VARIEDADES DIFERENCIALES

VARIEDADES DIFERENCIALES1

CHAPTER 1VARIEDADES DIFERENCIALES1. VariedadesLas variedades son espacios topológicos que son localmente igual a R n . Estehecho permite entonces utilizar conceptos que conocemos de R n y usarlos en la variedad,al menos localmente (es decir, al menos para cada abierto). Por ejemplo, ladiferencial es un concepto bien importante de R n porque nos da un modelo simplede movimiento. El movimiento es la propiedad más importante de todo objeto enla naturaleza, de hecho la física se dedica a estudiar principalmente esta caracteristica,el movimiento. Ya sea el movimiento de un objeto o el movimiento de loscampos en el espacio tiempo o el movimiento de las cantidades termodinámicas enun sólido. Esa es la razón de la importancia del cálculo diferencial, tanto en cienciasexactas, como en su aplicación más directa, que es la tecnología avanzada. Lasvariedades diferenciales son una generalización del cálculo diferencial a variedades,que llamamos variedades diferenciales. En la actualidad, las variedades diferencialestienen aplicación en un gran número de áreas de la ciencia y la tecnología.Por sólo nombrar algunas, diremos que el mejor modelo que se tiene hasta el momentodel espacio tiempo es el de una variedad diferenciable. El estudio de teoríade campos en espacios curvos necesita para su mejor comprensión de las variedadesdiferenciables. La función de calor en termodinámica es una fafiana, es decir, una1-forma, que es un concepto formal de variedades diferenciables. O el estudio modernodel control automático en ingeniería, usa intensivamente la herramienta de lasvariedades diferenciales, etc. En este capítulo daremos los conceptos más importantesde las variedades y de las variedades diferenciables. Vamos a empezar porsu definición.Definición 1. Una variedad real de dimensión n es un espacio topológicode Hausdorff (M n , τ M N), tal que para todo elemento p ∈ M n existe una ternac = (U p , ψ, V ) donde U p ∈ τ M n, V ∈ τ R n y ψ : U p → V , homeomorfismo. Verfigura 1.Es decir, una variedad es un espacio topológico que localmente es R n (o sea,para todo p ∈ M n , se tiene que U p ∈ τ M n, es homeomorfo a R n ). Si en la definicióncambiamos real por complejo, tenemos variedades complejas de dimensión n. Porejemplo, C hom∼= R 2 es una variedad compleja de dimensión uno.Para trabajar con variedades se acostumbra definir algunos conceptos de lavariedad, que estaremos usando en el futuro.Definición 2. Sea M n una variedad, a:· c α = (U α , ψ α , V α ), ∪α∈JU α = M n se le denomina carta sobre M n· U α se le llama dominio de la carta.· (U α , ψ α ) se le llama sistema de coordenadas sobre U α3

4 1. VARIEDADES DIFERENCIALESFigure 1. Una variedad real de dimensión n es un espaciotopológico de Hausdorff localmente homeomorfo a R n .(ψ−1· α , V α)se le llama parametrización de Uα· V α = ψ α (U α ) se le llama imagen de la carta c α· r i : R n → R, ( λ 1 , · · · , λ n) → r ( i λ 1 , · · · , λ n) = λ i se llama la i-esimafunción coordenada sobre R n· x i α := r i ◦ ψ α es la i-esima función coordenada del sistema de coordenadas· Sean c α y c β dos cartas c α = (U α , ψ α , V α ) y c β = (U ρ , ψ β , V β ). A las funcionesψ αβ := ψ β ◦ ψα−1 : ψ α (U α ∩ U β ) → ψ β (U α ∩ U β ) y se les llama funciones detransición, donde ψ αβ es un homeomorfismo, ver figura 2.Comentario 1. Las funciones ( x 1 α, · · · , x n α): Uα → R np → ( x 1 α, · · · , x n α)(p)se pueden representar como ψ α = ( x 1 α , · · · , )xn αComentario 2. Todos los conceptos de la definición 2 dependen de los abiertosdel espacio topológico. Se dice entonces que son conceptos locales.Es decir, cuando hablemos de algún concepto local, significa que este conceptovale en los abiertos del espacio. Veamos algunos ejemplos de variedades.

1. VARIEDADES 5Figure 2. En esta figura se muestran dos cartas, con sus dominios,sus sistemas coordenados, sus imágenes y sus funciones de transición.Exemplo 1. (R, τ R n) es una variedad real de dimensión n con una sola cartac = (R n , id| R n, R n ) .Exemplo 2 (Pelota). Vamos a estudiar un ejemplo que vamos a utilizar alo largo de estos capítulos. Se trata de las pelotas o ( S 2 , τ S 2), con su topologíaheredada de R 3 . La pelota es una 3-esfera y es una variedad 2-dimesional real queal menos tiene dos cartas. Estas son:c 1 = ( U 1 , σ + , R 2) con U 1 = S 2 \ {(0, 0, 1)}.donde el homeomorfismo σ + esta definido como:σ + (x, y, z) = 1 (x, y)1 − zcuya inversa esta dada por:σ −1+ (x, y) = 11 + x 2 + y 2 (2x, 2y, x 2 + y 2 − 1 )Análogamente, la segunda carta, ahora sin el polo sur, esta dada por:c 2 = ( U 2 , σ − , R 2) con U 2 = S 2 \ {(0, 0, −1)}.

