ESPACIOS CON MEDIDA

Ejemplo 13 Sea (R, ρ) el espacio métrico real. EntoncesE = {U ⊆ R | U intervalo abierto de R}.Como los complementos de los intervalos abiertos son uniones de intervaloscerrados, σ (E), y por tanto, los conjuntos de borel de los reales, estará formadopor el conjunto de los intervalos abiertos, unión los intervalos cerrados, unióntodos los números reales, unión el conjunto vacio.Ejemplo 14 Sea X = {a, b}. Un ejemplo de conjuntos abiertos (topologicos)de X son τ X = {φ, {a},{a, b}}. Entonces los conjunto de Borel de τ X sonσ(τ X ) = {φ, {a},{a, b},{b}}.Ejercicio 15 Sea E = {bolas en R n }. Construir σ (E) y demostrar que es unaálgebra-σ explícitamente.Ahora ya estamos en posición de definir espacio medible y medida. Comoveremos, en estos espacios podemos definir funciones especiales ortogonales yseries de Fourier con estas funciones. Vamos a iniciar con los espacios medibles.Definición 16 Sea Ω un conjunto. A la upla (Ω, F) con Ω ≠ φ y F álgebra−σsobre Ω se le llama espacio medible.Definición 17 Una función µ : F → [0, ∞) se le llama medida si1) µ (φ) = 02) Para una secuencia A 1 , A 2 , · · · , ∈ F tal queA i ∩ A j = φ i ≠ j, se sigue µ (∪ ∞ i=1 A i) = ∑ ∞i=1 µ (A i).Definición 18 Al triplete de (Ω, F, µ) con (Ω, F) espacio medible y µ medida,se le llama espacio con medida.Algunas de las propiedades más importantentes de los espacios con medidason las siguientes.Lema 19 Una medida µ sobre (Ω, F) es finitamente aditiva.Dem. 20 Sean A 1 , · · · , A n ∈ F disjuntos con A i = φ para toda i = n + 1, · · ·.Se sigue entonces que ∪ n i=1 A i = ∪ ∞ i=1 A i, esto implica que∞∑ n∑µ (∪ n i=1A i ) = µ (∪ ∞ i=1A i ) = µ (A i ) = µ (A i )i=1 i=1Comentario 21 La medida µ 0 por definición.Proposición 22 Sean A, B ∈ F, µ medida sobre (Ω, F), espacio medible. Entoncesa) µ (A ∪ B) ≤ µ (A) + µ (B)b) Si A ⊆ B, se sigue µ (A) ≤ µ (B)c) Si A ⊆ B con µ (A) < ∞ se sigue que µ (B\A) = µ (B) − µ (A)3

Dem. 23 Primero demostremos b)b) A ⊆ B implica que B = A ∪ (B\A). Se tiene que µ (B) = µ (A ∪ (B\A))Entoncesµ (B) = µ (A) + µ (B\A).Pero µ ≥ 0 implica µ (B) ≥ µ (A)a) A, B ∈ F A ∪ B = A ∪ (B\A)Entoncesµ (A ∪ B) = µ (A) + µ (B\A)por lema ??. Pero B\A ⊆ B. Por b) µ (B\A) ≤ µ (B) lo que implica queµ (A ∪ B) ≤ µ (A) + µ (B) .c) µ (B) = µ (A ∪ (B\A)) = µ (A) + µ (B\A),entoncesµ (B\A) = µ (B) − µ (A)Veamos algunas medidas especiales que usaremos en el resto del texto. Unasmedidas muy importantes son la medida de probabilidad y la medida de Dirac.Su definición formal es como sigue.Definición 24 Una medida tal que µ (Ω) = 1 se llama medida de probabilidad.Veamos el ejemplo de la medida de Dirac.Ejemplo 25 Medida de Dirac. Sea (Ω, F) espacio medible y δ x tal que δ x :F ⇀ [0, ∞), con{ 1 si x ∈ Aδ x (A) :=0 si x ∈ A cpara toda A ∈ F. Veamos que δ x es una medida. Primero es fácil ver queδ x (Ω) = 1, por lo que δ x es una medida de probabilidad, además, es claro queδ x (A) ≥ 0 para toda A ∈ F. Sean A 1 , A 2 , · · · , A i , · · · ∈ F con A i ∩A j = φ i ≠j, entonces( )δ x ∪ A i = 1i∈Isí y sólo sí x ∈ ∪ i∈I A i , esto es sí y sólo sí existe algún A i tal que x ∈ A i , perono en los restantes A j , j ≠ i, esto implica que( ) ∞∑δ x ∪ A i = δ x (A i ) = 1i∈Ii=1Por otro lado, δ x (∪ i∈I A i ) = 0, sí y sólo sí x ∈ (∪ i∈I A i ) c , esto es sí y sólosí x ∈ ∩ i∈I A c i , sí y sólo sí x ∈ Ac i para toda i, lo que implica que δ x (A i ) = 0para toda i. Por lo tanto∞∑( ) ∞∑δ x (A i ) = 0, i.e. δ x ∪ A i = δ x (A i )i∈Ii=1i=14

