdr)(A + ∂ r dr) − ρvA . (6.6)Aproximando esta expresión a primer orden en dr, resulta∫ρvdA ≈ drv∂ r (ρA) + drρA∂ r v . (6.7)SUsando (6.4) y (6.7), la ecuación de continuidad la escribimos∂ t (ρA) = −v∂ r (ρA) − ρA∂ r v . (6.8)o bien,dondeddt (ρA) = −ρA∂ rv , (6.9)ddt = ∂ t + drdt ∂ r y v = drdt . (6.10)

6.2.ECUACIÓN DE MOMENTOS 516.2. Ecuación de momentosLa ecuación de momentos sin presión en forma integral es∫∫∫dV ∂ t (ρ⃗v) = − dA ⃗ · (ρ⃗v⃗v) + dV ρf ⃗ , (6.11)VSdonde ⃗ f = ⃗ f(r, t) es una fuerza externa. Por simplicidad, consideremos que esta fuerza yel campo de velocidades están en la dirección radial, esto es, ⃗ f = f(r, t)ˆr y ⃗v = v(r, t)ˆr.Usando la misma técnica con que se aproximó la ecuación de continuidad y tomandoel valor medio de la densidad, el lado derecho de (6.11) lo escribimos∫∫dV ∂ t (ρ⃗v) = ˆr dV ∂ t (ρv) (6.12)VV∫ )≈ ˆr∂ t(ρ(r + dr/2)v(r + dr/2) dV(6.13)V≈ ˆr∂ t (ρvA)dr . (6.14)El primer término del lado derecho de (6.11) lo aproximamos a primer orden en dr∫dA ⃗ · (ρ⃗v⃗v) ≈ ˆrdr ( 2ρAv∂ r v + v 2 ∂ r (ρA) )S= ˆrdr∂ r (ρAv 2 ) (6.15)De manera similar, el término de la fuerza externa toma la forma∫∫dV ρ(r, t)f(r, t)ˆr ≈ ˆrρ(r + dr/2)f(r + dr/2) dV (6.16)V≈ ˆr(ρ + 1/2∂ r ρdr)(f + 1/2∂ r fdr)Adr (6.17)≈ ˆrρ(r, t)f(r, t)Adr (6.18)Usando (6.14), (6.15) y (6.18), la ecuación de momentos la aproximamos a primerorden en dr comoO bien la ecuación (6.19) la expresamos como∂ t (ρvA) = −∂ r (ρAv 2 ) + ρAf . (6.19)ddt v = f . (6.20)De las expresiones (6.8) y (6.19) es claro que ahora tenemos ecuaciones de conservaciónpero para las variables, v y ρA.VV

52CAPÍTULO 6. COLAPSO ESFÉRICO6.3. Simetría esféricaAntes de presentar las ecuaciones a resolver para el sistema con simetría esférica, debemostener en cuenta la condición de compatibilidad, ver (2.10). No obstante, dado queestamos considerando que las variables dinámicas sean ρ = ρ(r, t) y ⃗v = v(r, t)ˆr, es claroque el fluido es irrotacional, lo cual corresponde para n = 0 en (2.10).dondeEntonces, el sistema resultante a resolver es∂ t (ρr 2 ) = −v∂ r (ρr 2 v) , (6.21)∂ t (ρr 2 v) = −∂ r (ρr 2 v 2 ) + ρr 2 f , (6.22)∂ r (r 2 ∂ r U) = 4πGρr 2 . (6.23)[f(r, t) = −∂ r U + 2 12m ∂ 2 rr 2√ ρ ∂ r(r 2√ ]ρ) . (6.24)Aquí el primer término es el potencial gravitacional y el segundo es el potencial cuántico.Las condiciones iniciales del sistema deben ser tales que para r −→ ∞, las variablesdinámicas ρ, v −→ 0 y U −→ U 0 y en el origen estén definidas.Finalmente, cabe mencionar que el sistema Schrödinger-Poisson para el caso de simetríaesférica ha sido estudiado, algunos estudios están en [6, 10, 32], por lo que los resultadosque obtengamos en su formulación hidrodinámica deben de ser consistentes con los yareportados.