6 1. VARIEDADES DIFERENCIALESdonde el homeomorfismo σ − esta definido como:σ − (x, y, z) = 1 (x, y)1 + zcuya inversa esta dada por:σ −1− (x, y) = 11 + x 2 + y 2 (2x, 2y, −x 2 − y 2 + 1 )Entonces U 1 ∪ U 2 = S 2 y σ + y σ − son homeomorfismos. A σ + se le llama laproyección estereográfica desde el norte y a σ − desde el sur.Exemplo 3 (Esferas). Vamos ahora a generalizar el ejemplo anterior a cualquierdimensión, y formemos la variedad de las esferas. La esfera con su topologíaheredada de R n , es el espacio topológico (S n , τ S n). La n-esfera es una variedadn-dimesional, real que al menos tiene dos cartas. Estas son:c 1 = (U 1 , σ + , V 1 ) con U 1 = S n \ {(0, · · · , 0, 1)},donde el homeomorfismo σ + esta definido como:V 1 = R nσ +(x 1 , · · · , x n+1) =cuya inversa esta dada por:11 − x n+1 (x 1 , · · · , x n)σ+−1 (x 1 , · · · , x n) 1()=2x 1 , · · · , 2x n , x 12 + · · · + x n2 − 11 + x 12 + · · · + x n2Hay que comparar estos homeomorfismos con los de la compactificación de R nen el ejemplo ??. Analogamente, la segunda carta, ahora sin el polo sur, esta dadapor:c 2 = (U 2 , σ − , V 2 ) con U 2 = S n \ {(0, · · · , 0, −1)},donde el homeomorfismo σ − esta definido como:V 2 = R nσ −(x 1 , · · · , x n+1) =cuya inversa esta dada por:11 + x n+1 (x 1 , · · · , x n)σ−−1 (x 1 , · · · , x n) 1()=2x 1 , · · · , 2x n , −x 12 − · · · − x n2 + 11 + x 12 + · · · + x n2Entonces U 1 ∪ U 2 = S n y σ + y σ − son homeomorfismos. Igual que en el casode las pelotas, a σ + se le llama la proyección estereográfica desde el norte y aσ − desde el sur.En lo que sigue, vamos a trasladar el concepto de diferencial a la variedadutilizando los homeomofismos de ésta en R n . Como sabemos como diferenciar enR n , podemos definir diferenciales en la variedad. Cuando esto se puede, se dice quela variedad es suave. Recordemos la definición de suave en R n .Definición 3. Sean U y V abiertos de R n y R m respectivamente y f : U → V .Se dice que f es suave si r i ◦ f : U → R tiene derivadas de todos los órdenes.

1. VARIEDADES 7Vamos a entender lo que es una variedad diferenciable. En una forma simple sepuede decir que una variedad diferenciable es basicamente una variedad en dondelas funciones de transición son suaves. Otra manera de decirlo es la siguiente.Dos cartas se dicen compatibles si su función de transición es suave, es decir, unavariedad se dice diferenciable si esta cubierta con cartas compatibles. Formalmentese tiene:Definición 4. Dos cartas c α y c β son compatibles sii) U α ∩ U β = φ óii) U α ∩ U β ≠ φ y las funciones de transición son suaves.Definición 5. Un atlas sobre M n es una colección de cartas compatibles quecubran M n .Definición 6. Una variedad real diferenciable ó suave de dimensión n esun par (M n , A) donde M n es una variedad real de dimensión n y A es un atlassobre M n , ver figura 3.Figure 3. Una variedad real diferenciable suave de dimensión nes una variedad real de dimensión n en donde las funciones detransición son suaves.Definición 7. Dos atlas A y A ′ sobre M n son equivalentes si c α y c ′ β soncompatibles para toda c α ∈ A y c ′ β ∈ A′ .

8 1. VARIEDADES DIFERENCIALESSi tomamos todo el conjunto de atlas sobre M n , la relación A ∼ A ′ con Aes equivalente a A ′ , es una relación de equivalencia, la cual separa el conjunto decartas equivalentes en clases de equivalencia. Si solo usamos los representantes delas clases, lo que se tiene es una estructura direrenciable.Definición 8. [A], el conjunto de clases de atlas sobre M n se llama unaestructura diferenciable sobre M nIntiutivamente, una variedad suave es aquella que tiene una forma suave, esdecir, sin aristas o puntas como las del cuadrado o el cubo, sino es suave como elcírculo o la esfera.Ejercicio 1. Sean (M n , A) y (N n , B) variedades diferenciables. Demuestreque (M n × N n , A × B) es variedad diferenciable.Ejercicio 2. Sea (S n , A), A = {c 1 , c 2 } del ejercicio 3 de esferas. Demuestreque (S n , A) es variedad diferenciable.2. Funciones suavesEl siguiente paso es definir la diferencial en una variedad diferenciable. Parahacer esto, lo que se acostumbra es transladar a R n por medio de los homeomorfismos,la diferenciabilidad de una función. Vamos a iniciar con la definición dediferencial de una función.Definición 9. Sea f : M n → R una función en una variedad (M n , A). f essuave o diferenciable si f ◦ ψα −1 : ψ α (U α ) → R es suave para toda carta de A,ver figura 4.Es decir, una función f que va de la variedad a los reales es suave, si su funcióncorrespondiente, la que va de R n a los reales, es suave. Para analizar la función fentonces, es necesario estudiar su función f ◦ ψα−1 correspondiente.Notación 1. Se denota al conjunto de funciones suaves por C ∞ (M n , R)ó al conjunto de funciones suaves en la vecindad de x por C ∞ (M n , x, R)Comentario 3. Observe quea) (C ∞ (M n , R),+, ·, R, ·) es un álgebra conmutativa con unidad.b) (C ∞ (M n , R),+, ·) es anilloc) (R, C ∞ (M n , R),+, ·) es espacio vectorial.Definición 10. Si f es suave en todo punto x ∈ W ⊂ M n , se dice que f esuna función suave en W.Proposición 1. f suave implica f continua.Dem. 1. Sin dem. En base a la definición de una función podemos definir la diferencial de unafunción vectorial. Primero introduciremos la definición formal y luego explicaremoscon cuidado el significado de esta.Definición 11. Sean M m y N n variedades y F : M m → N n función. F essuave si para toda f ∈ C ∞ (N n , R) F ∗ : C ∞ (N n , R) → C ∞ (M m , R) F ∗ (f) =f ◦ F es suave.Para simplificar la notación es conveniente definir el full-back de una función.