Ejemplo 26 Sean R los reales y F los conjuntos de Borel en los reales. Entoncesla función l 1 : F → R + tal que l 1 es la longitud del intervalo, es decirl 1 ((a, b)) = b − a, es una medida. Veamos esto: l 1 (φ) = 0, ademas, si A 1 yA 2 son dos intervalos disjuntos, se tiene que l 1 (A 1 ∪ A 2 ) = l 1 ((a, b) ∪ (c, d)) =d −a−(c − b) = b −a+d−c = l 1 ((a, b))+l 1 ((c, d)). A esta medida se le llamala medida de Lebesgue.Ejemplo 27 Sea Ω = {a, b, c, d} yF = {φ, {a}, {b},{a, b}, {c, d}, {a, c, d}, {b, c, d}, Ω}.Entonces la función µ : F → [0, ∞), tal que µ(A) = número de elementos de A.Esto implica que µ(φ) = 0 yµ({a} ∪ {b}) = µ({a, b}) = 2 = µ({a}) + µ({b}).Ademásµ({a} ∪ {c, d}) = µ({a, c, d}) = 3 = µ({a}) + µ({c, d}),µ({b} ∪ {c, d}) = µ({b, c, d}) = 3 = µ({b}) + µ({c, d}),µ({a} ∪ {b, c, d}) = µ({a, b, c, d}) = 4 = µ({a}) + µ({b, c, d}).Por otro lado,µ({a} ∪ {a, b}) = µ({a, b}) = 2 < µ({a}) + µ({a, b}),etc. Por tanto µ(A) es una medida.Ejemplo 28 Si en el ejemplo anterior definimos µ : F → [0, ∞), tal queµ(A) =número de elementos de A/4, µ(A) se vuelve una medida de probabilidad.Ejemplo 29 Sea (Ω, F) espacio medible (x k ) k=1,··· ,∞una serie en Ω y (c k ) k=1···∞una sucesion de números (c k ) k=1,··· ,∞⊆ [0, ∞). Tomamos µ = ∑ ∞k=1 c kδ xk . Entoncesµ es una medida llamada la medida discreta. Si además ∑ ∞k=1 c k = 1,µ se llama medida discreta de probabilidad.Ejercicio 30 Demuestren que µ = ∑ ∞k=1 c kδ xk es una medida.Ejercicio 31 Sea (R, E) espacio medible, h : R → R suave y A ⊂ E los conjuntosde Borel de R. Demuestren que µ(A) = ∫ Ah dx es una medida.2 Integración en espacios con MedidaEn esta sección veremos como se puede integrar en espacios con medida. Realmenteestamos interesados en la integración de Lebesgue y para ello tenemosque introducir algunas definiciones. Empecemos por la definición de funciónindicadora.Definición 32 Sea δ x (A) la medida de Dirac. La función indicadora χ Ase define como χ A : Ω ⇀ [0, +∞), x ⇀ χ A (x) = δ x (A) .5

De hecho, toda función para la cual la imagen inversa de los conjuntos deBorel es un elemento de la álgebra-σ en el conjunto, se le llama función medible,formalmente esta se define comoDefinición 33 Sea (Ω, F) espacio medible. A toda función f : Ω ⇀ R se lellama función medible, si f −1 (X) ∈ F, para toda X ∈ E.Ejemplo 34 Vamos a ver aqui que las funciones indicadoras χ A son funcionesmedibles. Veamos primero que, para una A fija se tiene que χ A (x) = δ x (A) :Ω → R. Observemos que esta función es 1 para toda x ∈ A, y 0 de lo contrario.De hecho χ A es una función escalón. Sea X ∈ E, y veamos cuanto vale χ −1A (X).Se tiene que, X = {1} ó X = {0}. Entoncesχ −1A (1) = A ∈ Fy χ−1 A (0) = Ac ∈ Fpor lo que χ A es una función medible.Finalmente, la integración en espacios con medida se hara en base a lasfunciones simples, su definición esDefinición 35 Sea (Ω, F) espacio medible y sea f n una función medible ahí.f n se dice simple si existen a 1 , · · · , a n ∈ R con n ≥ 1, A 1 , · · · , A n ∈ F tal queen el espacio medible (Ω, F).n∑f n = a i χ Aii=1Esto quiere decir que toda función simple se puede escribir como la superposiciónde funciones indicadoras por cada intervalo. Las funciones simplesestan formadas por porsiones constantes en cada intervalo A i para i = 1, · · · , n.Lo más interesante de las funciones medibles es que ellas pueden escribirse comoel límite de funciones simples. Esto lo veremos en la siguiente proposición.Proposición 36 Sea f medible, f ≥ 0. Entonces existe (f n ) n=1,...,∞con1) f n : Ω → R para todo n2) f n simple para todo n3) f n 0 para todo n4) f n ≤ f n+1 para todo n5) f = limn→∞ f nDem. 37 Vamos a construir las funciones (f n ) n=1,··· ,∞. Sean las funcionesf n =4 n ∑i=1i − 12 n χ f −1 ([ i−12 n , i2 n )) + 2n χ f −1 ([2 n ,∞))6