ConclusionesEn este trabajo de tesis presentamos el modelo de materia oscura escalar para describirhalos de materia oscura. A partir de la acción de Einstein-Hilbert acoplado con un campoescalar complejo se hizo la aproximación de campo débil y luego se calculó el límite paracampos que varían lentamente en el tiempo conocido como límite newtoniano. El sistemaresultante se conoce como sistema Schrödinger-Poisson. Luego, mediante la transformaciónde Madelung, la ecuación de Schrödinger, ecuación lineal y compleja, se convierte enun sistema no lineal que describe la dinámica de campos reales, una densidad y su campode velocidades: formulación hidrodinámica. Cabe mencionar que dicha transformación noaltera la ecuación de Poisson.En el contexto hidrodinámico, aparece de manera clara un potencial de tipo cuánticoel cual genera una fuerza opuesta a la fuerza gravitacional. Entonces mediante un estudiode la inestalibidad de Jeans se obtuvo un criterio para que una perturbación de ladensidad colapse y estas fuerzas se equilibren. Bajo esta condición y valores adecuados secalculó la masa del campo escalar.Por otro lado, la dinámica de las variables de campo es de naturaleza hiperbólica locual es de suma importancia para la implementación de esquemas en forma de leyes deconservación usando método explícitos de diferencias finitas. Además, dada la similitudcon las ecuaciones de Navier-Stokes, podemos usar las técnicas que han sido diseñadaspara resolverlas como, el método de hidrodinámica de partículas suavizadas (SPH). Esteúltimo método es muy interesante porque no requiere la implementación de condicionesa la frontera (numéricas).Como primer paso en esta dirección, se resolvió numéricamente la ecuación de Schrödingeren su formulación hidrodinámica despreciando el término cuántico, lo cual es ra-53

54 CONCLUSIONESzonable debido a su dependencia cuadrática de la constante de Planck. Con esta aproximacióne implementando algoritmos de diferencias finitas de primer orden se dió solucióna dicho sistema para los casos U = 0 y U = kx 2 /2. En el primero se identificó con laecuación de advección (partícula libre en mecánica cuántica) y con la ecuación de Burgers.En el segundo, se resolvió con la finalidad de observar el comportamiento comparadocon el oscilador armónico cuántico. En todos los resultados numéricos se calculó la normaL 1 de los errores con la finalidad de tener un control de los errores y el factor de convergenciaglobal, lo cual da confiabilidad en los resultados.El sistema Schrödinger-Poisson con simetría esférica, se ha estudiado en el contextode estrellas de bosones y condensados de Bose-Einstein, sin embargo no en la versiónhidrodinámica. Por ello, se intentó resolver dicho caso en esta representación para compararlos resultados pero no se tuvo exito, por lo que sólo se dejó el planteamiento de lasecuaciones esféricamente simétricas.

Apéndice ADerivación de las ecuaciones deEinsteinEn este apéndice vamos aplicar un principio variacional a la acción de Einstein-Hilbertrespecto a la métrica del espacio-tiempo g µν .El modelo de Einstein-Hilbert es∫S[g µν ] = d 4 x 1 ∫√ 1 −gR −κ 2d 4 x √ −g [ 2 ∇ µ φ∇ µ φ ∗ + m 2 c 2 φφ ∗] ,(A.1)donde la segunda integral es el término de materia que curva el espacio-tiempo. Aplicandoun principio variacional respecto a la métrica g µν∫δS[g µν ] = d 4 x 1 κ (Rδ√ −g + √ −gδR)− 1 ∫d 4 xδ √ −gL φ − 1 ∫d 4 x √ −g 2 δg µν ∂ µ φ∂ ν φ ∗22(A.2)donde L φ = 2 ∇ µ φ∇ µ φ ∗ + m 2 c 2 φφ ∗ . Por simplicidad, hagamos la variación de la primeraintegral del lado derecho de (A.2) la cual nos dará el tensor de Einstein. Para ello tomamosel siguiente resultado [14]δ √ −g = 1 −gg2√ αβ δg αβ (A.3)Calculemos la variación del escalar de RicciδR = δ(g αβ R αβ ) = δg αβ R αβ + g αβ δR αβ(A.4)A partir de la expresión g αµ g µβ = δ α βobtenemos lo siguienteδg αβ = −g αλ g βγ δg λγ(A.5)55