2. FUNCIONES SUAVES 9Figure 4. Esta figura muestra la representación de una funciónf suave en una variedad de dimensión n.Notación 2. A F ∗ se le llama imagen recíproca o “full-back” de f y sedenota al conjunto de “full backs” como C ∞ (M m , N n ), ver figura 5.Figure 5. La representación del Full-back F ∗ de una función F.Como en el caso de una función de una variedad a los reales, la diferenciabilidadde una función que va de una variedad a otra se traduce a la diferenciabilidad dela función correspondiente, en este caso es la función f ◦ F, llamado el full-back,

10 1. VARIEDADES DIFERENCIALESque va de la variedad a los reales. Así podemos ver su diferenciabilidad tomandoen cuenta la definición 9 anterior.Una consecuencia interesante de las funciones suaves es que la composición defunciones suaves es también suave.Proposición 2. La composición de funciones suaves es suave.Dem. 2. Sean M m , N n y S s variedades y F : M m → N n , G : N n → S s y f :S s → R funciones suaves. Entonces, G suave implica G ∗ (f) = f ◦G ∈ C ∞ (N n , R)es suave y F suave implica a su vez que F ∗ (G ∗ (f)) = G ∗ (f) ◦ F = (f ◦ G) ◦ F= f ◦ (G ◦ F) = (G ◦ F) ∗ (f) es suave. Entonces G ◦ F es suave, se tiene que(G ◦ F) ∗ = F ∗ ◦ G ∗ . Ejercicio 3. Sea c α = (U α , ψ α , V α ) carta sobre M n variedad. Mostrar que ψ αes suave y x i α = ri ◦ ψ α es suave.Ejercicio 4. Demuestre que funciones suaves entre variedades son continuas.Ahora podemos definir los isomorfismos de variedades diferenciables, aquí sonllamados difeomorfismos. Su definición es clara.Definición 12. Sea F ∈ C ∞ (M m , N n ) biyectiva. F se dice difeomorfismo siF −1 ∈ C ∞ (N n , M m ).Definición 13. Dos variedades se dicen difeomórficas si existe un difeomorfismoentre ellas. Se denota M m dif∼= N n .Notación 3. Si dos variedades M m y N n son difeomórficas, se denota comoM m dif∼= N n .La relación M m ∼ N n si M m y N n son difeomórficas M m dif∼= N n , es denuevo una relación de equivalencia. Entonces las variedades difeomórficas estánclasificadas en clases de equivalencia, lo cual ayuda mucho para su estudio.3. Vectores Tangentes.En esta sección vamos a construir los vectores tangentes a una variedad diferenciable.Esta construcción tiene varios objetivos, pero el más importante es quecon los vectores tangente podemos construir un espacio vectorial en cada punto dela variedad. A este espacio se le llama el espacio tangente. Es necesario construirtantos vectores base del espacio tangente a la variedad diferenciable como la dimensiónde la variedad, o sea, tantos como la dimensión al espacio R n al cual lavariedad diferenciable es homeomorfica. Ya construido el espacio tangente podemosconstruir el dual a este espacio vectorial, o sea, el espacio de las transformacioneslineales en el espacio tangente. A este espacio se le llama el espacio contangente dela variedad. Estos dos espacios son muy importantes en modelos del espacio tiempo,ya que la métrica de una variedad, es un elemento del espacio contangente, comoveremos más adelante. Para simplificar un poco, cuando hablemos de variedad,vamos a referirnos realmente a variedad diferenciable, aunque ya no se especifiqueen el texto. Vamos a iniciar con la definición de vector tangente a una variedad.Definición 14. Sea M n variedad y x ∈ M n . Un vector tangente a lavariedad en x ∈ M n es una función v x : C ∞ (M n , x, R) → R tal que para una

3. VECTORES TANGENTES. 11carta c := (U, ψ, V ) ∈ A con x ∈ U, existe (a 1 , · · · , a n ) ∈ R n tal que para todaf ∈ C ∞ (M n ∑, x, R) se cumple v x (f) = n (a )∣ i ∂∂r f ◦ ψ−1 ∣ i ψ(x)(ver figura 6).i=1Figure 6. El vector tangente formado por la función f y el espaciotangente formado por este vector tangente.Vamos a entender la definición. Primero notemos que la función ( f ◦ ψ −1) | ψ(x)es una función que va de R n a los reales y esta evaluada en el punto ψ(x). Portanto sabemos tratar con ella. También sabemos que el gradiente de una funciónen R n es un vector tangente a la superficie que forma la función. Es por eso quepodemos interpretrar a la función v x (f) como un vector tengente a la variedad.Notación 4. Al conjunto de vectores tangentes sobre M n en x ∈ M n se ledenota por T x M n y se le llama espacio tangente en x.∣Notación 5. Al vector con la u-upla (0, · · · , 1, 0, · · ·) se le denota ∂ ∣x∂xde tal∣ ( i ∂forma que ∣x∂x(f) := )∣ ∂i ∂r f ◦ ψ−1 ∣ i ψ(x).El conjunto { ∣∂ ∣x∂x}i=1,··· es entonces una base de T i ,nxM n , todo vector v x se∑escribe como v x = n ∣a i ∂ ∣x∂x. Sea x i = r i ◦ ψ ∈ C ∞ (M n , x, R) observemos queii=1∣∂ ∣∣∣x∂x i (x j ) = ∂ (x j∂r i ◦ ψ −1)∣ ∣ψ(x)= ∂ (rj )∣ ∣∂r ψ(= δ j i .i x)La función v x es una derivación, es decir, cumple con la ley de superposición y conla regla de Leibnitz, esto es:Proposición 3. v x ∈ T x M n es una derivación, es decir:i) v x (f + g) = v x (f) + v x (g)ii) v x (λf) = λv x (f)iii) v x (fg) = v x (f)g(x) + f (x) v x (g) para todo f, g ∈ C ∞ (M n , x, R) y paratodo λ ∈ R.Ejercicio 5. Demostrar la proposición.Solo queda ver que el espacio formado por los vectores tangentes es, como seespera, un espacio vectorial. Este se demuestra en la siguiente proposición.