las cuales se puede también descomponer en sus partes. Sea ω ∈ Ω, se obtiene:f n (ω) ={ i−1i−1para n 2≤ f (ω) < in 2con i = 1, · · · , 4 nn2 n para f (ω) ≥ 2 nClaramente esta función cumple con las condiciones 1) a 4) de la proposición.Queda por demostrar que f = lim f n. Sea ω ∈ f ([ )) −1 i−1 in→∞ 2, n 2 , esto implicanque f n (ω) = i−12, por la definición de f n n . Se tiene que:y por tantolo que implica quei − 12 n ≤ f (ω) < i2 n,0 ≤ |f n (ω) − f (ω)| ≤ 12 nlim f n = f (ω)n→∞Vean la figura 1 donde se muestra un ejemplo de las funciones simples f.Definición 38 (Integral de Lebesgue de funciones simples) Sea (Ω, F, µ)espacio con medida y f n : (Ω, F) ⇀ (R, E), función simple donde E es la álgebraσde Borel de R. Sea A k = {x ∈ Ω | f n (x) = c k ∈ R} k = 1, · · · , n. Se define∫Ωf n (ω)µ(dω) :=n∑c k µ (A k )En general, puede tomarse cualquier secuencia (B i ) i=1,...,nde elementos deF. La integral de Lebesgue tiene varias propiedades, vamos a enumerar y demostraralgunas de ellas.k=1Proposición 39 Sean f 1 ,y f 2 funciones simples. Entonces1) ∫ (α 1 f 1 + α 2 f 2 )µ(dω) = α 1∫f1 µ(dω) + α 2∫f2 µ(dω)2) Si 0 ≤ f 1 ≤ f 2 , entonces ∫ f 1 µ(dω) ≤ ∫ f 2 µ(dω)Es decir, la integral es un funcional lineal y monotona.Dem. 40 Solo veremos una idea de la demostración.1) Se sigue por construcción. Sea{b i =b 1 ki 1 ≤ i ≤ k 1∑ 1+k 2b 2 i − k f1 k 1 + 1 ≤ i ≤ k 2 + k 1 + f 2 =1i=1b i χ Bi .7

entonces∫(f 1 + f 2 )µ(dω) =k∑1+k 2i=1i=1b i µ (B i )∑k 1= b 1 i µ ( Bi1 ) ∑k 2+ b 2 i µ ( Bi2 )i=1∫ ∫= f 1 µ(dω) + f 2 µ(dω).2) Tenemos f 2 − f 1 ≥ 0, f 2 = (f 2 − f 1 ) + f 1Entonces∫ ∫∫0 ≤ f 2 µ(dω) = (f 2 − f 1 )µ(dω) +f 1 µ(dω),pero ∫ (f 2 − f 1 )µ(dω) ≥ 0 por lo tanto ∫ f 2 µ(dω) ≥ ∫ f 1 µ(dω). Después de esta proposición ya estamos en posición de definir la integral deLebesgue. Esta se realiza utilizando funciones simples, esto es:Definición 41 (Integral de Lebesgue) Sea f : (Ω, F) ⇀ (R, E) función y(Ω, F) espacio medible y E el álgebra-σ de Borel. Sea (f k ) k=1,··· ,nuna serie defunciones simples, tal que f k ≤ f k+1 para toda k, y f = lim f k. Entonces:k→∞∫∫f (ω)µ(dω) := lim f n (ω)µ(dω).n→∞Debido a la proposición anterior, aqui también se sigue que la integral eslineal y monótona. El teorema más importante correspondiente a la integral deLebesgue, el cual daremos sin demostración, es el siguiente.Teorema 42 ∫(de Lebesgue) Sean g, f n : (Ω, F) ⇀ (R, E) tal que | f n |≤ gpara toda n, gµ(dω) es finita y f = lim f n. Se sigue quen→∞∫∫fµ(dω) = lim f n µ(dω)n→∞es decir, f es integrable y ∫ fµ(dω) es finita.Para comprender el teorema y aprender a manipular la integral de Lebesgue, esconveninte ver algunos ejemplos simples.Ejemplo 43 Sea (R, E) el espacio medible con E el álgebra-σ de Borel y l 1 :E ⇀ [0, +∞) tal que l 1 ((a, b)) = b − a (con a < b por facilidad) es la medida deLebesgue. Entonces, si f : R ⇀ R, se tiene∫∫ bf(x)l 1 (dx) = f (x)dx(a,b)8a