56APÉNDICE A. DERIVACIÓN DE LAS ECUACIONES DE EINSTEINEntonces obtenemos∫I 1 = d 4 x 1 κ( 12 gαβ R − √ ) ∫−gR αβ δg αβ +d 4 x √ −g 1 κ gαβ δR αβ(A.6)De la definición del tensor de Ricci (ver ref. [14]), obtenemosδR αβ = δR ρ αρβ = ∇ ρ δΓ ρ αβ − ∇ β δΓ ρ ρα ,(A.7)donde ∇ ν es la derivada covariante compatible con la métrica g αβ , lo cual implica que√∇ µ g αβ = 0 y ∇ µ −g = 0. Usando estos resultados obtenemos∫I 1 = d 4 x √ −g 1 ( )1κ 2 gαβ R − R αβ δg αβ∫+ d 4 x √ 1 ( )−g∇ ρ g αβ δΓ ρ αβ − g ρα Γ β αβ . (A.8)κLa segunda integral es una integral sobre un diferencial de volumen d 4 x √ −g de laderivada covariante de una función de la métrica, en otras palabras, esta integral es untérmino de frontera. Tomemos el valor de esta función cero en la superficie de la fronterala cual se hace tender al infinito. Por lo que∫δI 1 = d 4 x √ −g 1 ( )1κ 2 gαβ R − R αβ δg αβ .El tensor de Einstein se define como(A.9)G αβ ≡ R αβ − 1 2 gαβ R .(A.10)Ahora tratemos las dos últimas integrales del lado derecho de (A.2), las cuales daránorigen al tensor energía-momento.δI 2 = − 1 ∫d 4 x ( L φ δ √ −g + √ −g 2 δg αβ ∇ α φ∇ β φ ∗)(A.11)2= − 1 ∫d 4 x √ −g ( )1/2g αβ L φ δg αβ − 2 g αλ g βγ ∇ α φ∇ β φ ∗ δg λγ2= − 1 ∫d 4 x √ ( 1−g22 gαβ L φ δg αβ − 1 )2 2 (g αλ g βγ + g αγ g βλ )∇ α φ∇ β φ ∗ δg λγ= − 1 ∫d 4 x √ ( )1−g22 gαβ L φ − 2 ∇ (α φ∇ β) φ ∗ δg αβ(A.12)Definimos el tensor energía-momento comoT αβ ≡ 2 ∂ (α φ∂ β) φ ∗ − 1 2 gαβ ( 2 ∂ µ φ∂ µ φ ∗ + m 2 c 2 φφ ∗ ) ,(A.13)Finalmente comparando (A.9) y (A.12) y usando las definiciones (A.10) y (A.13)obtenemos las ecuaciones de campo de EinsteinR αβ − 1 2 gαβ R = 1 2 κT αβ .(A.14)

Apéndice BAproximaciones en diferencias finitasEn este apéndice se muestran los valores de los coeficientes tanto para la primeraderivada como para la segunda derivada de una función. Estos esquemas presentados soncomunes encontrarlos en la literatura numérica del método de diferencias finitas. Para laprimera derivada se presentan los coeficientes para precisiones de primer, segundo y cuartoorden, para la segunda derivada, se muestran los respectivos coeficientes para segundo ytercer orden 1 .1 Para la segunda derivada de una función no es posible encontrar una expresión de primer orden.57

58APÉNDICE B. APROXIMACIONES EN DIFERENCIAS FINITASOrden x i−4 x i−3 x i−2 x i−1 x i x i+1 x i+2 x i+3 x i+41er -1 1-1 12do -1 11 -4 3-3 4 -14to 3 -16 36 -48 25-1 6 -18 10 31 -8 0 8 -1-3 -10 18 -6 1-25 48 -36 16 -3Cuadro B.1: Coeficientes en las expansiones según el orden de precisión de la aproximación,para las derivadas de primer orden. Las aproximaciones con primer orden de precisiónsignifican u ′ = 1∆x [...] + O(∆x), las de segundo orden u′ = 12∆x [...] + O(∆x2 ) y las decuarto orden u ′ = 112∆x [...] + O(∆x4 ).Orden x i−5 x i−4 x i−3 x i−2 x i−1 x i x i+1 x i+2 x i+3 x i+4 x i+52do 1 -2 1-1 4 -5 22 -5 4 -14to -10 61 -156 214 -154 451 -6 14 -4 -15 10-1 16 -30 16 -110 -15 -4 14 -6 145 -154 214 -156 61 -10Cuadro B.2: Coeficientes en las expansiones según el orden de precisión de la aproximación,para las derivadas de segundo orden. Las aproximaciones con segundo orden de precisiónson del tipo u ′′ = 1(∆x) 2 [...] + O(∆x 2 ), mientras que las de cuarto orden u ′′ = 112(∆x) 2 [...] +O(∆x 4 ).

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