12 1. VARIEDADES DIFERENCIALESProposición 4. La estructura (R, T x M n , +, ·) es un espacio vectorial de dimensiónn, con1.- (v x + w x ) (f) = v x (f) + w x (f)2.- (λv x )(f) = λ(v x (f)).El conjunto { ∣∂ ∣x∂xes una base del espacio vectorial llamado base}i=1,··· i ,ncoordenada.Ejercicio 6. Demuestren la proposición anterior.Comentario 4. Observen que si (U, ϕ, V ) y (U ′ , ψ ′ , V ′ ) son cartas de M n enx, entonces { ∣ }∂ ∣x∂x y { ∣∂ ∣x i i=1,··· ,n ∂xson bases del espacio tangente de la}i=1,··· ′i ,nvariedad en x. Se tiene que∣∂ ∣∣∣x (xk ) n∑∣∂x ′i = α j ∂ ∣∣∣x (i xk ) n∑∂x j = α j i δk j = α k i ,es decirj=1∂∂x ′i ∣ ∣∣∣x=n∑j=1j=1∂∂x ′i ∣ ∣∣∣x (xj ) ∂∂x j ∣ ∣∣∣x.El resultado anterior nos da una fórmula, como la regla de la cádena, paracambiar de homeomorfismo en la variedad, o sea, para cambiar de sistema de coordenadas.En el lenguaje de variedades, hacer un cambio de coordenadas significacambiar de homeomorfismo de la variedad a los reales. Hay otro tipo de cambio decoordenadas que tiene un significado dinámico, pero de eso no platicaremos aqui.Algunos ejemplos simples de variedades son los siguientes.Exemplo 4. La variedad (R n , A = {(R n , id| R n , R n )}). Como ψ = id| R n sesigue que x i = r i ◦ id| R n = r i entoncesn∑∣v x = a i ∂ ∣∣∣x n∑∂r i = a i ∂∂r i .i=1En tal caso T x R n iso∼= R n , donde el isomorfismo esta dado por la función iso definidan∑como iso : T x R n → R n , a i ∂∂r→ ( a 1 , · · · , a n)ii=1i=1Exemplo 5. El espacio tangente de S n es{}n+1∑T x S n = v x ∈ R n+1 | x · v x = x i vx i = 0La demostración detallada de esto la veremos más adelante.i=14. Uno formasx ∈ S n ⊂ R n−1 .En todo espacio vectorial se pueden definir transformaciones lineales que formana la vez un espacio vectorial de la misma dimensión, llamado el espacio dual (vercapítulo 3). Entoces podemos formar el conjunto de transformaciones lineales enel espacio tangente a una variedad y formar el espacio dual. A este espacio se lellama espacio contangente y a sus elementos, las transformaciones lineales, se lesllama formas. Vamos a ver todo esto formalmente.Sean M m y N n variedades y F ∈ C ∞ (M m , N n ) con x ∈ M m .

4. UNO FORMAS 13Definición 15. La diferencial de F en x es la función definida pordF x : T x M m → T F(x) N nv x → dF x (v x ) : C ∞ (N n , F (x) , R) → Rg→ dF x (v x )(g) := v x (F ∗ (g))ver figura 7.Notación 6. Si denotamos dF x = F x∗ , podemos escribirF x∗ (v x )(g) := v x (F ∗ (g))Notación 7. También lo podemos denotar comoódF x (v x )(g) = v x (g ◦ F) = v x ◦ F ∗ (g)dF x (v x ) = v x ◦ F ∗Veamos con cuidado el significado de la diferencial de una función. Sea c =(U, ψ, V ) carta de M m que contiene a x ∈ U ⊂ M m y C ′ = (W, ψ, V ′ ) carta enN n que contiene a F (x) ∈ W ⊂ N n . Sea v x ∈ T x M m ∑con v x = m ∣∂a ∣x i ∂xy seaig ∈ C ∞ (N n , F (x) , R). Vamos a escribir explicitamente la definición anterior entérminos de las cantidades como las leemos en R n , para poder entender mejor elsignificado de la diferencial. Entonces,z=1dF x (v x )(g) = v x (g ◦ F)(∑ m ∣ )∂ ∣∣∣x= a i∂x i (g ◦ F)======i=1i=1m∑ ∂ (a i g ◦ F ◦ ϕ−1 )∣ ∣∂r i ϕ(x)i=1m∑a i ∂ (g ◦ ψ −1∂r i ◦ ψ ◦ F ◦ ϕ −1)∣ ∣ϕ(x)i=1m∑ ∑n ∂ (a i g ◦ ψ−1 )∣ ∣∂ (∂s j ψ◦F(x) s j∂r i ◦ ψ ◦ F ◦ ϕ −1)∣ ∣ϕ(x)m∑j=1n∑i=1 j=1a i(n∑ ∑ mj=1i=1∣ ∣∂ ∣∣∣F(x) ∂ ∣∣∣x (∂y j (g) y j∂x i ◦ F )a i∂∂x i ∣ ∣∣∣x (y j ◦ F )) ∂∂y j ∣∣∣∣F(x)(g)n∑ (v x y j ◦ F ) ∣∂ ∣∣∣F(x)∂y j (g)J=1Vean la figura 8. Podemos escribirn∑dF x (v x ) = (dF x (v x )) jj=1de donde se sigue que (dF x (v x )) j = v x(y j ◦ F )∂∂y j ∣∣∣∣F(x)