Vamos a explicar este punto. Sabemos que existe una serie de funcionessimples f k con f = lim n tal que en los intervalos A k , la función sea constante,n→∞es decir, A k = (a k , b k ) = {x ∈ Ω | f k (x) = c k ∈ R}. Se sigue que∫∫f (x) l 1 (dx)(a,b)= limn→∞f n (x)l 1 (dx)n∑= lim c k l 1 (A k )n→∞k=1= limn→∞k=1n∑f k (x)(b k − a k ) =∫ baf (x)dx.Es decir, la integral de Lebesgue con la medida de Lebesgue es la integral deRiemann.Ejemplo 44 Sea (R, E) el espacio medible con E el álgebra-σ de Borel y µ :E ⇀ [0, +∞) tal que µ (A) = ∫ Ah dx con h : R ⇀ R. Entonces, si f : R ⇀ R,se tiene ∫∫ bf(x)µ (dx) = f (x) h(x)dx(a,b)Tomemos de nuevo la serie de funciones simples f k con f = lim n taln→∞que en los intervalos A k , la función sea constante, es decir, A k = (a k , b k ) ={x ∈ Ω | f k (x) = c k ∈ R}. Se sigue que∫∫f (x) µ (dx)(a,b)= limn→∞f n (x)µ(dx)n∑= lim c k µ (A k )n→∞k=1= limn→∞k=1= limn→∞k=1an∑∫ bkc k h (x) dxa kn∑c k limm∑m→∞l=1h (x l ) (b k − a k )m .Observemos que m se puede cambiar por n, ya que los dos van a infinito, aúnmás, si adaptamos la segunda suma a la primera poniendo los puntos x l ’s juntocon los c k ’s, ya que los dos son contados por un número infinito de puntos,obtenemos:∫(a,b)f (x) µ (dx) = limn∑∑nc kn→∞k=1 l=1= lim=n∑n→∞k=1∫ bah (x l ) (b k − a k )nf k (x)h(x k ) (b k − a k )nf (x)h(x)dx.9

Es decir, la integral de Lebesgue con la medida µ(A) = ∫ h dx es la integral deARiemann con un peso.Ejercicio 45 Realizar la misma integral pero con la medida de Dirac.3 Espacios LpFinalmente vamos a introducir la definición de espacios L p , para despues dedicarnosa estos espacios con p = 2. Para eso, vamos a introducir una relaciónde equivalencia en los espacios con medida para poder definir los espacios quequeremos.Definición 46 Sea (Ω, F) espacio medible y µ medida en (Ω, F). Se defineL 0 (Ω, F) = {f : Ω ⇀ R | f es función medible}, i.e. f −1 (X) ∈ F, para todaX ∈ E.Se puede ver entonces que el espacio L 0 forma un espacio vectorial con lasoperaciones canonicas entre funciones. Es decir:Proposición 47 L 0 es un espacio lineal.Los espacios L p se basan en el hecho de que los espacios de todas las funcionesmedibles se pueden separar en clases de equivalencia. La relación de equivalenciaque separa estos espacios en clases se introduce en la siguiente definición.Definición 48 Sean f, g, ∈ L 0 y µ medida. Sea ∼ µ la relación f ∼ µ g siµ ({x ∈ Ω | f(x) ≠ g(x)}) = 0, con µ medida en (Ω, F).Proposición 49 La relación ∼ µ es de equivalenciaDem. 50 Veamos las tres condiciones de relación de equivalencia1) f ∼ µ f ya que µ ({x ∈ Ω | f(x) ≠ f(x)}) = µ(φ) = 02) f ∼ µ g implica que µ ({x ∈ Ω | f(x) ≠ g(x)}) = 0, por tanto g ∼ µ f3) Sean f, g, h ∈ L 0 tales que f ∼ µ g y g ∼ µ h. Denotemos porA ={x ∈ Ω | f(x) = g(x)},B = {x ∈ Ω | g(x) = h(x)}M = {x ∈ Ω | f(x) = h(x)}Como f ∼ µ g y g ∼ µ h se sigue que µ(A c ) = 0 y µ(B c ) = 0. De lo anterior setiene que f = h sí y sólo sí f = g y g = h asi que M = A ∩ B lo que implicaque M c = A c ∪ B c . Entoncesµ ({x ∈ Ω | f(x) ≠ h(x)}) = µ(M c ) = µ (A c ∪ B c ) ≤ µ (A c ) + µ (B c ) = 0lo que implica que f ∼ µ h. 10

that the evolution of partisan conflict is remarkably similar to that of income inequality,proxied by the share of income held by the top 1%, in the postwar period. The increase ininequality observed since the late 1960s may be an important determinant of the rising trendin partisan conflict. This is consistent with McCarty, Poole, and Rosenthal (2003), who showthat partisanship became more stratified by income between 1956 and 1996. Prior to thisperiod, according to the authors, race and religion (rather than income and wealth) were thedominant determinants of political ideology.14030120GreatDepression25Partisan Conflict1008060‐ New Deal‐ D realignment‐ WWII201510Top one percent income share40Partisan ConflictTop 1% Share52018901893189618991902190519081911191419171920192319261929193219351938194119441947195019531956195919621965196819711974197719801983198619891992199519982001200420072010Year0Figure 5: Partisan conflict and income inequality, 1944-2012.Notes: Income inequality measured by the share of income held by the top 1%,from Alvaredo, Atkinson, Piketty, and Saez’s dataset. Data downloaded fromhttp://topincomes.parisschoolofeconomics.eu/.Causality, however, cannot be established, as argued by McCarty, Poole, and Rosenthal(2006). According to the authors, political disagreement can also affect income inequalityby hampering support for redistributive policies. This view is supported by the behaviorof partisan conflict and inequality in the late 1920s. Figure 5 shows that income inequalitypeaks right before the Great Depression, but exhibits a declining trend starting in 1929.Initially, inequality lowers due to the erosion of wealth in the top percentiles following thestock market crash. In addition, corporate taxes were raised and the top-bracket tax rate wasincreased from 25% to 63% under Hoover’s presidency. This resulted in further reductionsin the share of income held by the top 1%. From 1933 onwards, the size of the welfare statewas expanded to unprecedented levels in US history under the New Deal. Interestingly, thesenovel redistributive policies were approved in a period of unusually low levels of partisanconflict. PC scores were low for two reasons. First, polarization declined sharply duringthe 74th Congress (e.g., between 1935 to 1937) under Roosevelt’s presidency (see Figure 4).11

Ejemplo 60 El sistema{f k = 1 √2xe ikx }k∈Zes un sistema ortonormal completo en el espacio L 2 complejo ([−π, π]).Ejemplo 61 El sistema{d n (P n = c n · x 2dx n − 1 ) n, con cn = 1√ }2n + 1n! 2 n 2es un sistema ortonormal completo en L 2 ([a, b]) con la medida de Lebesgue. Aestos polonomios se les llama Polinomios de Legendre.Ejemplo 62 Tomemos L 2 (R, µ) con la medida∫µ (A) = h (x)dx,AA ∈ E con h (x) = e −x2 . Entonces el sistema { 1, x, x 2 , · · ·} es un sistemaortonormal completo en este espacio. Sin∈Ndn x2H n = c k edx n n ≥ 0, L ({H e−x2 0 , · · · , H n }) = L ({ 1, x, · · · , x 2n}) .A H n se les llama los Polinomios de Hermite.5 Funciones EspecialesExisten una serie de funciones que tienen caracteristicas muy particulares. Loimportante de estas funciones es que son solución de diferentes ecuaciones diferencialesmuy comunes en física, química, ingeniería, etc., por eso su estudiorequiere de una sección aparte. Hay una forma de estudiar todas estas funcionesespeciales de una forma unificada, es la versión que adoptaremos aqui.Todas estas funciones tienen caracteristicas comunes y adoptando esta versiónunificada es posible estudiar sus caracteristicas comunes de una sola vez.Definición 63 (Fórmula de Rodriques) Sead n1P n (x) = c nh dx n (hsn ), (1)tal que1) P n es un polinomio de grado n y c n una constante.2) s(x) es un polinomio de raices reales de grado menor o igual a 23) h : R → R es una función real, positiva e integrable en el intervalo[a, b] ⊂ R, (llamada peso) tal que h(a)s(a) = h(b)s(b) = 0.13