14 1. VARIEDADES DIFERENCIALESFigure 7. La diferencial dF de una función F. La diferencial deF es un mapeo entre los espacios tangente de la variedad en x yde la variedad imagen en F(x).Figure 8. Figura que representa la construcción de la diferencialde F. Aquí se representan las variedades y mapeos que tomanparte en la explicación de la definición.Sólo falta demostrar que efectivamente la diferencial dF x es una transformaciónlineal. Esta demostración la dejaremos como ejercicio.Ejercicio 7. Demostrar que dF x es lineal.Para poder decir que la diferencial dF x es realmente una diferencial, sería deesperarse que se cumpliera la regla de la cadena. Este es el caso, vamos a demostrarla siguiente proposición.Proposición 5 (La regla de la cadena). d (G ◦ F) x= dG F(x) ◦ dF x

4. UNO FORMAS 15Dem. 3. Sea M m , N n y S s variedades y F ∈ C ∞ (M m , N n ) y G ∈ C ∞ (N n , S s ).Sea x ∈ M m y v x ∈ T x M m , entoncesd (G ◦ F) x(v x ) = v x ◦ (G ◦ F) ∗ = v x (F ∗ ◦ G ∗ )= (v x ◦ F ∗ ) ◦ G ∗ = dG F(x) (v x ◦ F ∗ )= dG F(x) (dF x (v x )) = dG F(x) ◦ dF x (v x )Un ejemplo simple es la diferencial de la indentidad.Exemplo 6. d id| M n = id| TxM nya qued id| M n : T x M m → T x M mv x → d id| M n (v x ) : C ∞ (M m , R) → Rg(∗= v x id|M (g)) = v n x (g ◦ id| M n) = v x (g) es decir→ d id| M n (v x )(g)d id| M n (v x ) = v xUn caso especial de diferencial muy importante es cuando la diferencial es unafunción inyectiva, entonces se dice que la diferencial es una inmersión: esto es:Definición 16. Una inmersión de M m en N n , es una función suave F :M m → N n con diferencial dF x inyectiva.Ahora vamos a definir las formas formalmente. Las formas son diferencialesde una función que va de la variedad a los reales. Como los reales también sonuna variedad, podemos usar la definición de la diferencial en estas funciones. Ladiferencia es que vamos a identificar al espacio tangente de los reales con los realesmismos. De hecho son el mismo espacio. Veamos esto formalmente.conDefinición 17. Sea M n variedad, f ∈ C ∞ (M n , R) y x ∈ M n . Entoncesdf x : T x M n → T f(x) R,v x → df x (v x ) = λ d dr ∈ T f(x)R, λ ∈ Rdf x (v x )(r) = λ d dr (r) = λ = v x (f ∗ (r)) = v x (r ◦ f) = v x (f)(recuerden que r : R → R tal que r (x) = x). Esto esdf x (v x ) = v x (f) d dr ∈ T f(x)R.Consideremos el isomorfismo J : T f(x) R → R, λ d dr → J ( λ d dr)= λ, entoncesla composición J ◦ df x : T x M n → R, v x → J (df (v x )) = J ( v x (f) d dr)= vx (f) esun homomorfismo de espacios lineales y J ◦ df x es un elemento del espacio dual deT ∗ x Mn que llamaremos el espacio cotangente de la variedad en x. A los elementosde este espacio, que denotamos como T ∗ x Mn , se llaman 1-formas en x y se denotancomo w x ∈ T ∗ xM n . Identificamos entonces T f(x) R con R (a través del isomorfismoJ), por lo que podemos escribirdf x : T x M n → R,v x → df x (v x ) = v x (f).

16 1. VARIEDADES DIFERENCIALESComentario 5. Tomemos f = x i ∈ C ∞ (U, R), dx i∣ ∣x: T x M n → R tal que⎛ ⎞v x → dx i∣ (∣x(v x ) = v x xi ) ∣ n∑= ⎝ a j ∂ ∣∣∣x⎠ (∂x j x i) = a i .En particular tomemos v x = ∂∂x j ∣∣x , entoncesj=1dx i∣ ∣x( ∂∂x j ∣ ∣∣∣x)= ∂∂x j ∣ ∣∣∣x (xi ) = δ i j,se sigue que { dx i∣ ∣x}i=1,··· ,n es una base del espacio T ∗ xM n llamada la base coordenadadual o base de las 1-formas.De una forma natural podemos definir campos vectoriales o campos de formas,simplemente definiendo los espacios vectoriales para cada punto de la variedad.Vamos a definir entoces los campos vectoriales y de formas.Definición 18. Sea M n variedad y { ∂∂x i ∣∣x}base de Tx M n . Un campo vectorial,es una asignación suave de vectores para cada punto x ∈ M n .Notación 8. Se denota v (f) : M n → R, suave, tal que v (f)(x) := v x (f). Se∑tiene que v = n a i ∂∂x, tal queir−1v (f)(x) =n∑a i (x)i=1∂∂x i ∣ ∣∣∣x(f),donde a i : M n → R son funciones suaves para toda i = 1, · · · , n.Notación 9. Al conjunto de campos vectoriales en M n se denota por TM n .Comentario 6. Observen que v : C ∞ (M n , R) → C ∞ (M n , R).Definición 19. Sea M n variedad y { dx i∣ ∣x}i=1,··· ,n base de T ∗ x Mn . Una 1-forma en M n es una transformación lineal para cada T x M n con x ∈ M n . Sedenotadf(v) :suave, tal que df(v)(x) = df x (v x ).M n → Rdf(v) = v(f)Notación 10. Al conjunto de las 1-formas en M n se denota por ∧n . Tenemosquen∑df = b j dx jj=1tal quedf(v)(x) = df x (v x ) =con b j : M n → R funciones suaves.n∑b j (x) dx j∣ ∣x(v x ),j=1

4. UNO FORMAS 17Notación 11. Se suele denotar al “producto” de 1-formas con vectores como∑〈w, v〉 = w(v). Si w = n b j dx j ∑y v = n a i ∂∂x, entoncesjj=1〈∑ n〈w, v〉 = b j dx j ,j=1i=1〉n∑a i ∂∂x ii=1:==n∑j=1 i=1n∑j=1i=1n∑a i b j〈dx j ,n∑〉∂∂x ia i b j dx j ( ∂∂x i )como para cada punto x ∈ M n se cumple dx j∣ (∣ ∂∣ )∣xx ∂x = δji i , tenemos que〈w, v〉 =Observen que df : TM → C ∞ (M n , R).n∑a i b i .Tenemos que T ∗ M n es un espacio vectorial para cada punto x ∈ M n . Su dualen cada punto será isomórfico a TM n en ese punto. Nosotros vamos a identificarambos espacios.Definición 20. Como (T ∗ x Mn ) ∗ = T x M n para toda x ∈ M n . Se tiene que siw ∈ T ∗ M n y v ∈ T x M n , entonces v x (w x ) ∈ R, con v x (w x ) = w x (v x ) = 〈w x , v x 〉.El ejemplo de las esferas es muy representativo y simple para entender el materialanterior. Vamos a tomar de nuevo este ejemplo.Exemplo 7. Sea S 2 = { (x, y, z) ∈ R 3 | x 2 + y 2 + z 2 = 1 } . Ya sabemos que loshomeomorfismos de la esfera son σ ± : R 3 → S 2 σ± −1 : S2 → R 3 dados por∂x 1 +σ ± (x, y, z) =σ −1± (u, v) =i=1(x, y)= (u, v)1 ∓ z(2u, 2v, ±(u 2 + v 2 − 1) )1 + u 2 + v 2Entonces los vectores tangentes en S 2 estarán dados por∂∣ (f) =∂ ( ) ∣ f ◦ σ−1+∂ux∣∣σ+(x)= ∂ ()∣∂u f 2u1 + u 2 + v 2 , 2v1 + u 2 + v 2 , , u2 + v 2 − 11 + u 2 + v∣∣∣σ+(x)2= ∂ ∣∂u∣∣∣σ+(x)f (x, y, z) = ∂x ∂f∂u ∂x + ∂y ∂f∂u ∂y + ∂z∂f∂u ∂z ∣σ+(x)[1=(1 + u 2 + v 2 ) 2 2 ( 1 − u 2 + v 2) ∂∂x − 4uv ∂ ∂y ∂z]∣ + 4u ∂ (f)∣∣∣σ+(x)Podemos escribir,ya que∂∂x 1 += ( 1 − z − x 2) ∂∂x − xy ∂ ∂y + x(1 − z) ∂ ∂z

18 1. VARIEDADES DIFERENCIALESu 2 + v 2∣ ∣σ+(x) = x2 + y 2Análogamente∂∂x 2 +(1 − z) 2 y 1 − u 2 + v 2∣ ∣ = (1 − z)2 − x 2 + y 2σ+(x)(1 − z) 2= −xy ∂∂x + ( 1 − z − y 2) ∂∂y + y(1 − z) ∂ ∂zComo era de esperarse, los vectores base del espacio tangente de S 2 son perpendicularesal radio vector, es decir:(x, y, z) · (1− z − x 2 , −xy, x(1 − z) ) = 0 = r⇀·(x, y, z) · (−xy,1 − z − y 2 , y (1 − z) ) = 0 = r⇀·Es decir, los vectores tangente, son realmente tangentes a la esfera en cada punto,pues son perpendiculares al radio vector r . Entonces el espacio tangente en el{ ⇀→y}punto x a una pelota es T x⇀ S 2 = ∈ R 3 | → y · x = 0⇀{∂ ∂Ejercicio 8. Calcular , . Demostrar que∂x 1 − ∂x 2 −∂∂x 1 ±∂∂x 1 +∂∂x 2 +}∂, son li.∂x 2 ±Exemplo 8. Los〈duales al〉espacio tangente, el espacio contangente, se encuentranusando la regla dx i ∂,∂xj= δj i , se obtienedx 1 + = dx1 − z + xdz(1 − z) 2 , dx2 + = dy1 − z + ydz(1 − z) 2Estos dos vectores (transformaciones lineales) del espacio contangente son dos unoformasdefinidas en la carta sin polo norte.Ejercicio 9. Calcular dx 1 − , dx2 − . Demostrar que { dx 1 ± , dx2 ±}son li.Exemplo 9. Vamos a encontrar los vectores base de T x S 2 cambiando las coordenadasa coorenadas esfericas, definidas por(4.1)xyx= r sin(θ)cos(ϕ)= r sin(θ)sin(ϕ)= r cos(θ)Cláramente, para r constante, las coordenadas cumplen que x 2 + y 2 + z 2 = r 2 , osea, ya estan restringidas a la esfera. Con esta coordenadas se puede ver que losvectores tangente∂∂x = − y ∂x 2 + y 2 ∂ϕ∂ x ∂=∂y x 2 + y 2 ∂ϕ∂ 1 ∂= −√ ∂z x2 + y 2 ∂θ