Con esta definición es posible definir la mayoria de las funciones especialesmás comunes. Daremos algunos ejemplos.Ejemplo 64 Los polinomios de Hermite H n estan dados por h = e −x2 , s = −1,c n = 1, en el intervalo (−∞, ∞), es decirpor lo que los primeros términos serán:H 0 = 1,H 1 = 2x,H 2 = 2 − 4x 2 ,H 3 = 4x(−3 + 2x 2 ),H 4 = 12 − 48x 2 + 16x 4 , etc.H n (x) = − (−1) n dn x2edx n (e−x2 )Ejemplo 65 Los polinomios de Legendre P n están dados por h = 1, s = 1−x 2 ,c n = (−1) n / (2 n n!), en el intervalo [−1, 1], es decirP n (x) = (−1)n2 n n!por lo que los primeros términos serán:P 0 = 1, ( P 1 = x,P 2 = 1 2 3x 2 − 1 ) ,P 3 = 1 2 x(5x2 ( − 3),P 4 = 1 8 35x 4 − 30x 2 + 3 ) , etc.d ndx n (( 1 − x 2) n)Ejemplo 66 Los polinomios de Laguerre L n dados por h = e −x , s = x,c n = 1, en el intervalo (−∞, ∞), es decirL n (x) = e x dndx n (xn e −x )por lo que los primeros términos serán:L 0 = 1,L 1 = −x + 1,L 2 = x 2 − 4x + 2,L 3 = −x 3 + 9x 2 − 18x + 6,L 4 = x 4 − 16x 3 + 72x 2 + 96x + 24, etc.Ejercicio 67 Escriba los primeros 4 términos y de una ecuación diferencialcaracteristica de los polinomios de Tchebichef de primera clase T n dadospor h = (1 − x 2 ) −1/2 , s = 1 − x 2 , en el intervalo [−1, 1].Ejercicio 68 Escriba los primeros 4 términos y de una ecuación diferencialcaracteristica de los polinomios de Jacobi Pn ν,µ dados por h = (1−x) ν (1+x) µ ,ν > −1, µ > −1, s = 1 − x 2 , en el intervalo [−1, 1].14

Ejercicio 69 Escriba los primeros 4 términos y de una ecuación diferencialcaracteristica de los polinomios de Gegenbauer C λ n dados por h = (1 −x 2 ) λ−1/2 , λ > − 1 2 , s = 1 − x2 , en el intervalo [−1, 1].Ejercicio 70 Escriba los primeros 4 términos y de una ecuación diferencialcaracteristica de los polinomios de Tchebichef de segunda clase U n dadospor h = (1 − x 2 ) 1/2 , s = 1 − x 2 , en el intervalo [−1, 1].Todos estos polinomios especiales tienen la caracteristica de formar sistemascompletos en el espacio de funciones suaves. En física y química, las ecuacionesdiferenciales anteriores son muy comunes y como sus soluciones forman sistemascompletos, podemos escribir las funciones suaves como combinación lineal deestas funciones especiales. Esta proceso es muy conveniente cuando se trabajacon estas ecuaciones diferenciales. Para ver que estas forma sistemas completos,mostraremos primero una serie de proposiciones.Proposición 71 Denotemos por p k a un polinomio arbitrario de grado k, entoncesd mdx m (hsn p k ) = hs n−m p k+m (2)Dem. 72 Primero observemos que para n = 1 en (1), se cumple quede donde queAhora tomemos la derivadaddx (hsn p k ) =1 dP 1 (x) = c 1h dx (hs) = c 1s 1 dhh dx + c ds1dx ,s dh ( 1dx = h P 1 − ds ).c 1 dxs n dhp kdx + dshnsn−1 p kdx + dp hsn k[ (dx1p k P 1 + (n − 1) dsc 1 dx= s n−1 h)+ s dp kdxComo p k es cualquier polinomio de grado k y por definición P 1 es un polinomiode grado 1 y s es un polinomio de grado 2, se tiene queddx (hsn p k ) = hs n−1 p k+1 .Si se sigue derivando la expresión entre parentesis y siguiendo los mismos pasos,se llega al resultado. Observemos que del resultado anterior se tiene qued n1P n = c nh dx n (hsn ) = c n p n .De aqui es entonces fácil demostrar que].15