4. UNO FORMAS 19Usando estos resultados, los vectores base del espacio tangente en coordenadasesféricas se leen:(∂∂x 1 = (cos(θ) − 1) cos(ϕ) ∂+∂θ + sin(ϕ) )∂sin(θ) ∂ϕ(∂= (cos(θ) − 1) sin(ϕ) ∂ ∂θ − cos(ϕ) )∂sin(θ) ∂ϕ∂x 2 +De la misma forma podemos ahora calcular los duales, las uno formas del espaciocotangente. Se obtiene:dx 1 + = 1(cos(ϕ)dθ + sin(ϕ)sin(θ)dϕ)cos(θ) − 1dx 2 1+ = (sin(ϕ)dθ − cos(ϕ)sin(θ)dϕ)cos(θ) − 1Claramente podriamos definir como bases del espacio tangente y cotangente unacombinacion lineal de estos vectores, por ejemplo w+ 1 = (cos(θ) − 1)dx 1 + w+ 2 =(cos(θ)−1)dx 2 + y a los vectores X1 + , X2 + como sus duales, de tal forma que podamoshacer lo mismo con los correspondientes vectores w− 1 w2 − X1 + , X2 + , al multiplicarlos vectores base por (cos(θ) + 1). Entonces los vectores w ′ s y X ′ s obtendrán lamisma forma en ambas cartas, ambos seríanX 1 = 1 (cos(ϕ) ∂ r ∂θ + sin(ϕ) )∂sin(θ) ∂ϕX 2 = 1 (sin(ϕ) ∂ r ∂θ − cos(ϕ) )∂sin(θ) ∂ϕ(4.2)dw 1dw 2= r (cos(ϕ)dθ + sin(ϕ)sin(θ)dϕ)= r (sin(ϕ)dθ − cos(ϕ)sin(θ)dϕ)donde hemos puesto el factor r en caso de que el radio de la esfera no sea 1 sino r.∂ ∂Ejercicio 10. Calcular ,∂x 1 + ∂x 2 +y dx 1 −, dx 2 − en coordenadas esféricas.En lo que sigue vamos a introducir otros dos conceptos en variedades diferenciales.El primero es el paréntesis de Lie y el segundo es el concepto de vectoresϕ-relacionados. Ambos conceptos son muy usados en ciencias e ingeniería. Con elparéntesis de Lie los espacios tangente pueden tener estructura de álgebra. Estaestructura puede ser muy importante para caracterizar a la variedad, si por ejemplo,los vectores estan asociados a alguna simetría de la variedad. Esto lo veremosmás adelante. Por ahora definamos los paréntesis de Lie.Definición 21. Sea M n variedad y X y Y ∈ TM n . Se define [X, Y ] = X ◦Y −Y ◦X. A la función [ , ] : TM n ×TM n → TM n (X, Y ) → [X, Y ] se denominaproducto ó paréntesis de Lie de los campos vectoriales.De la definición se siguen sus propiedades y el hecho que con el paréntesis deLie, el espacio tangente es una álgebra.Proposición 6. El paréntesis de Lie tiene las siguientes propiedadesi) [X, Y ] = − [Y, X]ii) [αX + βY, Z] = α [X, Z] + β [Y, Z],[X, αY + βZ] = α [X, Y ] + β [X, Z]iii) [[X, Y ] , Z] + [[Y, Z] , X] + [[Z, X],Y ] = 0 (Identidad de Jacobi).

20 1. VARIEDADES DIFERENCIALESiv) La estructura (TM n , +, [, ]; R, ·) es una álgebra, llamada Álgebra de Lie delos vectores tangentes.Ejercicio 11. Demostrar la proposición.Por supuesto los vectores coordenados conmutan, esto se ve en la siguienteproposición.[ ]Proposición 7. = 0∂ ∂∂x, i ∂xj∂Dem. 4. Tomamos(U, ψ, V )∂x i ( ∂= ∂∂r i (( ∂= ∂∂r i ( ∂===∂x j f ) = ∂∂x i ( ∂∂r j (f ◦ ψ−1 )) ◦ ψ para la carta c =) )∂r j (f ◦ ψ−1 ) ◦ ψ ◦ ψ −1)◦ ψ∂r j (f ◦ ψ−1 ) ◦ ψ)◦ ψ) )◦ ψ −1 ◦ ψ(∂ ∂∂r j ∂r i (f ◦ ψ−1 )∂∂r j (( ∂∂r i (f ◦ ψ−1 ) ◦ ψ( )∂ ∂∂x j ∂x i (f)(Hay que recordar que ∂∂x∣ (f) = ∂i ∂r(f ◦ ψ −1 ) ◦ ψ, ya que para cada punto x ∈ M nise tiene ∂∂x(f)(x) = ∂ ∣x i ∂x(f) = ∂i ∂r(f ◦ ψ −1 )| i ψ(x) ). Para calcular con los paréntesis de Lie, es conveniente trabajar en una basecoordenada. En terminos de una base coordenada, se puede ver que los parentesisde Lie de dos vectores se ven como:∑Proposición 8. [X, Y ] = n [X, Y ] i ∂∂x, con ii=1n∑([X, Y ] i = X j ∂ (Yi )∂x j − Y j ∂ (Xi ))∂x jj=1Dem. 5. Por substitución directa. Supongamos que existe una función ϕ que va de una variedad a otra. En laprimera variedad se tiene un vector X y en la segunda variedad se tiene un vectorY . Si mapeamos el vector X con la diferencial dϕ, este mapeo no necesariamentetiene algo que ver con el vector Y . Sin embargo, si para todo punto de la variedad setiene que el mapeo del vector X por medio de dϕ corresponde al vector Y evaluadoen el punto por ϕ, se dice que estos dos vectores estan relacionados por medio deϕ, que estan ϕ-relacionados. Es decir, se tiene la definición:Definición 22. Sean M m y N n variedades y ϕ ∈ C ∞ (M m , N n ). Se dice queX ∈ TM m y Y ∈ TN n están ϕ -relacionados si para toda x ∈ M m se sigue quedϕ x (X x ) = Y ϕ(x) , vean la figura 9.De aquí se desprenden varias propiedades muy interesantes que despues seusaran. Vamos a ver las más importantes.

4. UNO FORMAS 21Figure 9. Los vectores X y Y están ϕ relacionados, si para todoelemento x de la variedad M m se sigue que dϕ x (X x ) = Y ϕ(x) .Proposición 9. Sean X ∈ TM m y Y ∈ TN n . X y Y están ϕ -relacionadosssí ϕ ∗ ◦ Y = X ◦ ϕ ∗Dem. 6. Sea f ∈ C ∞ (N n , R) y x ∈ M m . Se sigue quedϕ α (X x )(f)= X x (ϕ ∗ (f)) = X x ◦ ϕ ∗ (f) = X (ϕ ∗ (f))(x) = X ◦ ϕ ∗ (f)(x)= X x (f ◦ ϕ) = Y ϕ(x) (f) = Y (f)(ϕ(x)) = Y (f) ◦ ϕ(x) = ϕ ∗ (Y (f))(x)= ϕ ∗ ◦ Y (f)(x) ssi ϕ ∗ ◦ Y = X ◦ ϕ ∗ ,es decir, el diagramaC ∞ (M m , R)X ↓C ∞ (M m , R)ϕ ∗←− C ∞ (N n , R)Y ↓ϕ←− ∗C ∞ (N n , R)conmuta. Si ahora aplicamos la definición de vectores ϕ-relacionados al mismo vector,obtenemos la definición de ϕ-invariante. Formalmente la definición es:Definición 23. Sean X ∈ TM n y ϕ ∈ C ∞ (M m , M m ). X se llama ϕ-invariante o invariante bajo ϕ si X ◦ϕ ∗ = ϕ ∗ ◦X, es decir si dϕ x (X x ) = X ϕ(x)para toda x ∈ M nComentario 7. Observemos que si ϕ : M m → N n , entoncesdϕ : TM m → TN n

22 1. VARIEDADES DIFERENCIALEStal que dϕ(X)(g)(y) = dϕ(X) y (g) con ϕ(x) = y ∈ N n , x ∈ M m . Si ϕ es undifeomorfismo entre M m dif∼= N n , entoncesdϕ x (X x )(g) = X x (g ◦ ϕ) = dϕ ϕ −1 (y)(Xϕ −1 (y))(g)entonces se tiene la identidad= X ϕ −1 (y) (g ◦ ϕ)= X (ϕ ∗ (g)) ( ϕ −1 (y) )= X (ϕ ∗ (g)) ◦ ϕ −1 (y),dϕ(X)(g) = X (ϕ ∗ (g)) ◦ ϕ −1Para terminar este capítulo vamos a introducir una transformación lineal equivalentea la diferencial, pero ahora en los espacios contangente a una variedad. Lamanipulación y sus propiedades son muy parecidas a las de la diferencial.Definición 24. Sean M m y N n variedades y F : M m → N n suave. Seax ∈ M m y y = F(x) ∈ N n . Con F podemos inducir la funciónF ∗ y : T ∗ y N n → T ∗ xM m ,w y → F ∗ y (w y) : T x M m → R,X x → F ∗ y (w y)(X x ) := w y (dF | x (X x ))y notemos que w y (dF | x (X x )) = w y ◦ dF | x (X x ) = w y ◦ F x∗ (X x ), es decir, se tienela identidad F ∗ y (w y) = w y ◦ F x∗ .es:A esta función también se le conoce con el nombre de pull-back, su definiciónDefinición 25. A F ∗ y (w y ) se le denomina la imagen reciproca o “pullback”de la 1 forma w y por F.El Pull-back es una tranformación lineal entre los espacios contangentes.Proposición 10. F x y es una transformación lineal.Ejercicio 12. Demostrar la proposición.A esta transformación lineal a veces también se le llama la diferencial del espaciocotangente, ya que tiene propiedades de una diferencial, por ejemplo cumple la reglade la cadena, veamos.Proposición 11. (G ◦ F) ∗ G◦F(x) = F ∗ F(x) ◦ G∗ G◦F(x)Dem. 7. Sea M m , N n y S s variedades, F ∈ C ∞ (M m , N n ), G ∈ C ∞ (N n , S s ),x ∈ M m , w F(x) ∈ T ∗ F(x) Nn , v G◦F(x) ∈ T ∗ G◦F(x) Ss . Entonces se tiene si w F(x) =

4. UNO FORMAS 23G ∗ G◦F(x)(vG◦F(x)),F ∗ F(x)(wF(x))(= FF(x)∗ G ∗ ( ) )G◦F(x) vG◦F(x)= FF(x) ∗ ◦ ( )G∗ G◦F(x) vG◦F(x)= w F(x) ◦ dF | x= G ∗ G◦F(x)(vG◦F(x))◦ dF |x= ( v G◦F(x) ◦ dG| F(x))◦ dF |xvean la figura 10. = v G◦F(x) ◦ d (G ◦ F) | x= (G ◦ F) ∗ G◦F(x)(vG◦F(x)),Figure 10. Esquema de la demostración de la proposición 11.