Proposición 73 Todas las derivadas dmdx m (hs n ) con m < n, son cero en x = ay x = b.Dem. 74 Comod mdx m (hsn p k )| x=a = h(a)s n−m (a)p k+m = 0.Otro resultado importante es el siguiente:Proposición 75 Sea µ(A) = ∫ Ahdx, con A ∈ E. Entonces µ es una medida.Ejercicio 76 Probar la proposición.Usando las prorposiciones anteriores ya podemos demostrar el teorema principalde esta sección.Teorema 77 Sea1 d nP n (x) = c nh dx n (hsn ).Entonces los polinomios {P n } n=1,··· forman un sistema ortonormal completo enL 2 ([a, b]) en el intervalo [a, b], con el producto interno∫(f, g) = f(x)g(x)h(x)dx.ADem. 78 Es claro que L ({P 0 , · · · , P n }) = L ({1, x, · · · , x n }), ya que ambosforman una base del espacio de polinomios de grado n. Veamos que {P n } n=1,···son ortonormales en L 2 ([a, b]) con el producto interno∫(P n , P m ) = P n (x)P m (x)h(x)dx.AVeamos primero que (p n , P m ) = 0 para todo polinomio p n con n < m. Como∫(p n , P m ) = c n p n (x) dmdx m (hsm )dxAintegramos por partes m veces, como todas las derivadas de hs n son cero, setiene que∫(p n , P m ) = c n h(x)s(x) m dm p ndx = 0.A dxm Ahora bien, si en la integración anterior n = m, obtenemos:(p n , P n ) = c n∫Ah(x)s(x) n dn p ndx n dx = c nn! a n h(x)s(x)∫An dx, (3)donde a n es el coeficiente principal del polinomio p n . Podemos escoger1= n! a n h(x)s(x)c n∫An dxy entonces se tiene que (P n , P m ) = δ nm . 16

Es decir, basta con definir el producto interno para cada base de polinomios,para poder escribir la serie de Fourier correspondiente. Demos algunos ejemplos.Ejemplo 79 Los polinomios de Hermite H n estan dados por h = e −x2 , s = −1,c n = 1, en el intervalo (−∞, ∞), su producto interno esta definido pora j = (f, H j ) =∫ ∞−∞f(x)H j (x)e −x2 dxentonces, cualquier función se puede escribir como f = ∑ ∞i=1 a iH i .Ejemplo 80 Los polinomios de Legendre P n estan dados por h = 1, s = 1−x 2 ,c n = (−1) n / (2 n n!), en el intervalo [−1, 1], su producto interno esta definidopora j = (f, P j ) =∫ 1−1f(x)P j (x)dxentonces, cualquier función se puede escribir como f = ∑ ∞i=1 a iP jEjemplo 81 Los polinomios de Laguerre L n dados por h = e −x , s = x, c n = 1,en el intervalo (−∞, ∞), su producto interno esta definido porL n (x) = a j = (f, L j ) =∫ ∞−∞f(x)L j (x)e −x dxentonces, cualquier función se puede escribir como f = ∑ ∞i=1 a iL iEjercicio 82 Defina un producto interno de los polinomios de Tchebichef deprimera clase T n .Ejercicio 83 Defina un producto interno de los polinomios de Jacobi P.Ejercicio 84 Defina un producto interno de los polinomios de Gegenbauer C λ n .Ejercicio 85 Defina un producto interno de los polinomios de Tchebichef desegunda clase U n .Todos esto polinomios son solución de alguna ecuación diferencial. La ecuacióndiferencial correspondiente se da en el siguiente teorema.Teorema 86 Seaentoncesd n1P n (x) = c nh dx n (hsn ),(dsh dP )n+ λ n hP n = 0dx dxdonde λ es un coeficiente dado por[ 1 dP 1λ = −nc 1 dx + 1 ]2 (n − 1) d2 sdx 217

Dem. 87 Observemos que1 dh dx(sh dP )ndx= 1 dh dx (shp n−1)donde p n−1 es un polinomio de grado n − 1. Por (2) se tiene que(1 dsh dP )n= p n .h dx dxEntonces podemos escribir esta relación como una combinación lineal de polinomiosP j , es decir(dsh dP ) n∑n= −h λ j ndx dxP j. (4)Multiplicamos esta ecuación en ambos lados por P m , con m < n e integramos∫A(dP m sh dP )ndx = −dx dxn∑j=1λ j n∫Aj=0hP j P m dx = −n∑λ j n δ jm = −λ m nmientras que si integramos dos veces por partes el lado izquierdo, obtenemos∫ (dP m sh dP ) ∫ ( )nddx =A dx dxA dx P m sh dP ndx dx∫ [ ( 1 d= sh d )]A h dx dx P m P n hdx = 0,ya que de nuevo llegamos a un polinomio de grado m < n dentro del parentesiscuadrado. Entonces (4) se puede escribir como(dsh dP )n= −hλ n ndx dxP n := −hλ n P n .De nuevo calculamos la integral∫AAP mddxpero ahora para m = n, se tiene:∫ (dP n sh dP )ndx =dx dxya que=∫∫(sh dP )ndx,dxAAj=1[ dP ndx (sh) dP ]ndx + P nshd2 dx 2 dx[ 1P n P 1 (x) dP ]nc 1 dx + P nsd2 dx 2 hdx1 dP 1 (x) = c 1h dx (hs).18

Ahora supongamos que P 1 (x) = l 0 + l 1 x, s(x) = s 0 + s 1 x + s 2 x 2 y P n (x) =a n x n + · · ·, entonces la integral será∫A(dP n sh dP )ndx =dx dxA=∫ [ ]1P n (l 1 a n nx n + · · · ) + (s 2 a n n (n − 1)x n + · · · ) hdxA c 1[ ∫1l 1 n + s 2 n (n − 1)]∫a n x n P n hdx + Kx n−1 P n hdx + · · ·c 1 AAdonde K es alguna constante. Sin embargo, como podemos ver en (3 ), sólo lostérminos de grado n del polinomio p n son diferentes de cero. Entonces∫ (dP n sh dP ) [ ∫n 1dx = l 1 n + s 2 n (n − 1)]P n P n hdxdx dx c 1 Apor lo que[ ]1λ n = − l 1 n + s 2 n (n − 1)c 1[ 1 dP 1= −nc 1 dx + 1 ]2 (n − 1) d2 sdx 2Ejemplo 88 Los polinomios de Hermite H n estan dados por h = e −x2 , s = −1,c n = 1, por lo que los primeros terminos son: H 0 = 1, H 1 = 2x, etc. EntoncesdH 1dx = 2, d 2 sdx 2 = 0.Se tiene que λ n = −2n, la ecuación diferencial será(d−e dH )−x2 n− 2ne −x2 H n = 0dx dxo sead 2dx 2 H n − 2x ddx H n + 2nH n = 0para toda n = 0, 1, · · ·. A esta ecuación diferencial se le conoce como laecuación diferencial de Hermite.Ejemplo 89 Los polinomios de Legendre P n estan dados por h = 1, s = 1−x 2 ,c 1 = −1/2, por lo que los primeros terminos son: P 0 = 1, P 1 = x, etc. EntoncesdP 1dx = 1, d 2 sdx 2 = −2.Se tiene que λ n = −n [−2 − (n − 1)] la ecuación diferencial será(d (1− x2 ) )dP n+ n (n + 1)P n = 0dx dxo sea(1 − x2 ) d 2dx 2 P n − 2x ddx P n + n (n + 1)P n = 0para toda n = 0, 1, · · ·. A esta ecuación diferencial se le conoce como laecuación diferencial de Legendre.19

Ejemplo 90 Los polinomios de Laguerre L n dados por h = e −x , s = x, c n = 1,por lo que los primeros terminos son: L 0 = 1, L 1 = −x + 1, etc. EntoncesdL 1dx = −1,d 2 sdx 2 = 0.Se tiene que λ n = −n (−1) y la ecuación diferencial de Laguerre será(dxe −x dL )n+ ne −x L n = 0dx dxo seax d2dx 2 L n + (1 − x) ddx L n + nL n = 0para toda n = 0, 1, · · ·. A esta ecuación diferencial se le conoce como laecuación diferencial de Laguerre. Suelen definirse también los polinomiosasociados de Laguerre L m n por la ecuaciónL m n (x) = dmdx m L nlas cuales son solución de la ecuación diferencialx d2dx 2 Lm n − (m + 1 − x) ddx Lm n + (n − m)L m n = 0Ejercicio 91 Escriba la ecuación diferencial de los polinomios de Tchebichefde primera clase T n .Ejercicio 92 Escriba la ecuación diferencial de los polinomios de Jacobi P.Ejercicio 93 Escriba la ecuación diferencial de los polinomios de GegenbauerC λ n .Ejercicio 94 Escriba la ecuación diferencial de los polinomios de Tchebichefde segunda clase U n .20

4.54ff 13.532.5f21.510.50-1 0 1 2 3 4 5 64.543.532.5xff 2f21.510.50-1 0 1 2 3 4 5 6xFigure 1: La función f = 1 8 x3 −x 2 +2x+ 3 2(linea continua) y sus correspondientesfunciones simples (cruces) f 1 , en al figura de arriba y f 2 , en al figura de abajo.Las f n se aproximan a la función original f para n grande. En estas dos figurasesto es muy notorio.21